2024-2025學年北師版八年級上冊數(shù)學期末專項復習：一次函數(shù)（考點清單） 解析版

專題04講一次函數(shù)（考點清單）

【聚焦考點】

題型一：正比例函數(shù)和一次函數(shù)的定義

題型二：正比例函數(shù)的圖像和性質

題型三：一次函數(shù)的圖像問題

題型四：一次函數(shù)的性質

題型五：一次函數(shù)和一元一次方程

題型六：一次函數(shù)和一元一次不等式

題型七：一次函數(shù)和二元一次方程

題型八：一次函數(shù)的實際應用

題型九：一次函數(shù)和幾何問題

【題型歸納】

題型一：正比例函數(shù)和一次函數(shù)的定義

【典例1】（2022上?甘肅平?jīng)?八年級統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中是正比例函數(shù)的是（）

一81

A.y——8xB.y=—C.y=5x~+6D.y=—x—1

x2

【答案】A

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義，y=kx（k/O）,對各選項逐一分析判斷即可得答案.

【詳解】解：A.y=-8x,是正比例函數(shù)，故該選項符合題意；

B.y=—,自變量x在分母上，不是正比例函數(shù)，故該選項不符合題意；

X

C.y=5f+6,自變量x的指數(shù)是2,不是1,不是正比例函數(shù)，故該項不符合題意，

D.y=1x-l,是一次函數(shù)，不是正比例函數(shù)，故該項不符合題意.

故選：A.

【專訓1-1]（2023上?江蘇淮安?八年級?？计谀┫铝泻瘮?shù)中，是一次函數(shù)的是（）

1

A.y—X—2x—1B.y=-C.y=3%—5D.y=------

xx-1

【答案】c

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義解答即可.

【詳解】解：A.自變量次數(shù)為2,不是一次函數(shù)，故A不符合題意；

B.分母中含有未知數(shù)，不是一次函數(shù)，故B不符合題意；

C.自變量次數(shù)為1,是一次函數(shù)，故C符合題意；

D.分母中含有未知數(shù)，不是一次函數(shù)，故D不符合題意.

故選：C.

【專訓1-2]（2022下?新疆烏魯木齊?八年級統(tǒng)考期末）下列選項中，y與龍的關系為正比例函數(shù)關系的是（）

A.正方形的周長y（cm）與邊長x（cm）的關系

B.圓的面積Men?）與半徑Men?）的關系

C.直角三角形中一個銳角的度數(shù)y與另一個銳角的度數(shù)x的關系

D.矩形的面積為20cm2,長y（cm）與寬x（cm）之間的關系

【答案】A

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義：形如：y=履（左力0）的函數(shù)為正比例函數(shù)，列出題目中的函數(shù)關系，判斷即可.

【詳解】A、依題意得到＞=4無，所以正方形周長y（厘米）和它的邊長尤（厘米）的關系成正比例函數(shù)，故本選項

正確；

B、依題意得到丁="/，則y與x不是正比例函數(shù)，故本選項錯誤；

C、依題意得到＞=90-X,則y與尤是一次函數(shù)關系.故本選項錯誤；

20

D、依題意，得到y(tǒng)=一,則y與x不是正比例函數(shù).故本選項錯誤；

x

故選：A.

題型二：正比例函數(shù)的圖像和性質

x

y=—

【典例2】（2023下?青海西寧?八年級統(tǒng)考期末）關于正比例函數(shù)2,下列結論正確的是（）

A.k=—2B.圖象必經(jīng)過點（-1,2）

C.圖象不經(jīng)過原點D.y隨x的增大而減小

【答案】D

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質直接解答即可.

Y1

【詳解】解：A.正比例函數(shù)＞=的左=-j故選項錯誤，不符合題意；

B.將（-1，2）代入解析式得，故本選項錯誤，不合題意；

C.正比例函數(shù)了=-]的圖象過原點，故本選項錯誤，不合題意；

D.由于函數(shù)圖象過二、四象限，則函數(shù)值y隨x的增大而減小，故本選項正確，符合題意.

故選：D.

【專訓2-1]（2023下?黑龍江綏化?八年級?？计谀┲本€'=履過點（/%）,（9,%），若%-無2=1，%-%=-2,

則左的值為（）

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】D

【分析】把點（外,%）,（%2，%）代入解析式可%-%=附-也=左（芭-W），即可求解.

【詳解】解：..?直線y=近過點（/%）,（%，%），

/.%=kx、,y2=kx2,

y1-y2=kxl-kx1=%（玉一%），

xY-x2=1,yi-y2=-2,

：.k=-2.

故選：D

【專訓2-2］（2023下?河北石家莊?八年級統(tǒng)考期末）點4。,%）和8（2,%）都在正比例函數(shù)丫=卮（左彳0,且左為常

數(shù)）的圖象上，若%>為，則k的值可能是（）

A.k=0.5B.k=—lC.k=2D.k=3

【答案】B

【分析】由0<2,%>%,利用正比例函數(shù)的性質可得出左<0,即可得出結論.

【詳解】解：

即y隨x的增大而減小，

%<0,

???%值可以為-1.

故選：B.

題型三：一次函數(shù)的圖像問題

【典例3】（2022下.云南紅河.八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知經(jīng)過點”（1,4）的直線y=fcv+b（%wO）與直線y=2元-3

平行，則％,6的值為（）

A.k=2,b=2B.k=2,b=—2

C.k=—2,b=2D.k=—2,b=—2

【答案】A

【分析】先根據(jù)兩直線平行的問題得到左=2,然后把M點坐標代入>=2尤+6求出6即可.

【詳解】解：,??直線y=與直線y=2x—3平行，

:.k=2,

?.?直線y=2尤+6經(jīng)過點”（1,4）,

2xl+b=4,

:.6=2,

.".k=2,6=2,

故選：A.

【專訓3-1]（2020上.廣東深圳?八年級統(tǒng)考期末）兩條直線％=〃既-"與女=依-7篦在同一坐標系中的圖象可能是

圖中的（）

【答案】B

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的中的九〃的符號，逐項分析判斷，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質分析如下:

A.由y^mx-n圖象可知加<0,?<0；由%=質-根圖象可知帆<0,n>0,A錯誤;

B.由％=7加一"圖象可知m>0,n<0；由％=加一加圖象可知機>0，n<0,B正確;

C.由必=如—"圖象可知m>0,〃>0；由%=加一根圖象可知〃2<0，〃>0c錯誤;

D.由％=〃狀一〃圖象可知加>0,”>0;由％=質-機圖象可知機>0,n<Q,D錯誤,

故選：B.

【專訓3-2】.（2023下?山東聊城?八年級統(tǒng)考期末）已知直線4：y=Ax+6與直線仁y=-：升能都經(jīng)過C（-1,|）,

直線4交y軸于點BQ4）,交x軸于點A,直線&交y軸于點D尸為y軸上任意一點，連接P4PC,有以下說

法：

「77[6

y=kx+bx=——

①方程組1的解為??

y=—x+m_o

②直線4：y=■匕的％=2；

③SaABD=6;

④當PA+PC的值最小時，點P的坐標為（0,1）.

A.①②③B,①②④C.①③④D.①②③④

【答案】B

【分析】①根據(jù)一次函數(shù)圖象與二元一次方程的關系，利用交點坐標可得方程組的解；②利用待定系數(shù)法求得上的

值；③求得3。和4。的長，根據(jù)三角形面積計算公式，即可得到△ABD的面積；④根據(jù)軸對稱的性質以及兩點之

間線段最短，即可得到當PA+PC的值最小時，點P的坐標為

【詳解】解：①：直線乙：，=履+萬與直線口>=-；》+機都經(jīng)過。（一|,|）,

y=kx+bx-

。5,故①正確，符合題意；

...方程組1,的解為，

y=——x-\-mO

〔2［竺

-5

4=br,0

②把3(0,4),C(-代入直線Ay^kx+b,可得<86,,,解得％,>

-=——k+b\b=4

1551

.,?故②正確，符合題意；

?父1

③把。(一1二)代入直線JJ=--x+m,可得〃z=l,

y=—；x+l中，令x=0,則y=l

JD(0,l),

???50=4—1=3,

在直線4：y=2冗+4中，令y=0,則x=-2,

A(—2,0),

???AO=2,

；故③錯誤,

S.ABD=X3X2=3,不符合題意；

④點A關于y軸對稱的點為4（2,0）,連接PA',

由點C、A的坐標得，直線CA的表達式為：y=-；x+l,

由對稱知，PA=PA,PA+PC=PA'+PC>CA',

當點C,P,A共線，即點尸位于點。處時，PT+PC=C4',PA+PC最小，

...當R4+PC的值最小時，點P的坐標為（0,1）,故④正確，符合題意；

故選：B.

題型四：一次函數(shù)的性質

【典例4】（2023下?內蒙古呼倫貝爾?八年級統(tǒng)考期末）對于函數(shù)y=-gx+l,下列結論正確的是（）

A.它的圖象必經(jīng)過點（1,0）B.它的圖象與y軸的交點坐標為（0,2）

C.當x>3時，y>0D.y的值隨x值的增大而減小

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可知“它的圖象必經(jīng)過點（1,。）”錯誤；根據(jù)函數(shù)解析式可知函數(shù)y=-gx+l經(jīng)過第一、二、

四象限；根據(jù)一次函數(shù)的性質即可解答.

【詳解】解：???函數(shù)解析式為y=-；x+l,

.,.當x=1時，y=g，

“它的圖象必經(jīng)過點（1,。）”錯誤，

故A項不符合題意；

??1函數(shù)解析式為>,

.??函數(shù)與X軸交于（2,0）,與》軸交于（0,1）,

二函數(shù)y=-gx+i經(jīng)過第一、二、四象限，

故B項不符合題意；

?.?當y=0時，X=2,

.,.當y<0時，x>2,

故C項不符合題意；

函數(shù)解析式為y=-：x+i,

--<o,

2

的值隨無值的增大而減小，

故D項符合題意；

故選：D.

【專訓4-1］（2023下?山東聊城?八年級統(tǒng)考期末）已知爾"丹）,B（X2,力）為直線V=2X-3上不相同的兩個點,

以下判斷正確的是（）

A.（不一赴）（%—%）＞°B.（王一%）（％一%）＜。

C.（石一馬）（%一%）2D.（占一%）（%一%）?0

【答案】A

【分析】將兩個點代入直線方程整理判斷即可.

【詳解】解：將48兩點坐標分別代入直線方程，得以=2玉-3,%=2%-3,則％一%=2&-馬）?

2

（^-x2）（y1-y2）=2（x1-x2）＞0.

：A、B兩點不相同，

七一%w0,

（占一々）（%一%）＞0.

故選：A.

【專訓4-2］（2023上?四川成都?八年級統(tǒng)考期末）關于一次函數(shù)＞=-2元+3,下列結論正確的是（）

A.圖象不經(jīng)過第二象限

B.圖象與x軸的交點是（0,3）

C.將一次函數(shù)＞=-2尤+3的圖象向上平移3個單位長度后，所得圖象的函數(shù)表達式為＞=-2%+6

D?點（4，無）和（范，人）在一次函數(shù)y=-2x+3的圖象上，若菁＜尤2，則

【答案】C

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質，逐項判斷即可作答.

【詳解】A.-2＜0,3＞0,一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故本項原說法錯誤；

B.圖象與y軸的交點是（0,3）,故本項原說法錯誤；

C.將一次函數(shù)y=-2x+3的圖象向上平移3個單位長度后，所得圖象的函數(shù)表達式為y=-2x+6,故本項說法正

確；

D.點（孫乙）和（4,%）在一次函數(shù)＞=-2元+3的圖象上，若不＜%2，則%＞上，故本項原說法錯誤；

故選：C.

題型五：一次函數(shù)和一元一次方程

【典例5】（2023下?河南商丘?八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線＞=x+4和直線y=+〃相交于點尸，根據(jù)圖像可知，

關于%的方程％+4=以+/?的解是（）

A.%=16或%=20B.x=20C.%=16D.x=—16

【答案】C

【分析】兩直線的交點坐標為兩直線解析式所組成的方程組的解.

【詳解】???直線>=尤+4和直線6相交于點p,

x+4=ar+6的解是：尤=16,

故選：C.

【專訓5-1］（2023下?遼寧大連?八年級統(tǒng)考期末）一次函數(shù)y=履+。的x與》的部分對應值如表所示，根據(jù)表中數(shù)

B.一次函數(shù)>=履+。的圖像不經(jīng)過第一象限

C.%=2是方程Ax+》=0的解

D.一次函數(shù)、=履+。的圖像與x軸交于點

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，根據(jù)一次函數(shù)解析式，圖像的性質即可求解.

【詳解】解：一次函數(shù)丁=丘+匕中，x--l,y=6；%=o,y=4；

-k+b=6,k=—2

b=4,解得,

b=4

一次函數(shù)解析式為y=-2%+4,

??.A選項，左=-2<0,則y隨X的增大而減小，故A選項錯誤，不符合題意;

B選項，一次函數(shù)1=履+。的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，故B選項錯誤，不符合題意;

C選項，兄=2是方程辰+人=0的解，故C選項正確，符合題意;

D選項，一次函數(shù)，=辰+。的圖像與無軸交于點（2,0）,故D選項錯誤，不符合題意;

故選：C.

【專訓5-2］（2023下?江西新余?八年級統(tǒng)考期末）一次函數(shù)％=履+。與%=工+。的圖象如圖，則下列結論:

①左<0；

②。>0；

③關于x的方程區(qū)-x=a-6的解是x=3；

【答案】B

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質對①②進行判斷；利用一次函數(shù)與一元一次方程的關系對③進行判斷；利用函數(shù)圖象，

當x<3時，一次函數(shù)％=履+。在直線%=x+a的上方，則可對④進行判斷.

【詳解】解：：一次函數(shù)％=依+6經(jīng)過第一、二、四象限，

：.k<0,b>0,所以①正確;

二?直線%=x+。的圖象與y軸的交點在x軸下方，

：.a<0,所以②錯誤；

:一次函數(shù)%=履+>與%=工+。的圖象的交點的橫坐標為3,

，x=3時，kx+b=x+a,整理得米一尤=。一6,貝?。蓐P于x的方程履一尤=。-6的角軍是x=3,所以③正確；

當x<3時，m=履+匕圖像在%=x+a圖像的上方，

；.%>%，所以④錯誤.

故選：B.

題型六：一次函數(shù)和一元一次不等式

【典例6】（2022下?云南楚雄?八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系無?！分校淮魏瘮?shù)％=履+b與%=，圻+〃的圖

象，如圖所示，則關于x的不等式履+b</nx+〃的解集為（）

y

A.x>lB.x<2C.x<\D.x>2

【答案】A

【分析】直接利用函數(shù)圖象，結合版+6<陽+〃，得出尤的取值范圍.

【詳解】解：由圖可得：不等式Ax+b<3+〃的解集為：x>l

故選：A.

【專訓6-1]（2022下?陜西西安?八年級?？计谀┤鐖D，一次函數(shù)》=《尤+3和y=&x+l的圖象交于點4,不

等式勺的解集為（

C.%<1D.x>l

【答案】A

【分析】對不等式上仔>《尤-2進行變形可得勺x+3>%x+l,結合函數(shù)圖象，求解即可.

【詳解】解：由題意可得：點A橫坐標為2

不等式>￡x-2可化為：kxx+3>k2x+1

在點A的左側，滿足勺尤+3>占尤+1

即不等式Kx+3>月龍+1的解集為：彳<2

則不等式Kx>k2x-2的解集為x<2

故選：A

【專訓6-2]（2023下?四川樂山?八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，一次函數(shù)、=辰+匕Ck,6是常數(shù)，ZwO）與正比例

函數(shù)y=mr（根是常數(shù)，m^0）的圖象相交于點”（1,2）,下列判斷錯誤的是（）

A.關于x的不等式儂履+b的解集是

B.關于x的方程如=履+/?的解是無=1

C.當％vO時，函數(shù)丁=丘+匕的值比函數(shù)丁=如的值大

fy-mx=0fx=1

D.關于x,y的方程組',,的解是c

[y-kx=b[y=2

【答案】A

【分析】根據(jù)條件結合圖象對各選項進行判斷即可.

【詳解】解：,??一次函數(shù)y=^+6（人力是常數(shù)，％/0）與正比例函數(shù)丫=根式機是常數(shù)，加力0）的圖象相交于點M（l,2）,

關于x的不等式7?。┣?匕的解集是x21,選項A判斷錯誤，符合題意；

，關于x的方程7n￥=履+沙的解是尤=1,選項B判斷正確，不符合題意；

當x<0時，函數(shù)，=爪+萬的值比函數(shù)V=7祗的值大，選項C判斷正確，不符合題意；

|y—mx=0[x=l

關于x，y的方程組.,,的解是.，選項D判斷正確，不符合題意；

[y-KX-b[y=2

故選：A.

題型七：一次函數(shù)和二元一次方程

【典例7]（2023上?湖南長沙?九年級長沙市南雅中學校）如圖，一次函數(shù)嚴"+）與y=x+2的圖象相交于點P（根,4）,

的解是（）

x=1.8x=2A

C.D.

y=4y=4

【答案】B

【分析】一次函數(shù)的交點坐標即為對應二元一次方程組的解.

【詳解】解：將點（私4）代入，=尤+2得：〃?=2

，交點坐標為：（2,4）

[x=2

由一次函數(shù)與二元一次方程組的關系可得：該方程組的解為,

[y=4

故選：B

【專訓7-1】（2023下?河南鄭州?八年級期末）直線/[:y=x+l與直線4：>=7蛆+〃相交于點尸（。，2）,直線4：>=m+"

與X軸相交于（3,0）,則①方程組.一的解是一C；②不等式的解集為XN2；③不等式

[y=mx+n[y=2

2

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】先求出”的值，利用圖象法解二元一次方程組和不等式，逐一進行判斷即可.

【詳解】解：?直線4：y=x+i與直線：y=m+”相交于點「（。，2）,

2=a+l,

??ci-1,

P（l,2）；

[y=x+l（x=l

...方程組,的解是.;故①正確，

不等式X+1N7WX+”的解集為x?l；故②錯誤；

??,直線4：y=7〃x+〃與x軸相交于（3,0）,且》隨x的增大而減小，

...不等式〃式+〃>0的解集為x<3,故③錯誤；

?/l2:y=mx+nxtP（l,2）,（3,0）,

[2=m+n[m=-l

；?n1上，解得：a，

。=3m+n\n=3

n>2；故④錯誤;

故選A.

【專訓7-2](2023下?安徽淮南?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)>="+6與

y=mx+n(a<m<0)，小聰根據(jù)圖象得到如下結論:

@2m+n-0；

_fy—mx=nf尤=3

②關于尤，y的方程組，的解為.；

yy—ax=b=2

③關于尤的方程=的解為x=-3；

④關于x的不等式的解集是xM-3.

其中結論正確的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象及性質，一次函數(shù)與二元一次方程，一次函數(shù)與不等式對各項判斷即可解答.

【詳解】解：：由圖象可知：一次函數(shù)^=府+”與無軸的交點為(2,0),

...當x=2時，mx+n-Q,BP2m+n-Q

故①正確；

,由圖象可知：一次函數(shù)y=依+6與,=曲+"(。<相<0)的圖象相交點(-3,2),

y—mx=nI%=-3

六關于尤，y的方程組的解為c

y-ax=b[y=2

故②錯誤;

,由圖象可知：一次函數(shù)>=依+方與、=〃成+"(。<機<。)的圖象相交點(-3,2),

，關于x的方程ox+b=〃zx+”的解為尤=一3,

故③正確；

：(。一加)尤,:.ax+b<mx+n,

由圖象可知：一次函數(shù)、=以+6圖象不在>=點+〃("<%<0)的圖象上方的時工2-3,

不等式ax+6v+〃的解集為x2-3,

即不等式的解集是x?-3,

故④錯誤；

???正確的有2個;

故選：B.

題型八：一次函數(shù)的實際應用

【典例8】（2022下?新疆烏魯木齊?八年級統(tǒng)考期末）為了美化校園環(huán)境，爭創(chuàng)綠色學校，某縣教育局委托園林公

司對42兩校進行校園綠化.已知A校有3600平方米空地需鋪設草坪，B校有2400平方米空地需鋪設草坪.在

甲、乙兩地分別有同種草皮3500平方米和2500平方米出售，且售價一樣.若園林公司向甲、乙兩地購買草皮，其

路程和運費單價表如下：

A校8校

路程（千米）運費單價（元）路程（千米）運費單價（元）

甲地200.15100.15

乙地150.20200.20

⑴設甲地運往A校的草皮為x平方米，總運費為y元，寫出y與x的函數(shù)關系式；

（2）請你設計一種運費最少的方案，并說明最少費用是多少？

【答案】⑴>=2.5尤+11650

⑵當甲往A校運1100平方米，往8校運2400平方米，乙往A校運2500平方米，不往B校運草皮時運輸費用最少，

最少費用為14400元

【分析】（1）根據(jù)總運費=A校的費用+B校的費用求解即可；

（2）根據(jù)題意列出不等式組，求得y=2.5x+11650,然后利用一次函數(shù)的性質求解即可.

【詳解】（1）y=20x0.15x+10x0.15x（3500-x）+15x0.2x（3600-x）+20x0.2x[2500-（3600-x）]

=2.5x+11650

（2）根據(jù)題意可得,

%>0

3500-x>0

3600-x>0

2500-（3600-%）>0

/.1100<%<3500

?.?y=2.5%+11650,左=2.5>0,

???丁隨x增大而增大，

工當％=1100時，y最小，止匕時y=2.5x1100+11650=144。。.

答:當甲往A校運1100平方米，往B校運2400平方米，乙往A校運2500平方米，不往8校運草皮時運輸費用最

少，最少費用為14400元.

【專訓8-1](2023下?吉林白城?八年級校聯(lián)考期末)如圖，4表示振華商場一天的某型電腦銷售額與銷售量的關系,

4表示該商場一天的銷售成本與電腦銷售量的關系.觀察圖象，解決以下問題：

(1)當銷售量x=2時，銷售額=萬元，銷售成本=萬元；

(2)一天銷售臺時，銷售額等于銷售成本；

(3)分別求出4和4對應的函數(shù)表達式；

(4)直接寫出利潤w與銷售量尤之間的函數(shù)表達式，并求出當銷售量尤是多少時，每天的利潤達到5萬元?

【答案】⑴2；3

(2)4

(3)%=X,%f+2

⑷…!無一？，當銷售量尤是14臺時，每天的利潤達到5萬元

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以解答本題；

(2)根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以寫出一天銷售多少臺時，銷售額等于銷售成本；

(3)根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以求出乙和4對應的函數(shù)表達式；

(4)根據(jù)題意和(3)中的結果，可以寫出利潤卬與銷售量x之間的函數(shù)表達式，并求出當銷售量x是多少時，每

天的利潤達到5萬元.

【詳解】(1)解：由圖象可以得出：當銷售量x=2時，銷售額=2萬元，銷售成本=3萬元；

故答案為：2,3；

(2)解：由圖象可以得出：一天銷售4臺時，銷售額等于銷售成本；

故答案為：4；

(3)解：設4的對應表達式為％=￡%將(4,4)代入，

得，秋=4解得勺=1,

即《對應的表達式為

設4對應的表達式為％=%儼+6,

將(0,2),(4,4)分別代入%=聒+匕，

b=2,

解得%=3.

即《對應的表達式為y=gx+2.

(4)解：由題意可得，禾U潤”與銷售量x之間的函數(shù)，

式為w=x—(―x+2)=—x—2.

當w=5時，5=—x—2解得x=14,

2

即當銷售量x是14臺時，每天的利潤達到5萬元.

【專訓8-2](2022下?廣東惠州?八年級統(tǒng)考期末)2019年被稱為“5G元年”，帶領人類步入萬物互聯(lián)時代，而我們

的華為在5G核心專利上排世界第一，引來美國對華為的打壓.國家從上而下都在支持華為，某手機店準備進一

批華為手機，經(jīng)調查，用80000元采購A型華為手機的臺數(shù)和用60000元采購8型華為手機的臺數(shù)一樣，一臺A

型華為手機的進價比一臺8型華為手機的進價多800元.

(1)求一臺A,B型華為手機的進價分別為多少元？

(2)若手機店購進A,8型華為手機共60臺進行銷售，其中A型華為手機的臺數(shù)不大于8型華為手機的臺數(shù)，且不

小于20臺，己知A型華為手機的售價為4200元/臺，B型華為手機的售價為2800元/臺，且全部售出，設購進A型

華為手機。臺，手機店怎樣安排進貨，才能在銷售這批華為手機時獲最大利潤，求出最大利潤.

【答案】(1)一臺A,8型華為手機的進價分別為3200元，2400元

(2)當購進A型、8型華為手機分別為30臺、30臺時，利潤最大，最大利潤是42000元

【分析】(1)根據(jù)用80000元采購A型華為手機的臺數(shù)和用60000元采購8型華為手機的臺數(shù)一樣，一臺A型華為

手機的進價比一臺3型華為手機的進價多800元，可以列出相應的分式方程，本題得以解決；

(2)根據(jù)題意可以寫出銷售這批華為手機的利潤w(元)與。(臺)的函數(shù)關系式以及。的取值范圍，利用一次函

數(shù)的性質即可解答本題.

【詳解】(1)解：設一臺A型華為手機的進價是x元，則一臺B型華為手機的進價是(x-800)元,

8000060000

依題意，得:

xX—800

解得：x=3200,

經(jīng)檢驗，l=3200是原分式方程的解,

???3200—800=2400（元）,

答：一臺A,3型華為手機的進價分別為3200元，2400元;

（2）設購進A型華為手機。臺，則購進8型華為手機（60-0）臺，由題意可得,

w=（4200-3200）a+（2800-2400）（60-a）=600a+24000,

?；A型華為手機的臺數(shù)不大于8型華為手機的臺數(shù)，且不小于20臺，

20<a<60-a,

解得：20<a<30,

即利潤w（元）與a（臺）的函數(shù)關系式為：w=600?+24000（20?aV30且。為整數(shù)），

V600>0,

w隨。的增大而增大，

...當a=30時，小取得最大值，此時w=600x30+24000=42000（元），

答：當購進A型、B型華為手機分別為30臺、30臺時，利潤最大，最大利潤是42000元.

題型九：一次函數(shù)和幾何問題

【典例9】（2022下?廣東廣州?八年級校考期末）如圖，直線y=2x+4與y軸交于點A,與x軸交于點8,過點A的

直線y=-x+4與x軸交于點C

（2）在》軸的右側有一點。，且點。到x軸的距離等于4,若%WD=SMBC，求點。的坐標.

【答案】（1）4（0,4）,3（-2,0）,C（4,0）

（2）（6,4）或（2,-4）

【分析】（1）根據(jù)坐標軸上點的坐標特征利用直線y=2尤+4求出點A、B的坐標，利用過點A的直線y=-x+4與X

軸交于點C,求出點C的坐標即可；

（2）過點C作平行的直線，根據(jù)一次函數(shù)的圖象直線平行，系數(shù)左相等的性質，結合C（4,0）,得出所作直線的

解析式，根據(jù)平行線之間的距離處處相等、同底等高的三角形面積相等，得出點。在所作直線上，根據(jù)點。到x軸

的距離等于4,得出點。的縱坐標為4或T,分別代入求出點。的坐標即可.

【詳解】（1）解：：直線y=2x+4與>軸交于點A,與x軸交于點B,

...當x=0時，y=0+4=4；

當y=o時，2x+4=0,

解得：x=-2,

AA（0,4）,B（-2,0）,

:過點A的直線y=r+4與x軸交于點C,

.,.當y=0時，-x+4=0,

解得：x=4,

.-.C（4,0）；

（2）解：如圖，過點C作平行A3的直線,

。.?直線>=2尤+4與y軸交于點A,與x軸交于點3,C（4,0）,

A設所作直線解析式為y=2x+b,

把C（4,0）代入得：2?4b=0,

解得：b=-8,

所作直線解析式為y=2x-8,

點。在所作直線上時，同底等高工MD=SAMC，

:點。到x軸的距離等于4,

點D的縱坐標為4或T,

當點。的縱坐標為4時，2x-8=4,

解得：元=6；

當點。的縱坐標為T時，2x-8=-4,

解得：x=2,

點。的坐標為（6,4）或（2,-4）,均在》軸的右側，符合題意.

【專訓9-1］（2023下?吉林?八年級校考期末）如圖①，直線4：>=；x+l與x軸交于點A,直線乙與x軸交于點C.兩

直線相交于點P,已知點C的坐標為（3.5,0）,點尸的橫坐標為2.

圖①圖②

⑴直接寫出點A,尸的坐標；

⑵求出直線4的函數(shù)表達式；

⑶如圖②，點M是射線AP上任一點，過點〃■作》軸的平行線交直線4于點N,連接AN.設點/的橫坐標為加,

△4VP的面積為S.

①用m表示點M,N的坐標：M（）,N（）；

②求S與加的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍.

【答案】⑴A（-4,0）,P（2,|）

7

（2）y=-x+-

17

⑶①（而,-0+1）,（m,-m+-）；②s=<

42

【分析】（1）在直線4：y=：x+i中，分另（］令丫=。和x=2,可求得A、P的坐標;

（2）利用待定系數(shù)法得到直線V的解析式;

17

（3）①根據(jù)直線4：y=w%+l，直線小丁二一九十萬即可用加表示點以、N的坐標;

②當〈根＜2時，根據(jù)S/^ANP=^/\AMN+S&PMN，當機＞2時,$&ANP=^AMN~^MN，即可求解.

【詳解】（1）解：在直線4：y=；x+i中,

3

令y=o可得x=4令x=2可得

A(-4,0),P(2,j)；

（2）解：設直線4的解析式為>=h+"

3.5k+b=0k=-l

力73，解得v

2k+b=-b」

22

二直線4的解析式為y=-x+，7；

(3)解：①???點M是線段AP上任一點，過點M作》軸的平行線交直線4于點N,設點M的橫坐標為加，

貝[|：M:(m,—m+1),N:(m,—m+—),

42

、17

故答案為：(口，一"+1),(m,-m+-)；

42

②當T〈機<2時，

7155

線段MTV的長度=_m+：_(7機+1)=_：根+三，

2442

ccc1/八/55、、/55、1515

S&ANP=^^AMN+S/W=—(m+4)(--m+—)+—(2-m)(--m+—)=一■—m+—,

；.s與加的函數(shù)關系式為s=-?〃+￥.

42

當機>2時，線段MN的長度=；根+1-1根+.=:用-1,

s—SQ-1/:55、1.055._1515

S^ANP=S^AMN-SJ>MN=~(m+4)v(-W--(W-2V)(-W--)=—W--,

乙i乙乙?乙什乙

.?.5與加的函數(shù)關系式為5=與機_?.

42

1515z小

---m-\---(^-44<m<2)

綜上所述，s=/2

一m---(m>2)

[42'7

【專訓9-21(2022下?貴州六盤水?八年級統(tǒng)考期末)如圖,在平面直角坐標系中，直線AB的解析式為:y=-&-2君,

分別交尤，y軸于點4B,直線BC分別交x,y軸于點C,B,ZACB^30°,且

(1)求直線BC的解析式；

⑵將點B沿某條直線折疊使點B與點O重合，折痕分別交BC,3A于點E,D,在x軸上是否存在點F,使點D,E,

斤為頂點的三角形是以DE為斜邊的直角三角形，若存在，請求出尸點坐標；若不存在，請說明理由；

(3)在平面直角坐標系內是否存在一個點，使得這個點與E,D,。三點構成的四邊形是平行四邊形?若存在，請直接

寫出這個點的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y