同課異構(gòu)：等邊三角形的性質(zhì)和判定

等邊三角形的性質(zhì)和判定上海市初級(jí)中學(xué)名師制作一、復(fù)習(xí)引入三角形按邊分類(lèi)不等邊三角形等腰三角形等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此它具有等腰三角形的一切性質(zhì)．等邊三角形定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．只有兩條邊相等的等腰三角形等邊三角形{性質(zhì)定義判定{三角形不等邊三角形等腰三角形二、新知講授①等腰三角形的兩條腰相等.（定義）等腰三角形的性質(zhì)②等腰三角形的兩個(gè)底角相等.（簡(jiǎn)稱(chēng)“等邊對(duì)等角”）③等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（簡(jiǎn)稱(chēng)“等腰三角形的三線合一”）④等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸是頂角的平分線所在的直線.回顧角對(duì)稱(chēng)性邊特殊線段——等邊三角形的性質(zhì)．等邊三角形是特殊的等腰三角形,具有等腰三角形的一切性質(zhì)．等邊三角形的三邊都相等.（定義）等邊三角形的性質(zhì)：角對(duì)稱(chēng)性邊特殊線段二、新知講授——等邊三角形的性質(zhì)．？解：因?yàn)锳B=AC（已知）,所以∠B=∠C(等邊對(duì)等角）.因?yàn)锳B=BC(已知）,所以∠C=∠A（等邊對(duì)等角）,所以∠A=∠B=∠C（等量代換）.

等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等又由∠A+∠B+∠C=180°(三角形的內(nèi)角和等于180°）,得∠A=∠B＝∠C=60°.猜想：，都等于60°．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=BC,試說(shuō)明∠A=∠B=∠C的理由．利用等腰三角形的性質(zhì)，可知等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等．

根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°,可以算出每個(gè)角等于60°．二、新知講授——等邊三角形的性質(zhì)．等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角等于60°.因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形(已知）,所以∠A=∠B=∠C=60°（等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角等于60°）.符號(hào)語(yǔ)言60°60°60°二、新知講授——等邊三角形的性質(zhì)．等邊三角形的三邊都相等．（由定義得）等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角等于60°．等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形角對(duì)稱(chēng)性邊，它的對(duì)稱(chēng)軸有3條．特殊線段等腰三角形的三線合一二、新知講授——等邊三角形的性質(zhì)．等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形是特殊的等腰三角形,具有等腰三角形的一切性質(zhì)．

，任何一條邊上的中線、高和這條邊所對(duì)的角平分線相互重合．有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.（定義）如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等，這個(gè)三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)稱(chēng)“等角對(duì)等邊”）.邊角等腰三角形的判定方法：回顧三角形等腰三角形邊角二、新知講授——等邊三角形的判定判定等邊三角形的方法：邊角有三條邊相等的是等邊三角形．三角形三角形等腰三角形邊角等邊三角形邊角二、新知講授——等邊三角形的判定？（定義）？已知：如圖，在△ABC中，∠A=∠B=∠C，試說(shuō)明△ABC是等邊三角形的理由．解：因?yàn)椤螦=∠B(已知），所以AC=BC（等角對(duì)等邊）．

因?yàn)椤螧=∠C(已知），

所以AB=AC（等角對(duì)等邊），

所以已知：如圖，在△ABC中，∠A=∠B=∠C，試說(shuō)明△ABC是等邊三角形的理由．猜想：三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形．

AB=BC=AC．所以△ABC是等邊三角形（三邊相等的三角形是等邊三角形）．等邊三角形的定義等腰三角形的判定二、新知講授——等邊三角形的判定====三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形．判定等邊三角形的方法：因?yàn)椤螦=∠B=∠C（已知），所以△ABC是等邊三角形（三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形）．符號(hào)語(yǔ)言二、新知講授——等邊三角形的判定判定等邊三角形的方法：邊角有三條邊相等的是等邊三角形．（定義）三角形三角形等腰三角形邊角等邊三角形邊角三個(gè)內(nèi)角都相等的是等邊三角形．三角形？二、新知講授——

等邊三角形的判定

等腰△ABC中，AB=AC，不添任何輔助線，補(bǔ)充一個(gè)條件，使△ABC為等邊三角形.從邊來(lái)考慮添AB=BC添AC=BC有三條邊相等的三角形AB=AC底邊腰腰與底邊相等的等腰三角形是等邊三角形討論二、新知講授——等邊三角形的判定AB=AC=BC

等腰△ABC中，AB=AC，不添任何輔助線，補(bǔ)充一個(gè)條件，使△ABC為等邊三角形.從角來(lái)考慮討論三個(gè)內(nèi)角都相等∠B=∠CAB=AC二、新知講授——等邊三角形的判定讓等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是60°，行嗎？∠A=∠B=∠C添∠A=∠B添∠A=∠C

等腰△ABC中，AB=AC，不添任何輔助線，補(bǔ)充一個(gè)條件，使△ABC為等邊三角形.所以∠B=∠C=60°(等邊對(duì)等角）.解：因?yàn)锳B=AC,∠B=60°（已知），又由∠A+∠B+∠C=180°(三角形的內(nèi)角和等于180°），得∠A=180°－∠B－∠C＝180°－60°－60°=60°.所以（等量代換）.60°60°60°∠A=∠B=∠C所以△ABC是等邊三角形（三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形）.

等邊對(duì)等角討論二、新知講授——等邊三角形的判定添∠A=60°添∠C=60°添∠B=60°

等腰△ABC中，AB=AC，不添任何輔助線，補(bǔ)充一個(gè)條件，使△ABC為等邊三角形.所以∠A=∠B=∠C（等量代換）.所以△ABC是等邊三角形（三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形）.

所以∠B=∠C(等邊對(duì)等角）．因?yàn)锳B=AC（已知）,因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°(三角形的內(nèi)角和等于180°）,得2∠B=180°－∠A＝180°－60°=120°,又∠A=60°（已添）,所以∠B=∠C=60°,60°60°60°等邊對(duì)等角討論二、新知講授——等邊三角形的判定添∠A=60°

等腰△ABC中，AB=AC，不添任何輔助線，補(bǔ)充一個(gè)條件，使△ABC為等邊三角形.討論二、新知講授——等邊三角形的判定添∠A=60°添∠C=60°添∠B=60°頂角為60°角．一個(gè)內(nèi)角為60°∠A=∠B=∠C底角為60°角．分類(lèi)討論思想有一個(gè)內(nèi)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．判定等邊三角形的方法：

符號(hào)語(yǔ)言因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，∠A=60°(已知)，所以△ABC是等邊三角形

（有一個(gè)內(nèi)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形）．∠A=60°或∠B=60°或∠C=60°二、新知講授——等邊三角形的判定判定等邊三角形的方法：邊角有三條邊相等的是等邊三角形．（定義）三個(gè)內(nèi)角都相等的是等邊三角形．腰與底邊相等的是等邊三角形．有一個(gè)內(nèi)角等于60°的是等邊三角形．三角形等腰三角形三角形等腰三角形三角形等腰三角形邊角等邊三角形邊角邊角二、新知講授——等邊三角形的判定三、例題講解分析:BE=AD說(shuō)明兩條線段相等的方法：①等角對(duì)等邊

（在一個(gè)三角形中）②全等三角形的性質(zhì)

（在兩個(gè)三角形中）△ADC≌△BEC△ABC和△CDE是等邊三角形60°60°例題1如圖，在等邊三角形ABC的BC上任取一點(diǎn)D，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，聯(lián)結(jié)AD、BE，（1）試說(shuō)明BE=AD的理由.∠ACD=∠BCEAC=BC,CD=CE(S.A.S)含AD邊的三角形：△ABD與△ADC含BE邊的三角形：△BDE與△BECEBDCADA三、例題講解例題1如圖，在等邊三角形ABC的BC上任取一點(diǎn)D，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，聯(lián)結(jié)AD、BE，（1）試說(shuō)明BE=AD的理由.解：因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形（已知）,所以AC=BC,∠ACD=60°（等邊三角形的性質(zhì)）．因?yàn)椤鰿DE是等邊三角形（已知），所以CD=CE,∠BCE=60°（等邊三角形的性質(zhì)），所以∠ACD=∠BCE（等量代換).在△ACD與△BCE中，

AC=BC,∠ACD=∠BCE,

CD=CE,所以△ACD≌△BCE（S.A.S),得BE=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.等邊三角形的性質(zhì)全等三角形的判定全等三角形的性質(zhì)60°60°BCEAD三、例題講解例題1如圖，在等邊三角形ABC的BC上任取一點(diǎn)D，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，聯(lián)結(jié)AD、BE，（1）試說(shuō)明BE=AD的理由.△ADC≌△BECBE=AD?..∠DAC=∠EBC∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°∠EBC+

=

60°∠BED=?∠EDC=三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和分析:（2）圖中∠BAD與哪一個(gè)角相等？說(shuō)明兩個(gè)角相等的方法：①等邊對(duì)等角（在一個(gè)三角形中）②全等三角形的性質(zhì)

（在兩個(gè)三角形中）③通過(guò)“內(nèi)角、外角”等性質(zhì)計(jì)算得到））∠BAD=

∠ADC=∠BEC∠BAD=∠BED60°四、歸納小結(jié)角邊對(duì)稱(chēng)性特殊線段等邊三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)等邊三角形的三邊都相等.（定義）①等腰三角形的兩條腰相等.（定義）等邊三角形的每一內(nèi)角等于60°②等腰三角形的兩個(gè)底角相等.③等腰三角形的三線合一等腰三角形的三線合一等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸有3條．④等腰三角形是軸對(duì)