2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章平面向量數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入第一講平面向量的概念及其線性運算學(xué)案含解析新人教版

PAGE第四章平面對量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入第一講平面對量的概念及其線性運算學(xué)問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)學(xué)問點一向量的有關(guān)概念(1)向量：既有__大小__又有__方向__的量叫做向量，向量的大小叫做向量的__長度__(或稱__模__)．(2)零向量：__長度為0__的向量叫做零向量，其方向是__隨意__的，零向量記作__0__.(3)單位向量：長度等于__1__個單位的向量．(4)平行向量：方向相同或__相反__的__非零__向量；平行向量又叫__共線__向量．規(guī)定：0與任一向量__平行__.(5)相等向量：長度__相等__且方向__相同__的向量．(6)相反向量：長度__相等__且方向__相反__的向量．學(xué)問點二向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算__三角形__法則__平行四邊形__法則(1)交換律：a＋b＝__b＋a__；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__減法向量a加上向量b的__相反向量__叫做a與b的差，即a＋(－b)＝a－b__三角形__法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘實數(shù)λ與向量a的積是一個__向量__記作λa(1)模：|λa|＝|λ||a|；(2)方向：當(dāng)λ>0時，λa與a的方向__相同__；當(dāng)λ<0時，λa與a的方向__相反__；當(dāng)λ＝0時，λa＝0設(shè)λ，μ是實數(shù)．(1)__λ(μa)__＝(λμ)a(2)(λ＋μ)a＝__λa＋μa__(3)λ(a＋b)＝__λa＋λb__.學(xué)問點三共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個實數(shù)λ，使__b＝λa__.eq\x(歸)eq\x(納)eq\x(拓)eq\x(展)1．零向量與任何向量共線．2．與向量a(a≠0)共線的單位向量±eq\f(a,|a|).3．若存在非零實數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))或eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，則A，B，C三點共線．4．首尾相連的一組向量的和為0.5．若P為AB的中點，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．6．若a、b不共線，且λa＝μb，則λ＝μ＝0.eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．推斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量．(×)(2)若a∥b，b∥c，則a∥c.(×)(3)若向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反．(×)(4)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上．(×)(5)當(dāng)兩個非零向量a，b共線時，肯定有b＝λa，反之成立．(×)題組二走進教材2．(必修4P91A組T4改編)化簡eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝(B)A．eq\o(AD,\s\up6(→)) B．0C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．eq\o(DA,\s\up6(→))[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.3．(必修4P84T4改編)向量e1，e2，a，b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，向量a－b等于(C)A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2[解析]由圖可知a＝－4e2，b＝－(e1＋e2)，∴a－b＝e1－3e2，故選C．4．(必修4P91A組T3改編)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是(C)A．eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))B．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))D．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0[解析]由eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＝－eq\o(BD,\s\up6(→))，故C錯誤．題組三走向高考5．(2024·新高考Ⅱ，3,5分)若D為△ABC的邊AB的中點，則eq\o(CB,\s\up6(→))＝(A)A．2eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)) B．2eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))C．2eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)) D．2eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))[解析]∵D為△ABC的邊AB的中點，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))，∴eq\o(CB,\s\up6(→))＝2eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)).故選A．6．(2015·新課標(biāo)2)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝__eq\f(1,2)__.[解析]∵a、b不平行，∴a＋2b≠0，由題意可知存在唯一實數(shù)m，使得λa＋b＝m(a＋2b)，即(λ－m)a＝(2m－1)b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－m＝0,2m－1＝0))，解得λ＝eq\f(1,2).考點突破·互動探究考點一向量的基本概念——自主練透例1(1)給出下列命題，正確的是(B)A．若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同B．若A，B，C，D是不共線的四點，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD為平行四邊形C．a(chǎn)＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥bD．已知λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線(2)若a0為單位向量，a為平面內(nèi)的某個向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|·a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0，假命題的個數(shù)是(D)A．0 B．1C．2 D．3[解析](1)A錯誤，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不肯定有相同的起點和終點；B正確，因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形；C錯誤，當(dāng)a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件；D錯誤，當(dāng)λ＝μ＝0時，a與b可以為隨意向量，滿意λa＝μb，但a與b不肯定共線．故選B．(2)①②③均為假命題．名師點撥(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān)．(3)平行向量就是共線向量，二者是等價的；但相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量肯定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系是：eq\f(a,|a|)是a方向上的單位向量．考點二向量的線性運算——師生共研例2(1)(2024·武漢調(diào)研)設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)的隨意一點，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于(D)A．eq\o(OM,\s\up6(→)) B．2eq\o(OM,\s\up6(→))C．3eq\o(OM,\s\up6(→)) D．4eq\o(OM,\s\up6(→))(2)(2024·全國Ⅰ理，6)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則eq\o(EB,\s\up6(→))＝(A)A．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))[解析](1)如圖，在△OAC中，M為AC中點，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，在△OBD中，eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，故選D．(2)如圖，由E為AD的中點，得eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).又∵D為BC的中點，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).∴eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).故選A．名師點撥平面對量線性運算問題的常見類型及解題策略(1)考查向量加法或減法的幾何意義．(2)求已知向量的和或差．一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則；求首尾相連的向量的和用三角形法則．(3)與三角形綜合，求參數(shù)的值．求出向量的和或差，與已知條件中的式子比較，求得參數(shù)．(4)與平行四邊形綜合，探討向量的關(guān)系．畫出圖形，找出圖中的相等向量、共線向量，將所求向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解．〔變式訓(xùn)練1〕(1)已知三角形ABC是等邊三角形，D為AB的中點，點E滿意2eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝0，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝(A)A．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→)) B．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))C．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→)) D．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))(2)如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點C，D是半圓弧的兩個三等分點，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝(D)A．a(chǎn)－eq\f(1,2)b B．eq\f(1,2)a－bC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b D．eq\f(1,2)a＋b[解析](1)由2eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝0知eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))－\o(CD,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→)).(2)連接CD，由點C，D是半圓弧的三等分點，得CD∥AB，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a.考點三共線向量定理及其應(yīng)用——師生共研例3設(shè)兩個非零向量a與b不共線．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．[分析](1)利用向量證明三點共線時，首先要證明兩個非零向量共線，然后再說明兩向量有公共點，這時才能說明三點共線；(2)利用共線向量定理求解．[解析](1)證明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線，又∵它們有公共點B，∴A，B，D三點共線．(2)∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共線的兩個非零向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))解得k＝±1.[引申]本例(2)中，若ka＋b與a＋kb反向，則k＝__－1__；若ka＋b與a＋kb同向，則k＝__1__.[解析]由本例可知ka＋b與a＋kb反向時λ<0，從而k＝－1；ka＋b與a＋kb同向時λ>0，從而k＝1.名師點撥平面對量共線的判定方法(1)向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實數(shù)λ，使b＝λa.要留意通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要留意待定系數(shù)法和方程思想的運用．(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)留意向量共線與三點共線的區(qū)分與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(2024·濟南模擬)已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d共線反向，則實數(shù)λ的值為(B)A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)(2)已知向量a，b，c中隨意兩個都不共線，并且a＋b與c共線，b＋c與a共線，那么a＋b＋c等于(D)A．a(chǎn) B．bC．c D．0[解析](1)由于c與d共線反向，則存在實數(shù)k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共線，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2).又因為k<0，所以λ<0，故λ＝－eq\f(1,2).故選B．(2)∵a＋b與c共線，∴a＋b＝λ1c.①又∵b＋c與a共線，∴b＋c＝λ2a.②由①得：b＝λ1c－a.∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＋1＝0，,λ2＝－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\c