陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

金臺(tái)區(qū)2025屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)命題人：石油中學(xué)朱文博金臺(tái)高中于粉麗區(qū)教研室齊宗鎖馬晶2024.09注意事項(xiàng)：1.考試時(shí)間120分鐘，滿分150分.2.答卷前，考生將答題卡有關(guān)項(xiàng)目填寫清楚.3.全部答案在答題卡上作答，答在本試題上無效.一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集結(jié)合一元二次不等式求，再根據(jù)交集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，則，所以.故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.5 D.10【答案】B【解析】分析】利用復(fù)數(shù)除法化簡，然后由復(fù)數(shù)模公式可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以故選：B3.已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)（）A.-1 B.-2 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量垂直的坐標(biāo)表示求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所以，解?故選：D4.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦的差角公式結(jié)合弦切關(guān)系分別計(jì)算，再根據(jù)和角公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，即，則，所以，故.故選：D5.蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活，蒙古包下半部分近似一個(gè)圓柱，高為2m；上半部分近似一個(gè)與下半部分同底的圓錐，其母線長為m，軸截面（過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是面積為的等腰鈍角三角形，則該蒙古包的體積約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意求圓錐的高和底面半徑，再結(jié)合錐體、柱體體積運(yùn)算求解.【詳解】如圖所示為該圓錐軸截面，設(shè)頂角為，因?yàn)槠漭S截面（過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是腰長為，面積為的等腰三角形，所以，解得，則或（舍去），由得，，則上半部分的體積為，下半部分體積為，故蒙古包的體積為.故選：C.6.已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先由題意有，若是上的減函數(shù)，故只需當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，從而列出不等式組，解不等式組即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，且最小值為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，不符題意，又注意到是上的減函數(shù)，故只能拋物線的開口向下即，其對稱軸為，則由題意有，解得．故選：A.7.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即函數(shù)與的圖像在區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作函數(shù)圖像，利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】函數(shù)，定義域?yàn)椋?，，函?shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即函數(shù)與的圖像在區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)與的圖像，如圖所示，，，，，，，函數(shù)與的圖像在區(qū)間上有3個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)有3個(gè).故選：B8.定義在上的函數(shù)滿足，，，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由已知條件求出一些特值，，，反復(fù)利用，可得，，再由與、與的大小關(guān)系從而得出結(jié)論．【詳解】，，令得：，又，反復(fù)利用可得：①，再令，由，可求得，同理反復(fù)利用可得：②，由①②可得：有，，，而，所以，，故．故選：D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)或未選的得0分.9.下列說法中，正確的是（）A.數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為32B.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，；則C.已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為；若，，，則D.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為4【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)第50百分位數(shù)為中位數(shù)判斷A，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷B，根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)判斷C，根據(jù)方差的性質(zhì)判斷D.【詳解】對數(shù)據(jù)排列：，因?yàn)榈?0百分位數(shù)為中位數(shù)，所以50百分位數(shù)為，故A錯(cuò)誤；因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，，所以，所以，所以，所以，故B正確；因?yàn)?，，，則，故C正確；因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的方差為2，所以數(shù)據(jù)的方差為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.有兩個(gè)極值點(diǎn)B.有一個(gè)零點(diǎn)C.點(diǎn)是曲線的對稱中心D.直線是曲線的切線【答案】ABC【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的概念、零點(diǎn)的存在性定理即可判斷AB；根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱和函數(shù)圖象的平移變換即可判斷C；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷D.【詳解】A：，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以時(shí)取得極值，故A正確；B：因?yàn)椋?，，所以函?shù)只在上有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故B正確；C：令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對稱中心，故C正確；D：令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象的平移變換，其中選項(xiàng)C，構(gòu)造函數(shù)，奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱推出的對稱性是解決本題的關(guān)鍵.11.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，其軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線C，則下列結(jié)論正確的是（

）A.曲線C與y軸的交點(diǎn)為和B.曲線C關(guān)于x軸、y軸對稱，不關(guān)于原點(diǎn)O對稱C.點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍是D.的取值范圍為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，求得曲線的軌跡方程為，利用軌跡方程，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，可得，整理得：，對于A中，當(dāng)時(shí)，解得，即曲線C與y軸的交點(diǎn)為，所以A正確；對于B中，因?yàn)?，用替換，方程不變，則曲線關(guān)于x軸對稱，用替換，方程不變，則曲線關(guān)于y軸對稱，同時(shí)用替換，用替換，方程不變，可得曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以B錯(cuò)誤；對于C中，因?yàn)?，即可得，即，即，解得，即，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是，所以C正確；對于D中，因?yàn)椋蒀項(xiàng)知，所以，故，所以D錯(cuò)誤．故選：AC.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中常數(shù)項(xiàng)是______．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求出指定項(xiàng)即可.【詳解】由的展開式的通項(xiàng)得：，令，得，故．故答案為：.13.若斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，則____________．【答案】【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，利用直線與圓相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【詳解】設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，由于直線與圓相切，且圓心為，半徑為，則，解得或，所以，因?yàn)?，?故答案為：.14.九宮格數(shù)獨(dú)游戲是一種訓(xùn)練推理能力的數(shù)字謎題游戲.九宮格分為九個(gè)小宮格，某小九宮格如圖所示，小明需要在9個(gè)小格子中填上1至9中不重復(fù)的整數(shù)，小明通過推理已經(jīng)得到了4個(gè)小格子中的準(zhǔn)確數(shù)字，這5個(gè)數(shù)字未知，且為奇數(shù)，則的概率為__________.9745【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意列出這個(gè)試驗(yàn)的等可能結(jié)果，然后求解概率即可；【詳解】這個(gè)試驗(yàn)的等可能結(jié)果用下表表示：abcde216382183661238618328123681632236182381663218638128321683612共有12種等可能的結(jié)果，其中的結(jié)果有8種，所以的概率為.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A．（2）若，，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)輔助角公式對條件進(jìn)行化簡處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決；（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出，然后根據(jù)正弦定理算出即可得出周長【小問1詳解】方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用極值點(diǎn)求解設(shè)，則，顯然時(shí)，，注意到，，在開區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點(diǎn)，即，即，又，故方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）設(shè)，由題意，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，則，此時(shí)，即同向共線，根據(jù)向量共線條件，，又，故方法五：利用萬能公式求解設(shè)，根據(jù)萬能公式，，整理可得，，解得，根據(jù)二倍角公式，，又，故【小問2詳解】由題設(shè)條件和正弦定理，又，則，進(jìn)而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周長為16.已知橢圓C：（）的一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）直線l：與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若面積為，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率求出，從而求出，即可求解方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，韋達(dá)定理求出弦長，利用點(diǎn)到直線的距離求出高，根據(jù)面積建立方程求解即可.【小問1詳解】由焦點(diǎn)為得，又離心率，得到，所以，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】設(shè)Ax1,聯(lián)立，消y得，，得到，由韋達(dá)定理得，，，又因?yàn)?，又原點(diǎn)到直線的距離為，所以，所以，所以，即，滿足，所以直線l的方程為.17.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，由此得證.【小問1詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.18.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，為線段的中點(diǎn)，平面底面．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明平面，所以，又因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，由線面垂直的判定即可得證；（2）建立空間直角建系，不妨取，得出平面的法向量，利用空間向量求解即可．【小問1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，，平面ABCD，所以平面，平面，所以，又因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，所以，又，平面，所以平面；【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，則平面，又平面，所以，取中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，即在的中垂線上，如圖建立空間直角建系，不妨取，則設(shè)為，，A2,0,0，，所以，，，由（1）可知，計(jì)算得，，所以，又，，設(shè)平面PBC的法向量為，則，即，取，所以．19.中國女排是中國各體育團(tuán)隊(duì)中成績突出的體育團(tuán)隊(duì)之一，曾是世界上第一個(gè)“五連冠”得主，并十度成為世界冠軍，2023年在杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)上女排再度獲得冠軍．她們那種團(tuán)結(jié)協(xié)作、頑強(qiáng)拼搏的精神極大地激發(fā)了中國人的自豪、自尊和自信，為我們在新征程上奮進(jìn)提供了強(qiáng)大的精神力量．如今，女排精神廣為傳頌，家喻戶曉，各行各業(yè)的人們在女排精神的激勵(lì)下，為中華民族的騰飛頑強(qiáng)拼搏．某中學(xué)也因此掀起了排球運(yùn)動(dòng)的熱潮，在一次排球訓(xùn)練課上，體育老師安排4人一組進(jìn)行傳接球訓(xùn)練，其中甲、乙、丙、丁四人剛好圍成一個(gè)矩形（如圖），已知當(dāng)某人控球時(shí)，傳給其相鄰?fù)瑢W(xué)的概率為，傳給對角線上的同學(xué)的概率為，由甲開始傳球．（1）求第3次傳球是由乙傳給甲的概率；（2）求第次傳球后排球傳到丙手中的概率；（3）若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，，…，，則，記前次（即從第1次到第次傳球）中排球傳到乙手中的次數(shù)為，求．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）設(shè)第次傳球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分別為，得到，求出，從而得到第3次傳球是由乙傳給甲的概率；（2）求出之間的關(guān)系式，聯(lián)立后得到，，進(jìn)而得到是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，求出；（3）在（2）的基礎(chǔ)上求出，求出，利用等比數(shù)列求和公式得到答案.【小問1詳解】設(shè)第次傳球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分別為，則．第2次傳球到乙手中的概率，所