2024學(xué)年通化市集安一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷附答案解析

學(xué)年通化市集安一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷滿分150分，時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)第十章，選擇性必修第一冊(cè)第二章、第三章3.1．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.某生物實(shí)驗(yàn)室有3種月季花種子，其中開紅色花的種子有200顆，開粉色花的種子有150顆，開橙色花的種子有180顆.從這些種子中任意選取1顆，則這顆種子對(duì)應(yīng)開花的顏色為橙色的概率為（）A. B. C. D.3.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，則（）A.2 B.4 C.8 D.164.若方程表示一個(gè)圓，則的取值范圍為（）A. B.C. D.5.已知直線與直線平行，且與橢圓交點(diǎn)為，，則（）A. B.C. D.6.若直線與曲線C：有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.7.已知圓A：內(nèi)切于圓P，圓P內(nèi)切于圓B：，則動(dòng)圓P的圓心軌跡方程為（）A. B. C. D.8.已知圓與圓交于兩點(diǎn)，則（為圓圓心）面積的最大值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知直線：，：，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.存在實(shí)數(shù)m，使得C.當(dāng)時(shí)， D.與直線之間的距離為10.有四個(gè)盲盒，每個(gè)盲盒內(nèi)都有3個(gè)水晶崽崽，其中三個(gè)盲盒里面分別僅裝有紅色水晶崽崽?藍(lán)色水晶崽崽?粉色水晶崽崽，剩下那個(gè)盲盒里面三種顏色的水晶崽崽都有.現(xiàn)從中任選一個(gè)盲盒，設(shè)事件為“所選盲盒中有紅色水晶崽崽”，為“所選盲盒中有藍(lán)色水晶崽崽”，為“所選盲盒中有粉色水晶崽崽”，則（）A.與不互斥 B.C. D.與相互獨(dú)立11.已知曲線，則（）A.關(guān)于軸對(duì)稱 B.C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.的周長(zhǎng)為 D.直線與有個(gè)交點(diǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.從1，2，3，4，5，7這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)，則這2個(gè)數(shù)均為質(zhì)數(shù)的概率為________．13.在中，，，，則點(diǎn)的軌跡方程為________．14.已知P為橢圓C上一點(diǎn)，，為C的兩個(gè)焦點(diǎn)，，，則C的離心率為________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）若直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行，求直線的一般式方程；（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)，且在x軸、y軸上的截距互為相反數(shù)，求直線的斜截式方程．16.，，三人參加知識(shí)闖關(guān)比賽，三人闖關(guān)成功與否相互獨(dú)立.已知闖關(guān)成功的概率是，，，三人闖關(guān)都成功的概率是，，，三人闖關(guān)都不成功的概率是.（1）求，兩人各自闖關(guān)成功的概率；（2）求，，三人中恰有兩人闖關(guān)成功概率.17.已知圓（為常數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，求直線被圓截得弦長(zhǎng)．（2）證明：圓經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)．（3）設(shè)圓經(jīng)過的兩個(gè)定點(diǎn)為，，若，且，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．18.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，A，B兩點(diǎn)均在C上，且，.（1）若，求C的方程；（2）若，直線AB與y軸交于點(diǎn)P，且，求四邊形AF1BF2的周長(zhǎng).19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到軸的距離為，且，其中均為常數(shù)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為曲線.（1）若曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍.（2）設(shè)曲線為曲線，斜率為的直線過的右焦點(diǎn)，且與交于兩個(gè)不同的點(diǎn).（i）若，求；（ii）若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn).2024-2025學(xué)年度上學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)第十章，選擇性必修第一冊(cè)第二章、第三章3.1．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由傾斜角與斜率的關(guān)系計(jì)算即可得.【詳解】由，得傾斜角為．故選：C.2.某生物實(shí)驗(yàn)室有3種月季花種子，其中開紅色花的種子有200顆，開粉色花的種子有150顆，開橙色花的種子有180顆.從這些種子中任意選取1顆，則這顆種子對(duì)應(yīng)開花的顏色為橙色的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求得正確答案.【詳解】這顆種子對(duì)應(yīng)開花的顏色為橙色的概率為.故選：A3.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】根據(jù)短軸長(zhǎng)求得，討論大小及橢圓定義求參數(shù).【詳解】由的短軸長(zhǎng)為4，得，即，則，若，則，顯然矛盾；若，則．經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，橢圓的短軸長(zhǎng)為4，故選：B4.若方程表示一個(gè)圓，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將方程化為圓的一般方程，利用列式即可求.【詳解】若方程表示一個(gè)圓，則，方程可化，所以1+?4b2?4>0所以或.故選：D5.已知直線與直線平行，且與橢圓的交點(diǎn)為，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)在橢圓上，結(jié)合斜率，利用點(diǎn)差法可得解.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以直線的斜率為，即，因?yàn)?，都在橢圓上，所以，，則，即，所以，所以，故選：A.6.若直線與曲線C：有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)曲線的方程可得曲線是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的軸的上半部分（含軸），求出直線與圓相切時(shí)的值，再結(jié)合圖形即可求解.【詳解】由得，所以曲線是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的軸的上半部分（含軸），直線過定點(diǎn)，

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離，解得或（舍去），當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線斜率為，結(jié)合圖形可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.7.已知圓A：內(nèi)切于圓P，圓P內(nèi)切于圓B：，則動(dòng)圓P的圓心軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)和橢圓的定義求得：，，再利用，，的關(guān)系求解方程即可.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，設(shè)圓的半徑為，由于圓內(nèi)切于圓，所以；由于圓內(nèi)切于圓，所以；由于，所以點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓.則，，所以，；所以動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為.故選：A8.已知圓與圓交于兩點(diǎn)，則（為圓的圓心）面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出兩圓的半徑，從而可得，因?yàn)闉殇J角，所以要使的面積最大，只要取得最大值即可，此時(shí)，解出的面積，即可得解.【詳解】由題意得：，所以圓心，半徑，由兩圓相交于兩點(diǎn)可知：，所以的面積，因?yàn)槭前霃綖?的圓，所以，當(dāng)時(shí)，，又，此時(shí)由，解得，，故AB可以取最大值2；所以當(dāng)時(shí)，最大，且是銳角，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)時(shí)，最大，在中由余弦定理可得：，所以，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用三角形的面積公式表示面積之后，關(guān)鍵點(diǎn)在于利用圓的幾何性質(zhì)尋找AB的最大值，從而確定面積的的最大值.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知直線：，：，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.存在實(shí)數(shù)m，使得C.當(dāng)時(shí)， D.與直線之間的距離為【答案】AD【解析】【分析】通過的取值結(jié)合垂直和平行的要求判斷A，B，C；，利用平行線間的距離公式判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，：，：，此時(shí)，所以，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，且，無解，故不存在實(shí)數(shù)m，使得；故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，：，：，此時(shí)，所以與不垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)榍?，所以與直線平行，距離為，故D正確，故選：AD.10.有四個(gè)盲盒，每個(gè)盲盒內(nèi)都有3個(gè)水晶崽崽，其中三個(gè)盲盒里面分別僅裝有紅色水晶崽崽?藍(lán)色水晶崽崽?粉色水晶崽崽，剩下的那個(gè)盲盒里面三種顏色的水晶崽崽都有.現(xiàn)從中任選一個(gè)盲盒，設(shè)事件為“所選盲盒中有紅色水晶崽崽”，為“所選盲盒中有藍(lán)色水晶崽崽”，為“所選盲盒中有粉色水晶崽崽”，則（）A.與不互斥 B.C. D.與相互獨(dú)立【答案】ACD【解析】【分析】由互斥事件，獨(dú)立事件，以及各個(gè)事件的概率關(guān)系逐一判斷即可；【詳解】對(duì)于A，和可以同時(shí)發(fā)生，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，故D正確；故選：ACD.11.已知曲線，則（）A.關(guān)于軸對(duì)稱 B.C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.的周長(zhǎng)為 D.直線與有個(gè)交點(diǎn)【答案】ABC【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)在曲線上，分別代入點(diǎn)與，可判斷AB選項(xiàng)；分別確定曲線在各象限時(shí)的圖形及其對(duì)應(yīng)的曲線，可判斷C選項(xiàng)與D選項(xiàng).詳解】設(shè)點(diǎn)在曲線上，即，A選項(xiàng)：代入點(diǎn)，可知，即點(diǎn)在曲線上恒成立，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：代入點(diǎn)，得，即點(diǎn)在曲線上恒成立，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或，即過，，三點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)方程為，即，表示以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在第一象限的部分；當(dāng)，時(shí)方程為，即，表示以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在第四象限的部分；當(dāng)，時(shí)方程為，即，表示以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在第二象限的部分；當(dāng)，時(shí)方程為，即，表示以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在第三象限的部分；曲線在第一象限部分的方程為設(shè)圓心為，與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為，，則，所以第一象限內(nèi)圖形所表示弧長(zhǎng)，又曲線關(guān)于軸及原點(diǎn)對(duì)稱，所以曲線的周長(zhǎng)為，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：直線，過點(diǎn)，在曲線右半部分的內(nèi)部，所以與曲線右半部分有個(gè)交點(diǎn)，且直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)，又直線當(dāng)時(shí)，，即過點(diǎn)，在曲線左半部分的內(nèi)部，所以直線與曲線左半部分有個(gè)交點(diǎn)，綜上所述直線與曲線有個(gè)交點(diǎn)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.從1，2，3，4，5，7這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)，則這2個(gè)數(shù)均為質(zhì)數(shù)的概率為________．【答案】##【解析】【分析】利用列舉法求解，先列出從6個(gè)數(shù)任取2個(gè)數(shù)的所有情況，再列出這2個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)的情況，然后利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】由1，2，3，4，5，7這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)構(gòu)成的樣本空間為：,所以樣本空間共15個(gè)樣本點(diǎn)，記2個(gè)數(shù)均為質(zhì)數(shù)為事件,則，事件共包含6個(gè)樣本點(diǎn)，所以這2個(gè)數(shù)均為質(zhì)數(shù)為事件的概率為.故答案為：.13.在中，，，，則點(diǎn)的軌跡方程為________．【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，分別表示與，化簡(jiǎn)即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，，則，化簡(jiǎn)可得，故答案為：.14.已知P為橢圓C上一點(diǎn)，，為C的兩個(gè)焦點(diǎn)，，，則C的離心率為________．【答案】【解析】【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值結(jié)合橢圓的定義與性質(zhì)計(jì)算即可【詳解】如圖，取線段的中點(diǎn)M，連接，因?yàn)?，，所以，且，所以，設(shè)，所以C的離心率為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）若直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行，求直線的一般式方程；（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)，且在x軸、y軸上的截距互為相反數(shù)，求直線的斜截式方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由題意設(shè)直線方程為：，代入即可求；（2）分直線截距為0和不為0兩種情況討論即可求.【詳解】（1）設(shè)所求直線方程為：，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以直線的一般式方程為；（2）當(dāng)直線的截距為0時(shí)，直線方程為：，當(dāng)直線的截距不為0時(shí)，由題意可設(shè)直線方程為：，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，所以直線方程為：，即，綜上所述：直線方程為或.16.，，三人參加知識(shí)闖關(guān)比賽，三人闖關(guān)成功與否相互獨(dú)立.已知闖關(guān)成功的概率是，，，三人闖關(guān)都成功的概率是，，，三人闖關(guān)都不成功的概率是.（1）求，兩人各自闖關(guān)成功的概率；（2）求，，三人中恰有兩人闖關(guān)成功的概率.【答案】（1），兩人各自闖關(guān)成功的概率都是.（2）【解析】【分析】（1）記三人各自闖關(guān)成功分別為事件，三人各自獨(dú)立闖關(guān)，由題意結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式可列出方程組，從而解得，兩人各自闖關(guān)成功的概率；（2）三人中恰有兩人闖關(guān)成功為事件，利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式計(jì)算即可．【小問1詳解】記三人各自闖關(guān)成功分別為事件，三人闖關(guān)成功與否得相互獨(dú)立，且滿足，解得，，所以，兩人各自闖關(guān)成功的概率都是.【小問2詳解】設(shè)，，三人中恰有兩人闖關(guān)成功為事件，則，所以三人中恰有兩人闖關(guān)成功的概率為.17.已知圓（為常數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，求直線被圓截得的弦長(zhǎng)．（2）證明：圓經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)．（3）設(shè)圓經(jīng)過的兩個(gè)定點(diǎn)為，，若，且，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)利用配方求出圓的圓心、半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再由可得答案；（2）由令與聯(lián)立解方程組可得答案；（3）（方法一）設(shè)的中點(diǎn)為，由得求出可得答案．（方法二）由利用兩點(diǎn)間的距離公式求出可得答案．【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，圓，此時(shí)，圓的圓心為，半徑．則圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為；【小問2詳解】由，得，令，因?yàn)闉槌?shù)所以得，由解得或，所以圓經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)，且這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為；【小問3詳解】（方法一）設(shè)的中點(diǎn)為，不妨設(shè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．因?yàn)椋?，所以，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（方法二）不妨設(shè)，因，所以，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．18.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，A，B兩點(diǎn)均在C上，且，.（1）若，求C的方程；（2）若，直線AB與y軸交于點(diǎn)P，且，求四邊形AF1BF2的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【解