專題03圓錐曲線（重點）-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期挑戰(zhàn)滿分期末沖刺卷（人教A版2019）

專題03圓錐曲線（重點）一、單選題1．拋物線y＝4x2的焦點坐標(biāo)是（）A．（0，1） B．（1，0） C． D．【答案】C【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此可拋物線的焦點坐標(biāo)得選項.【詳解】解：將拋物線y＝4x2的化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)，p＝，開口向上，焦點在y軸的正半軸上，故焦點坐標(biāo)為（0，）.故選：C．2．已知雙曲線的離心率為2，則（）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】由雙曲線的性質(zhì)，直接表示離心率，即可求．【詳解】由雙曲線方程可知，因為，所以，解得：，又，所以.故選：D3．若直線y＝kx+2與雙曲線x2﹣y2＝6的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是（）A．， B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的方程求得漸近線方程，把直線與雙曲線方程聯(lián)立消去，利用判別式大于0和聯(lián)立求得的范圍．【詳解】由消去y，整理得，的兩根為x1，x2，∵直線y＝kx+2與雙曲線x2﹣y2＝6的右支交于不同的兩點，∴，∴k＜﹣1，∴.故選：D．4．橢圓（，且）與直線交于M，N兩點，過原點與線段MN中點所在直線的斜率為，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)設(shè)，，MN的中點，進(jìn)而聯(lián)立方程并結(jié)合中點坐標(biāo)公式，斜率公式求解即可.【詳解】聯(lián)立，得，設(shè)，，MN的中點，則，．所以．故選：A5．過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝（）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】由拋物線的焦點弦長公式，由此計算．【詳解】因為直線AB過焦點F(1，0)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.故選：B．6．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出、的值，可求得雙曲線的漸近線方程.【詳解】在雙曲線中，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.7．已知點，，動點滿足條件.則動點的軌跡方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合雙曲線的定義可得，點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的右支，即可求解.【詳解】解：因為，，所以，動點滿足條件，所以點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的右支，點，，動點滿足條件，，，動點的軌跡方程為.故選：A.8．若直線mx+ny=4和圓x2+y2=4沒有交點，則過點(m，n)的直線與橢圓+=1的交點的個數(shù)為（）A．0或1 B．2C．1 D．0【答案】B【分析】根據(jù)直線和圓沒有交點得到m2+n2<4，再判斷點(m，n)在橢圓內(nèi)部，得到直線和橢圓的交點個數(shù).【詳解】因為直線mx+ny=4和圓x2+y2=4沒有交點，所以>2，所以m2+n2<4，而+≤+<1，因此點(m，n)在橢圓內(nèi)部，從而過點(m，n)的直線與橢圓+=1必有兩個交點.故選：B.9．已知A（3，2），點F為拋物線的焦點，點P在拋物線上移動，為使取得最小值，則點P的坐標(biāo)為（）A．（0，0） B．（2，2） C． D．【答案】B【分析】設(shè)點P到準(zhǔn)線的距離為，根據(jù)拋物線的定義可知，即可根據(jù)點到直線的距離最短求出．【詳解】如圖所示：設(shè)點P到準(zhǔn)線的距離為，準(zhǔn)線方程為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點為與拋物線的交點時，取得最小值，此時點P的坐標(biāo)為．故選：B．10．雙曲線的左右焦點分別是，離心率為，過的直線交雙曲線的右支于兩點，若是不以為直角頂點的等腰直角三角形，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，用m表示出BF2，進(jìn)而得出AF2，AF1，再借助兩個直角三角形建立關(guān)系即可得解.【詳解】如圖，設(shè)，令，由雙曲線定義知，，因是不以為直角頂點的等腰直角三角形，不妨令B為直角頂點，則，于是得，在中，，則，在中，，，由得：，即，解得，所以等于.故選：A11．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，兩個焦點恰好將長軸三等分，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1【答案】A【分析】根據(jù)條件，求得，進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【詳解】由題意，長軸，長軸三等分后，故，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1故選：.12．如圖是橢圓與雙曲線的公共焦點分別是在第二、四象限的公共點，若四邊形為矩形，則的離心率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，利用橢圓的定義及四邊形為矩形，列出方程組求得的值，結(jié)合雙曲線的定義和離心率的計算公式，即可求解.【詳解】設(shè)，由點為橢圓上的點，可得且，即，又由四邊形為矩形，所以，即，聯(lián)立方程組，解得，設(shè)雙曲線的實軸長為，焦距為，則，，即，所以雙曲線的離心率為.故選：D.13．命題“”是命題曲線表示雙曲線的（）A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】求出為真時的的范圍，然后由充分必要條件的定義判斷．【詳解】曲線表示雙曲線，則，解得，因此是的充分不必要條件．故選：A．14．已知橢圓，，分別為橢圓的左?右頂點，若在橢圓上存在一點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，得到，結(jié)合，得到，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，，設(shè)，代入橢圓的方程，可得，則，即，即.又因為，所以.故選：A.15．已知圓：，定點，是圓上的一動點，線段的垂直平分線交于點，則點的軌跡的方程是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)定義可判斷點的軌跡是以為焦點的橢圓，即可求出軌跡方程.【詳解】由題可得圓心，半徑為6，是垂直平分線上的點，，，點的軌跡是以為焦點的橢圓，且，，，故點的軌跡方程為.故選：B.16．已知雙曲線：與直線交于，兩點，點為上一動點，記直線，的斜率分別為，，的左?右焦點分別為，.若，且的焦點到漸近線的距離為1，則（）A．B．的離心率為C．若，則的面積為2D．若的面積為，則為鈍角三角形【答案】D【分析】設(shè)點A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x0，y0)，利用點差法求解直線的斜率，得到a、b關(guān)系，通過點到直線的距離求解c，求出a，b，即可推出離心率，判斷A，B的正誤；設(shè)P在雙曲線的右支上，記則，利用，轉(zhuǎn)化求解三角形的面積，判斷C；設(shè)P(x0，y0)，通過三角形的面積求解P的坐標(biāo)，結(jié)合雙曲線的定義以及余弦定理，判斷三角形的形狀，判斷D.【詳解】設(shè)點A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x0，y0)則，且，兩式相減得，所以，因為，所以，故雙曲線C的漸近線方程因為焦點(c，0)到漸近線的距離為1，所以，，所以，，離心率為，故A，B錯誤．對于C，不妨設(shè)P在右支上,記則因為,所以解得或(舍去）,所以的面積為，故C不正確；對于D，設(shè)P(x0，y0)，因為，所以，將帶入C：，得，即由于對稱性，不妨取P得坐標(biāo)為(，2)，則，因為所以∠PF2F1為鈍角，所以PF1F2為鈍角三角形，故D正確故選：D17．已知點是雙曲線的左焦點，點是該雙曲線的右頂點，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知需，又由，，建立不等式得，即，解之可得選項．【詳解】解：若是銳角三角形，則只需．在中，，，則，又，∴，∴，∴．又，∴．故選：B．18．已知橢圓C：的右焦點為，右頂點為A，以為直徑的圓交直線于點B（不同于原點O），設(shè)的面積為S．若，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題可得的三邊長，再結(jié)合三角形面積公式及向量數(shù)量積公式可得的關(guān)系式，即求.【詳解】依題意，得，∴點A到直線的距離，在中，∵，，∴，∵，∴，其中，∴，∴，即，得，∴或（舍）∴離心率為.故選：D.二、多選題19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過拋物線x2=2y的焦點的直線l與拋物線的兩個交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則()A．y1y2=B．以AB為直徑的圓與直線相切C．OA+OB的最小值D．經(jīng)過點B與x軸垂直的直線與直線OA交點一定在定直線上【答案】ABD【分析】對于選項A：聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系即可求解；對于選項B：利用拋物線定義求出線段AB的中點到準(zhǔn)線距離與線段AB的倍數(shù)關(guān)系即可求解；對于選項C：由對稱性關(guān)系，當(dāng)直線斜率為0時，求出OA+OB的值即可求解；對于選項D：根據(jù)已知條件求出交點即可求解.【詳解】由題意可知，拋物線的焦點，準(zhǔn)線為：，且直線斜率一定存在，不妨設(shè)直線：，由，從而，，所以，故A正確；因為，所以由拋物線定義可知，，且中點，從而到直線的距離為，從而以AB為直徑的圓與直線相切，故B正確；因為當(dāng)時，易得，，故的值為，故C錯誤；由題意,易知直線：，經(jīng)過點B與x軸垂直的直線為：，從而經(jīng)過點B與x軸垂直的直線與直線OA的交點為，因為，所以，所以經(jīng)過點B與x軸垂直的直線與直線OA的交點為，即在直線上，故D正確.故選：ABD.20．已知雙曲線C：，右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點，若，則有（）A．漸近線方程為 B．C． D．漸近線方程為【答案】AC【分析】利用已知條件，轉(zhuǎn)化求解A到漸近線的距離，推出a，c的關(guān)系，然后求解雙曲線的離心率和漸近線即可．【詳解】雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的右頂點為A（a，0），以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點．若∠MAN＝60°，可得A到漸近線bx+ay＝0的距離為：bcos30°，可得：，即，故e．且，故漸近線方程為漸近線方程為故選：AC．21．已知曲線C：，則下列命題中為真命題的是（）A．若，則C是圓B．若，且，則C是橢圓C．若，則C是雙曲線，且漸近線方程為D．若，則C是橢圓，其離心率為【答案】BC【分析】對于A：取特值，則，代入原方程可判斷；對于B：由已知得，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷；對于C：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和漸近線方程可判斷；對于D：由已知得，可判斷曲線C是焦點在y軸上的橢圓，再由橢圓的離心率公式可判斷.【詳解】解：對于A：若，則，原方程為，此時曲線C不存在，故A不正確；對于B：由已知得，又，且，所以表示橢圓，故B正確；對于C：若，則C是雙曲線，但漸近線方程為，故C正確；對于D：由已知得，又，所以，則曲線C是焦點在y軸上的橢圓，所以，，其離心率為，故D不正確，故選：BC.22．已知雙曲線的左，右焦點分別為，過雙曲線C上的一點M作兩條漸近線的垂線，垂足分別為A，B，若，則（）A．雙曲線C的離心率為B．四邊形的面積為（O為坐標(biāo)原點）C．雙曲線C的漸近線方程為D．直線與直線的斜率之積為定值【答案】ABD【分析】設(shè)出點M的坐標(biāo)，計算出，探求出的關(guān)系即可逐一分析各選項作答.【詳解】依題意，設(shè)，則有，即，而雙曲線C的漸近線分別為和，于是得，，令雙曲線C的半焦距為c，從而得，即，，亦即，解得，，于是得雙曲線離心率，A正確；于是得雙曲線漸近線為，即兩條漸近線垂直，四邊形為矩形，其面積為，B正確；因雙曲線漸近線為，C不正確；因直線，且直線與直線都不垂直于坐標(biāo)軸，則直線與直線的斜率之積為1，D正確.故選：ABD23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，設(shè)與軸的交點為，點為上異于的任意一點，點在上的射影為點，的外角平分線交軸于點，過作于點，過作，交線段的延長線于點，則（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)拋物線的定義以及平面幾何知識即可判斷．【詳解】對A，由拋物線的定義知A正確；對B，∵，∴，B正確；對C，由題意知，又與不一定相等，∴與不一定相等，C錯誤；對D，由題意知四邊形為矩形，∴，D正確.故選：ABD．三、填空題24．拋物線上到焦點的距離為2的點的個數(shù)為_____【答案】1【分析】根據(jù)焦半徑公式求出拋物線上到焦點的距離為2的點的橫坐標(biāo)，從而可求得對應(yīng)點的坐標(biāo)，即可得出答案.【詳解】解：由拋物線，得，則拋物線上到焦點(2,0)的距離為2的點的橫坐標(biāo)為0，當(dāng)時，，所以拋物線上到焦點的距離為2的點的坐標(biāo)為，所以拋物線上到焦點的距離為2的點的個數(shù)為1個.故答案為：1.25．拋物線上一點到拋物線焦點的距離為5，則實數(shù)________________．【答案】【分析】根據(jù)焦半徑公式，可求出，從而得到拋物線方程，把點代入拋物線方程即可求出的值.【詳解】由題意可知拋物線的焦點在軸上，且，因為拋物線上一點到拋物線焦點的距離為5，所以根據(jù)焦半徑公式，得，所以，即，因為點到拋物線上，所以，所以.故答案為：.26．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：（a>0，b>0）的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且，若△PF1F2的面積為9，則b=_________.【答案】3【分析】結(jié)合已知三角形面積根據(jù)橢圓的定義可得．【詳解】設(shè)，，因為，所以，所以，又，所以，，．故答案為：3．27．若橢圓和橢圓的離心率相同，且，給出如下四個結(jié)論：①橢圓和橢圓一定沒有公共點；②；③；④.則所有結(jié)論正確的序號是_____.【答案】①②【分析】設(shè)，推導(dǎo)出，可判斷②的正誤；利用點與橢圓的位置關(guān)系可判斷①的正誤；利用橢圓中長半軸長、短半軸長以及半焦距之間的關(guān)系可判斷③④的正誤.【詳解】設(shè)，由已知可得，則，所以，，則，②對；在橢圓上任取一點，則，所以，，即點在橢圓內(nèi)，①對；因為，則，即，③錯；因為，即，④錯.故答案為：①②.28．已知離心率為的橢圓的左、右頂點分別為，，點為該橢圓上一點，且在第一象限，直線與直線交于點，直線與直線交于點，若，則直線的斜率為___________.【答案】【分析】由橢圓離心率及焦點位置知求m，設(shè)則，若為，則為，即可求、坐標(biāo)，結(jié)合題設(shè)求k值，注意驗證k值是否符合題意.【詳解】由，得，則，設(shè)，易知，設(shè)，則，若直線的方程為，則的坐標(biāo)為.直線的方程為，則的坐標(biāo)為，∴，解得或.當(dāng)時，在軸上，故.故答案為：29．已知點，是橢圓上的兩點，且線段恰為的一條直徑，點關(guān)于軸的對稱點為，設(shè)，直線與橢圓的另一個交點為，且直線，斜率之積為，則橢圓的離心率為____.【答案】．【分析】已知得關(guān)于原點對稱，設(shè)，則，，由向量線性運算求得點坐標(biāo)，求得的斜率關(guān)系，再設(shè)，用點差法可求得，再由已知斜率之積可得的等式，從而求得離心率．【詳解】因為線段是圓的一條直徑，所以關(guān)于原點對稱，設(shè)，則，，又，即，，即，所以，，①設(shè)，則，又，相減得，，所以，②，而，③，由①②③可得，，所以．故答案為：．【點睛】本題考查求橢圓的離心率，解題關(guān)鍵是找到關(guān)于的齊次等式．解題方法是設(shè)，由對稱性得坐標(biāo)，再得點坐標(biāo)，用點差法求得，這樣可利用直線的斜率得出關(guān)系式．四、解答題30．已知拋物線的焦點在直線上（1）求拋物線的方程（2）設(shè)直線經(jīng)過點，且與拋物線有且只有一個公共點，求直線的方程【答案】（1）（2）的方程為、、【分析】（1）求得點的坐標(biāo)，由此求得，進(jìn)而求得拋物線的方程.（2）結(jié)合圖象以及判別式求得直線的方程.（1）拋物線的焦點在軸上，且開口向上，直線與軸的交點為，則，所以，拋物線的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線與拋物線只有一個公共點.那個直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，，解得或.所以直線的方程為或.綜上所述，的方程為、、.31．已知橢圓：的離心率為，短軸長為2．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線與橢圓交于兩點，若的面積為（為坐標(biāo)原點），求直線的方程．【答案】（1），（2）.【分析】（1）由橢圓的性質(zhì)列方程可得即可得解；（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組結(jié)合韋達(dá)定理可得，再由三角形面積即可解得，即可的解.【詳解】（1）由題意可得，解得：故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意可知直線的斜率不為0，則設(shè)直線的方程為聯(lián)立，整理得,則，故,因為的面積為,所以，設(shè)，則整理得，解得或（舍去），即.故直線的方程為，即.32．如圖，若是雙曲線的兩個焦點.（1）若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，求點M到另一個焦點的距離；（2）若P是雙曲線左支上的點，且，試求的面積.【答案】（1）10或22；（2）.【分析】（1）利用雙曲線的定義，根據(jù)動點到一個焦點的距離求動點到另一個焦點的距離即可；（2）先根據(jù)定義得到，兩邊平方求得，即證，，再計算直角三角形面積即可.【詳解】解：（1）是雙曲線的兩個焦點，則，點M到它的一個焦點的距離等于16，設(shè)點到另一個焦點的距離為，則由雙曲線定義可知，，解得或，即點到另一個焦點的距離為或；（2）P是雙曲線左支上的點，則，則，而，所以，即，所以為直角三角形，，所以.33．已知過拋物線焦點F的直線交拋物線于兩點．（1）若AB的斜率為1，求；（2）求證：的值是定值；（3）若A點處拋物線的切線方程是，求．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【分析】(1)求出拋物線焦點及直線AB方程，聯(lián)立直線AB與拋物線方程即可計算弦AB長；(2)設(shè)出直線AB方程，聯(lián)立直線AB與拋物線方程，借助韋達(dá)定理即可計算得證；(3)聯(lián)立切線方程及拋物線方程，求出切點A的坐標(biāo)，再利用(2)的結(jié)論即可計算作答.（1）拋物線的焦點，依題意，直線AB的方程為：，由消去y得：，于是得，則，所以長為8.（2）顯然直線AB不垂直于x軸，設(shè)直線AB方程為：，由消去y得：，因此，，所以的值是定值.（3）因A點處拋物線的切線方程是，則由解得，即點，而拋物線的弦AB過點F，則由(2)可得，因此，，所以.34．已知橢圓：的離心率為，長軸長為4.（1）求橢圓的方程；（2），為橢圓的短軸頂點，點是直線上動點，若直線與的另一個交點為?與的另一個交點為，證明：直線過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）首先根據(jù)條件列出關(guān)于的方程，即可得到橢圓方程；（2）首先利用坐標(biāo)得到直線和的直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立，得到點的坐標(biāo)，并表示直線方程，即可得到直線所過定點的坐標(biāo).【詳解】解：（1）由條件可知，解得：，所以，所以橢圓的方程是.（2）設(shè)，，，，，則直線為，直線為，由得，，，即，代入得，，，由得，，，即，代入得，，，從而，直線的斜率為，直線為，令，則，所以過定點.35．如圖，橢圓的離心率是，短軸長為，橢圓的左?右頂點為、.過橢圓與拋物線的公共焦點的直線與橢圓相交于兩點，與拋物線相交于兩點，點為的中點.（1）求橢圓和拋物線的方程；（2）記的面積為的面積為，若，求直線在軸上截距的范圍.【答案】（1）橢圓，拋物線；（2）.【分析】（1）依題意得到方程組，求出的值，即可求出拖橢圓方程，再根據(jù)拋物線的焦點求出拋物線方程；（2）設(shè)，聯(lián)立與橢圓，利用韋達(dá)定理及弦長公式，點到直線的距離，求出三角形的面積，，再根據(jù)得到不等式，解得即可；【詳解】（1）根據(jù)題意得：，解得，，，拋物線焦點，因此橢圓，拋物線（2）設(shè)，聯(lián)立與橢圓，整理得：，判別式：弦長公式：，所以聯(lián)立與拋物線，整理得：，判別式：弦長公式：，所以，因為，因此，解得：在軸上截距或，因此在軸上截距取值范圍是.36．已知雙曲線，直線交雙曲線于兩點.（1）求雙曲線的頂點到其漸近線的距離；（2）若過原點，為雙曲線上異于的一點，且直線的斜率均存在，求證：為定值；（3）若過雙曲線的右焦點，是否存在軸上的點，使得直線繞點無論怎樣轉(zhuǎn)動，都有成立？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在點，使得.【分析】（1）由雙曲線方程可得頂點坐標(biāo)和漸近線方程，由點到直線距離公式可求得結(jié)果；（2）設(shè)，，，表示出，將代入雙曲線方程，兩式作差整理可得定值；（3）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，與雙曲