人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊學(xué)案：培優(yōu)課 圓錐曲線中幾個常用結(jié)論

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊PAGEPAGE1培優(yōu)課圓錐曲線中幾個常用結(jié)論圓錐曲線中有很多簡潔優(yōu)美的結(jié)論，如能熟練掌握，一定能提高做題的速度和準(zhǔn)確度.1.結(jié)論1垂徑定理(1)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1中，如圖.已知直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則kOMkAB＝－eq\f(b2,a2)＝e2－1.推廣：如圖，已知點(diǎn)A，B是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上異于A，B的一點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率存在且不為零，kPAkPB＝－eq\f(b2,a2).(2)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中，如圖.已知直線l與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則kOMkAB＝eq\f(b2,a2).(注：直線l與雙曲線的漸近線相交于A，B兩點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論依然成立)推廣：如圖，已知點(diǎn)A，B是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，P是雙曲線上異于A，B的一點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率存在且不為零，kPAkPB＝eq\f(b2,a2).2.結(jié)論2過橢圓，雙曲線或拋物線焦點(diǎn)的弦拋物線方程為y2＝2px(p>0)，過焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的直線l與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，直線l的傾斜角為α，則(1)焦半徑：|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)，|AB|＝x1＋x2＋p；(2)焦點(diǎn)弦：|AB|＝eq\f(2p,sin2α)，且eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)為定值，|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.類型一垂徑定理及其應(yīng)用〖例1〗(1)橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1的弦被點(diǎn)(2，2)平分，則這條弦所在的直線方程為________.(2)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為P(－2，1)，則直線l的斜率為________.〖答案〗(1)x＋4y－10＝0(2)eq\f(1,2)〖解析〗(1)由垂徑定理，得eq\f(2,2)·k＝－eq\f(9,36)，即k＝－eq\f(1,4)，則直線方程為y＝－eq\f(1,4)(x－2)＋2，即x＋4y－10＝0.(2)由kAB·kOP＝－eq\f(b2,a2)＝e2－1，得e2－1＝－eq\f(1,4)，∴kAB·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(1,4)，∴kAB＝eq\f(1,2).〖例2〗設(shè)直線x－3y＋m＝0(m≠0)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)P(m，0)滿足|PA|＝|PB|.則該雙曲線的離心率是________.〖答案〗eq\f(\r(5),2)〖解析〗設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則MP⊥AB.又x0－3y0＋m＝0，∴eq\f(y0,x0－m)×eq\f(1,3)＝－1，整理得eq\f(y0,x0)＝eq\f(3,4)，又由垂徑定理eq\f(y0,x0)·eq\f(1,3)＝eq\f(b2,a2)，∴a2＝4b2，∴e＝eq\f(\r(5),2).類型二拋物線中的焦點(diǎn)弦問題〖例3〗過點(diǎn)M(1，0)作直線l與拋物線y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率為1時，|AB|＝________.〖答案〗8〖解析〗法一直線l為y＝x－1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x))得x2－6x＋1＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8.法二由過焦點(diǎn)M(1，0)的弦長|AB|＝eq\f(2p,sin2α)，直線斜率為1，則sinα＝eq\f(\r(2),2)，∴|AB|＝eq\f(4,\f(1,2))＝8.〖例4〗設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l過F且與C交于A，B兩點(diǎn).若|AF|＝3|BF|，則l的方程為()A.y＝x－1或y＝－x＋1B.y＝eq\f(\r(3),3)(x－1)或y＝－eq\f(\r(3),3)(x－1)C.y＝eq\r(3)(x－1)或y＝－eq\r(3)(x－1)D.y＝eq\f(\r(2),2)(x－1)或y＝－eq\f(\r(2),2)(x－1)〖答案〗C〖解析〗設(shè)直線l的傾斜角為θ，當(dāng)cosθ>0時，|AF|＝eq\f(p,1－cosθ)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosθ).由|AF|＝3|BF|，∴eq\f(p,1－cosθ)＝eq\f(3p,1＋cosθ)，即cosθ＝eq\f(1,2)，此時tanθ＝eq\r(3)，當(dāng)cosθ<0時，|AF|＝eq\f(p,1＋cosθ)，|BF|＝eq\f(p,1－cosθ)，由|AF|＝3|BF|，∴eq\f(p,1＋cosθ)＝eq\f(3p,1－cosθ)，即cosθ＝－eq\f(1,2)，此時tanθ＝－eq\r(3)，故選C.嘗試訓(xùn)練1.過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且|AF|>|BF|，則eq\f(|AF|,|BF|)的值為()A.3 B.2 C.eq\f(3,2) D.eq\f(4,3)〖答案〗A〖解析〗由拋物線的性質(zhì)可知，|AF|＝eq\f(p,1－cos60°)，|BF|＝eq\f(p,1＋cos60°)，∴eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(1＋cos60°,1－cos60°)＝3.2.已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，點(diǎn)F為左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為下頂點(diǎn)，平行于FP的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，則橢圓離心率為()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(1,2) C.eq\f(1,4) D.eq\f(\r(3),2)〖答案〗A〖解析〗由kOM·kAB＝－eq\f(b2,a2)，知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，∴kAB＝－eq\f(2b2,a2)＝kFP＝－eq\f(b,c)，即a2＝2bc，∴a4＝4(a2－c2)·c2，∴e＝eq\f(\r(2),2).3.橢圓mx2＋ny2＝1與直線y＝1－x交于M，N兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)所在直線的斜率為eq\f(\r(2),2)，則eq\f(m,n)的值是()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(2\r(3),3) C.eq\f(9\r(2),2) D.eq\f(2\r(3),27)〖答案〗A〖解析〗法一聯(lián)立方程組可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝1－x，,mx2＋ny2＝1，))即(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)P(x0，y0)，則x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(n,m＋n)，y0＝1－x0＝1－eq\f(n,m＋n)＝eq\f(m,m＋n)，所以kOP＝eq\f(y0,x0)＝eq\f(m,n)＝eq\f(\r(2),2).法二橢圓化為eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1與y＝－x＋1交于MN，則中點(diǎn)與原點(diǎn)的斜率為eq\f(\r(2),2)，∴－1×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(m,n)，∴eq\f(m,n)＝eq\f(\r(2),2).4.已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|＋|DE|的最小值為()A.16 B.14 C.12 D.10〖答案〗A〖解析〗法一拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1，0)，由題意可知l1，l2的斜率存在且不為0.不妨設(shè)直線l1的斜率為k，l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－eq\f(1,k)(x－1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝k（x－1），))消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)＝2＋eq\f(4,k2)，由拋物線的定義可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋eq\f(4,k2)＋2＝4＋eq\f(4,k2).同理得|DE|＝4＋4k2，∴|AB|＋|DE|＝4＋eq\f(4,k2)＋4＋4k2＝8＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋k2))≥8＋8＝16，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,k2)＝k2，即k＝