全國(guó)統(tǒng)考2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)學(xué)案理含解析北師大版

2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)必備學(xué)問預(yù)案自診學(xué)問梳理1.根式(1)根式的概念xn=a?x(2)根式的性質(zhì)①(na)n=a(n∈N+)②n2.實(shí)數(shù)指數(shù)冪(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的表示①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是amn=nam(a>0,m,n∈②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a-mn=1amn=1nam③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.

(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①aras=(a>0,r,s∈Q).

②(ar)s=(a>0,r,s∈Q).

③(ab)r=(a>0,b>0,r∈Q).

(3)無(wú)理數(shù)指數(shù)冪一般地,無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0,α為無(wú)理數(shù))是一個(gè)的實(shí)數(shù).整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)于實(shí)數(shù)指數(shù)冪.

3.指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)0<a<1a>1圖像圖像特征在x軸,過定點(diǎn)

當(dāng)x漸漸增大時(shí),圖像漸漸下降當(dāng)x漸漸增大時(shí),圖像漸漸上升續(xù)表性質(zhì)定義域

值域

單調(diào)性在R上是

在R上是

函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x=0時(shí),

當(dāng)x<0時(shí),;

當(dāng)x>0時(shí),

當(dāng)x<0時(shí),;

當(dāng)x>0時(shí),

1.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖像過三個(gè)定點(diǎn):(1,a),(0,1),-12.指數(shù)函數(shù)y=ax與y=bx的圖像特征,在第一象限內(nèi),圖像越高,底數(shù)越大;在其次象限內(nèi),圖像越高,底數(shù)越小.考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)4(π-4)4=π-(2)nan與(na)n都等于a(n∈N+).((3)(-1)24=(-1)12=(4)函數(shù)y=3·2x與y=2x+1都不是指數(shù)函數(shù).()(5)若am>an,則m>n.()2.(2024山東試驗(yàn)中學(xué)月考,3)已知12m<12n<1,則有()A.m>n>0 B.0>m>nC.n>m>0 D.0>n>m3.(2024廣東廣州模擬,4)已知函數(shù)f(x)=12x,則不等式f(a2-4)>f(3a)的解集為()A.(-4,1) B.(-1,4) C.(1,4) D.(0,4)4.(2024天津卷,6)設(shè)a=30.7,b=13-0.8,c=log0.70.8,則a,bA.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b5.不等式12x2-3<2-2關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值【例1】(1)化簡(jiǎn)416x8y4(x<A.2x2y B.2xy C.4x2y D.-2x2y(2)14-12·(4ab解題心得指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里面的,沒有括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算.(2)先乘除后加減,負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).(3)底數(shù)是負(fù)數(shù),先確定符號(hào),底數(shù)是小數(shù),先化成分?jǐn)?shù),底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的,先化成假分?jǐn)?shù).(4)若是根式,應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,盡可能用冪的形式表示,運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來解答.(5)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1化簡(jiǎn)下列各式:(1)a3b23ab(2)-278

-23+(0.002)-12-10(5-2)-考點(diǎn)指數(shù)函數(shù)的圖像及其應(yīng)用(多考向探究)考向1指數(shù)函數(shù)型圖像的判別【例2】(2024安徽馬鞍山二模,理7)已知函數(shù)f(x)=ex-e-xx2解題心得1.畫指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖像,應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(1,a),(0,1),-1,1a.2.已知函數(shù)解析式推斷其圖像一般是依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性,再結(jié)合一些特殊點(diǎn),推斷所給的圖像是否符合,若不符合則解除.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2函數(shù)f(x)=1-e|x|的圖像大致是()考向2指數(shù)函數(shù)圖像的應(yīng)用【例3】(1)若函數(shù)y=|3x-1|的圖像與直線y=m有兩個(gè)不同交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

(2)若曲線|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點(diǎn),則b的取值范圍是.

變式發(fā)散1若本例(1)的條件變?yōu)?方程3|x|-1=m有兩個(gè)不同實(shí)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

變式發(fā)散2若本例(1)的條件變?yōu)?函數(shù)y=|3x-1|+m的圖像不經(jīng)過其次象限,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

解題心得1.對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)圖像的應(yīng)用問題,一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖像入手,通過平移、對(duì)稱變換而得到.特殊地,當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)留意分類探討.2.一些指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)(2024安徽蒙城月考,4)已知0<a<1,b<-1,則函數(shù)y=ax+b的圖像必定不經(jīng)過()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限(2)函數(shù)f(x)=ax-b的圖像如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.a>1,b<0 B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0(3)若直線y=2a與函數(shù)y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn),則a的取值范圍是.

考點(diǎn)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用(多考向探究)考向1指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【例4】(1)(2024湖南永州二模,理3)已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.30.4,則()A.a>c>b B.a>b>cC.c>a>b D.b>c>a(2)若x0是方程12x=x13的解,則x0屬于區(qū)間(A.23,1 B.12,2C.13,12 D.0,1解題心得比較兩個(gè)指數(shù)冪大小時(shí),盡量化同底或同指,當(dāng)?shù)讛?shù)相同,指數(shù)不同時(shí),構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù),然后比較大小;當(dāng)指數(shù)相同,底數(shù)不同時(shí),構(gòu)造兩個(gè)指數(shù)函數(shù),利用圖像比較大小;當(dāng)?shù)讛?shù)、指數(shù)均不同時(shí),可以利用中間值比較.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)(2024全國(guó)1,文3,理3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,則()A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.b<c<a(2)當(dāng)x∈(-∞,-1]時(shí),不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(-2,1) B.(-4,3) C.(-3,4) D.(-1,2)考向2解簡(jiǎn)潔的指數(shù)方程或指數(shù)不等式【例5】(1)不等式12

x2-3<2-2(2)設(shè)函數(shù)f(x)=(12)

x-7,x<0A.(-∞,-3) B.(1,+∞)C.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)解題心得解決簡(jiǎn)潔的指數(shù)方程或不等式的問題主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性:(1)af(x)=ag(x)?f(x)=g(x);(2)af(x)>ag(x),當(dāng)a>1時(shí),等價(jià)于f(x)>g(x);當(dāng)0<a<1時(shí),等價(jià)于f(x)<g(x).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(1)已知函數(shù)f(x)=a+14x+1的圖像過點(diǎn)1,-310,若-16≤f(x)≤0,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(2)方程4x+|1-2x|=11的解為.

考向3指數(shù)型函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合【例6】(1)函數(shù)f(x)=a+bex+1(a,b∈R)是奇函數(shù),且圖像經(jīng)過點(diǎn)ln3,12,則函數(shù)f(x)的值域?yàn)?A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-3,3) D.(-4,4)(2)若不等式1+2x+4x·a>0在x∈(-∞,1]時(shí)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解題心得指數(shù)函數(shù)的綜合問題,主要涉及單調(diào)性、奇偶性、最值問題,應(yīng)在有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決,而指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的重點(diǎn)是單調(diào)性,留意利用單調(diào)性實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6(1)函數(shù)y=12

x2A.(-∞,4) B.(0,+∞)C.(0,4] D.[4,+∞)(2)函數(shù)y=14x-12x+1在x∈[-3,2]上的值域是.

1.比較大小問題,常利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間值.2.指數(shù)型函數(shù)、方程及不等式問題,可利用指數(shù)函數(shù)的圖像、性質(zhì)求解.3.與指數(shù)型函數(shù)有關(guān)的恒成立問題:(1)當(dāng)a>1時(shí),af(x)≥ag(x)恒成立?f(x)≥g(x)恒成立?f(x)-g(x)≥0恒成立?[f(x)-g(x)]min≥0.(2)當(dāng)0<a<1時(shí),af(x)≥ag(x)恒成立?f(x)≤g(x)恒成立?f(x)-g(x)≤0恒成立?[f(x)-g(x)]max≤0.解決與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時(shí),若底數(shù)不確定,應(yīng)留意對(duì)a>1及0<a<1進(jìn)行分類探討.2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)必備學(xué)問·預(yù)案自診學(xué)問梳理2.(1)③0(2)①ar+s②ars③arbr(3)確定同樣適用3.上方(0,1)R(0,+∞)減函數(shù)增函數(shù)y=1y>10<y<10<y<1y>1考點(diǎn)自診1.(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2.A因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=12x在R上遞減,所以由12m<12n<1=120,得m>n>0,故選A.3.B因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=12x在R上遞減,所以由不等式f(a2-4)>f(3a),得a2-4<3a,解得-1<a<4,故選B.4.D∵b=13-0.8=30.8>30.7=a>30=1,c=log0.70.8<log0.70.7=5.{x|x>3或x<-1}∵12x2-3<2-2∵y=12x在∴x2-3>2x,解得x>3或x<-1,故答案為{x|x>3或x<-1}.關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1(1)D(2)85(1)416x8y4=(16x8y4)14=[24·(-x=24×14·(-x)8×=2(-x)2(-y)=-2x2y.(2)原式=2×4對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1解(1)原式=(a3b2a1(2)原式=-278

-23+1500

-12-105-2+1=-827

23+50012-10(5+例2A函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0},故解除B,由函數(shù)的解析式易得f(x)=-f(-x),則函數(shù)為奇函數(shù),故解除C,D,故選A.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2A由題知f(x)=1-e|x|是偶函數(shù),圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,故解除B,D,又e|x|≥1,則f(x)≤0,故解除C,故選A.例3(1)(0,1)(2)[-1,1](1)如圖,函數(shù)y=|3x-1|的圖像是由函數(shù)y=3x的圖像向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后,再把位于x軸下方的圖像沿x軸翻折到x軸上方得到的,而直線y=m的圖像是平行于x軸的一條直線.如圖所示,由圖像可得,假如曲線y=|3x-1|與直線y=m有兩個(gè)公共點(diǎn),則m的取值范圍是(0,1).(2)曲線|y|=2x+1與直線y=b的圖像如圖所示.由圖像可得,若|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點(diǎn),則-1≤b≤1.故b的取值范圍是[-1,1].變式發(fā)散1(0,+∞)作出函數(shù)y=3|x|-1與y=m的圖像如圖所示,數(shù)形結(jié)合可得m的取值范圍是(0,+∞).變式發(fā)散2(-∞,-1]作出函數(shù)y=|3x-1|+m的圖像如圖所示.由圖像知m≤-1,即m∈(-∞,-1].對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)A(2)D(3)0,12(1)因?yàn)?<a<1,b<-1,則函數(shù)y=ax+b的大致圖像如圖.由圖像可知,y=ax+b的圖像必定不經(jīng)過第一象限.故選A.(2)由圖像知f(x)是減函數(shù),所以0<a<1,又由圖像在y軸上的截距小于1,則a-b<1,即-b>0,所以b<0.故選D.(3)①當(dāng)0<a<1時(shí),y=|ax-1|的圖像如下圖,因?yàn)閥=2a與y=|ax-1|的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),所以0<2a<1.所以0<a<12②當(dāng)a>1時(shí),y=|ax-1|的圖像如下圖,而此時(shí)直線y=2a不行能與y=|ax-1|的圖像有兩個(gè)交點(diǎn).綜上,a的取值范圍是0,12.例4(1)B(2)C(1)因?yàn)閥=0.3x是減函數(shù),所以0.30.3>0.30.4,即c<b<1,而ab=0.40.30.3=430.3>1,即a>b,則(2)設(shè)f(x)=12x-x13,f(0)=1>0,f13=12

13-13

13,由冪函數(shù)y=x13遞增,得f13=12

13-13

13>0;f12=12

12-12

13,由指數(shù)函數(shù)y=12x遞減,得f12=1對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)B(2)D(1)因?yàn)閍=log20.2<0,b=20.2>20=1,又0<c=0.20.3<0.20=1,所以a<c<b.故選B.(2)∵(m2-m)·4x-2x<0在區(qū)間(-∞,-1]上恒成立,∴m2-m<12x在區(qū)間(-∞,-1]上恒成立.∵y=12x在(-∞,-1]上遞減,∴當(dāng)x∈(-∞,-1]時(shí),y=12x≥2,∴m2-m<例5(1){x|x>3,或x<-1}(2)C(1)∵12

x2-3<∴12

x2-3<1∵y=12x在R上遞減,∴x2-3>2x,解得x>3或x<-1,故不等式解集為{x|x>3,或x<-1}.(2)當(dāng)a<0時(shí),不等式f(a)<1可化為12a-7<1,則12a<8,即12a<12-3,因?yàn)閥=12x在定義域內(nèi)是減函數(shù),所以a>-3,則-3<a<0;當(dāng)a≥0時(shí),不等式f(a)<1可化為a<1,所以0≤a<1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-3,1),故選C.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(1)0,12(2)x=log23(1)∵f(x)=a+14x+1的圖像過點(diǎn)1,-310,∴a+15=-310,解得a=-12,即f(x∵-16≤f(x∴-16∴13∴2≤4x+1≤3,即1≤4x≤2,∴0≤x≤12(2)當(dāng)x≥0時(shí),原方程化