不等式-2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)易錯重難提升【新高考版】（含解析）

(6)不等式

2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)易錯重難提升【新高考版】

易混重難知識

1.不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1如果那么/?<〃；如果bva,那么〃>力.即

性質(zhì)2如果b>c9那么。>c.即Q>人，/?>c=〃>c.

性質(zhì)3如果。>6,那么a+c>Z?+c.

性質(zhì)4如果c>0,那么如果a>b,c<0,那么QCVZ?C.

性質(zhì)5如果1>人，c>d,那么Q+c>Z?+d.

性質(zhì)6如果a>b>0,c>d>0,那么〃c>Z?d.

性質(zhì)7如果4>人>。，那么o">b"(〃￡N,幾22).

2.基本不等式

(1)若a>0,Z?>0,y[ab,當(dāng)且僅當(dāng)〃=匕時，等號成立.

2

其中，色吆叫做正數(shù)小人的算術(shù)平均數(shù)，，而叫做正數(shù)a,8的幾何平均數(shù).

2

(2)基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

3.不等式的恒成立，能成立，恰成立等問題

(1)恒成立問題：若/(x)在區(qū)間D上存在最小值，則不等式/(x)>A在區(qū)間D上恒成立

O/(x)min>A(xeD).

若/(%)在區(qū)間。上存在最大值，則不等式/(%)<3在區(qū)間。上恒成立o/(x)max<B(xeD).

(2)能成立問題:若/(x)在區(qū)間。上存在最大值,則在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式/(x)>A

成立o/(X)max>A(xeD).

若/(x)在區(qū)間D上存在最小值，則在區(qū)間D上存在實數(shù)X使不等式/(x)<B成立

o/(x)1ran<B(xGD).

(3)恰成立問題：不等式/(x)>A恰在區(qū)間。上成立，o/(x)>A的解集為。，

不等式于(X)<B恰在區(qū)間D上成立，<=>于(X)<B的解集為D.

易錯試題提升

1.已知集合A={x|尤2—3x—420卜B={x|（x-2）（5-x）>0},則低可c5=（）

A.（-1,2）B.（2,4）C.（-4,l）D,（-4,2）

2.設(shè)a>b>c，則下列不等式中成立的是（）

A.ab>acB?c2>bc2C.\ab\<\bc\>0

3.若對于任意的x>0,不等式f+（3-a）x+120恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）

A.[5,-H?）B.（5,+CO）C.（-co,5]D.(-oo,5)

4.已知a>o，6>0，則a+2/?+——-的最小值為（)

a+2b+l

A.6B.5C.4D.3

5.如果a<6<0,那么下列不等式中正確的是（）

A.一<7B./v/C.------>—

aba-baarb-

6.某批救災(zāi)物資隨41輛汽車從某市以vkm/h的速度勻速直達災(zāi)區(qū)，已知兩地公路線長

2

360km,為安全起見，兩輛汽車的間距不得小于—km（車長忽略不計），要使這批物資盡

900

快全部到達災(zāi)區(qū)，則v=（）

A.70B.80C.90D.100

7.若a>b>0,則下列不等式一定成立的是（）

11

Abb+1Rz.「b7an2a+ba

A.—>------D.a+—>b+—。a—>b----

aa+1ababa+2bb

」一的最小值為（

8.設(shè)實數(shù)x滿足x〉0，函數(shù)y=2+3x+)

x+1

A-4A/3-1B-4A/3+2C-4V2+1D.6

9.（多選）下列說法正確的是（）

A.若a>b，則1〉〃

B.若則a-2>Z?-3

C.若402>稅2,貝

nWiriiib+m

D?右a>bT>0，m>0>則一<----

aa+m

10.（多選）若正實數(shù)a,6滿足a+Z，=l，則下列選項中正確的是（）

A.ab有最大值:B.&+揚有最小值④

C1+芻的最小值是10D.2a-b>-

ab2

11.已知1>0，y>0,且滿足x+y—盯=0,貝!jx+y的最小值為.

71

12.已知1>0，y>0,且---1—=2,右犬+2）>加2—3根—1T旦成立，則實數(shù)機的取值氾圍

x+1y

13.如圖，在半徑為4（單位：cm）的半圓形（。為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料A5C。,

其頂點A,5在直徑上，頂點C,。在圓周上，則矩形45co面積的最大值為

14.已知實數(shù)%,?滿足-U+yK4,2<x-y<39貝!h=3x-2y的取值范圍是1

15.若實數(shù)元,?加滿足|%-根|>|y-根|,則稱％比y遠離機

（1）若X比工遠離1,求實數(shù)X的取值范圍；

2

（2）若mVI,x+y=2,試問：%與+J?哪一個更遠離相，并說明理由.

答案以及解析

1.答案：B

解析：由尤2_3%_420，得xW—l，或x?4，所以A={x|W—l或％24}.

所以\A=(—1,4),由(%—2)(5—x)>0，得2<x<5，

所以&A)A5=(2,4).

故選：B.

2.答案：D

解析：對A：若o>Q>/?>°,則由/j>c,有ab〈ac，故錯誤；

對B：若a>/?>c=O，則有4°2=歷2,故錯誤；

對C：若a>Z?=O>c,則有|聞=閔，故錯誤；

對D：由a>b〉c，則a—/?〉0，卜一4>0，故(a—Z?)|c—>0，故正確.

故選：D.

3.答案：C

解析：不等式f+(3-。卜+120可化為，%2+3x+1>a,令/(x)=立衛(wèi)里，由題意可得

XX

a<f(x\.,

J\/min

/(X)=X+-+3>2.L-+3=5,當(dāng)且僅當(dāng)X=L即九=1時等號成立，

xVxx

a<f(x)n,n=5,所以實數(shù)a的取值范圍為(-oo,5].

故選：C.

4.答案：D

解析：由于。>0，b>0，所以a+2Z?+l>0，

,44I4

由a+26+-------=(a+2b+l}+----------1>2+2Z?+1)x---------1=3，

a+2b+l、)a+2b+lY)a+2b+l

(當(dāng)且僅當(dāng)a+2人=1時取等號)，可得a+28+---的最小值為3,

a+2b+1

故選：D.

5.答案：D

解析：當(dāng)Q=—2，/?=—1時,

對于A,i=-l>i=-b故A錯誤；

a2b

229

對于B，a=4>b=1故B錯誤；

對于c,==故C錯誤；

a-ba2

對于D,a<b<0,所以/>必>人BP2>b2>0>則故D正確.

aab

故選：D.

6.答案：C

解析：第一輛汽車到達災(zāi)區(qū)所用的時間為出h,由題意，知最短每隔四=」Lh到達一

VV900

輛，則最后一輛汽車到達災(zāi)區(qū)所用的時間為(迎+40x」」］h,要使這批物資盡快全部到達

Iv900J

災(zāi)區(qū)，即要求最后一輛汽車到達災(zāi)區(qū)所用的時間最短，又

『4。噓=*||川子||=8,當(dāng)且僅當(dāng)邢吟，即70時等號成立.故選C.

7.答案：C

解析：對于A,因為a〉/,〉。，故2—入=-^^<0,即2<紀(jì)故A錯誤;

a〃+1〃(〃+1)aa+1

對于B,47+l_f&+lL(67-Z?)fl_±\無法判斷，故B錯誤；

a\b)\ab)

對于C,因為Q>Z?>0，a-2--色j=(〃-+，故C正確；

a\bJ\abJ

對于D,因為a〉/,〉。，故^±^_q=S+a)3—a)<o,即在個<@,故D錯誤.

a+2bb(a+2b)ba+2bb

故選：C.

8.答案：A

解析：因為％>0，所以1+1>0,

所以y=2+3x+±=2+3(x+l)—3+±=3(x+l)+^-—1>2J3(x+1)-1=4^-1-

x+1x+1x+1Vx+1

當(dāng)且僅當(dāng)3(x+l)=/一，即叵—1時，等號成立，

%+13

所以函數(shù)y=2+3x+/一的最小值為4百

X+1

故選：A.

9.答案：BCD

解析：對A：?:a>b=a-b>3,>b2a2-b2=(a+Z?)(a-Z?)>0，

二.由〃>/?不能得出標(biāo)>〃,例如Q=I，b=—2,A錯誤；

對B：?.?〃>。，

:.a-2>b-2>b-3^即〃一2>人一3，B正確；

對C：?,-ac2>be1，則!〉0，

c

:.a>b，C正確；

對D：作差得："竺_2=少金,

a+maaya+m^

?1a>b>。，機>0，則〃+根>0，a—b>0

二變二駕>0,即2<絲?，D正確.

a[a+m)aa+m

故選：BCD.

10.答案：AD

解析：對于A，-.??>0-b>0，且。+/?=1，:.1=a+b>2y/ab)

當(dāng)且僅當(dāng)a=人=工時取到等號，:.ab<-，.?.仍有最大值!，.?.選項A正確；

244

對于B,(夜+〃)=a+Z?+2y[ab=1+2y[ab<X+a+b=2^0<yfa+y[b<y[l>

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=工時取到等號，二B錯誤；

2

升羊c14(14、/7、1.b4a、廠,lb__4a.

對于C,—?—=—i—(a+b)=l+4-i----1---->5+2./_x—=9，

ab\ab)abNab

當(dāng)且僅當(dāng)？+四即6=2,。=工時取到等號，所以C不正確；

ab33

對于D,二2Q-1>—1,2"一"〉L二?D正確.

2

故選：AD.

n.答案：4

解析：因為x+y-孫=0,所以工+工=1,

y%

所以x+y=(%+y)d+')=2+2+±N2+2I---=4,

xyxy\y

當(dāng)且僅當(dāng)上;二，即％=y=2時等號成立，

%y

所以x+y的最小值為4.

故答案為：4.

12.答案：一1(根<4

211

解析：由---F—=2得2y+x+l=2(x+l)y,所以x+l=2孫，所以2y=1+—，

x+1y%

所以％+2y=%+,+122、/%,+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)％=1，y=l時，等號成立,所以

XVX

(x+2y).=3，

所以x+2y〉加2-3加一1T旦成立，可化為3>7篦2—3加一1，即加2-3〃?一4<0，解得一1<〃2<4-

13.答案:16

解析：如圖：

連接。c,設(shè)|。用=%,(o<%<4)則忸q=joq2To砰=ji6—f,

\AB\^2\OB\^2x，所以矩形ABCD的面積為|?忸。|=2xJ16-x?W。+(16-x?)=16，

當(dāng)且僅當(dāng)V=06-V)時，即當(dāng)時，等號成立，

所以矩形A3CD面積的最大值為16cm2.

故答案為：16.

14.答案：

[22」

解析：設(shè)3x—2y=/n(x+y)+〃(x—y)=(加+〃)]+(加一,

1

m--

m+n-3a力,日9i<

,解得5，所以，3%―2y=_(%+y)+一(九一y),

m-n=-2

n--

2

\,-l