2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題練二基礎(chǔ)小題練透熱點專練2不等式含解析

PAGE熱點專練2不等式一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若a，b，c為實數(shù)，且a<b<0，則下列命題正確的是()A.ac2<bc2 B.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C.eq\f(b,a)>eq\f(a,b) D.a2>ab>b2解析c＝0時，A不成立；eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)>0，B錯；eq\f(b,a)－eq\f(a,b)＝eq\f(b2－a2,ab)＝eq\f(（b＋a）（b－a）,ab)<0，C錯；由a<b<0，∴a2>ab>b2，D正確.答案D2.已知關(guān)于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))，則a＝()A.2 B.－2 C.－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)解析依題意，－1與－eq\f(1,2)是(ax－1)(x＋1)＝0的兩根，且a<0，∴－1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝(－1)×eq\f(1,a)，則a＝－2.答案B3.若a>0，b>0且2a＋b＝4，則eq\f(1,ab)的最小值為()A.2 B.eq\f(1,2) C.4 D.eq\f(1,4)解析因為a>0，b>0，故2a＋b≥2eq\r(2ab)(當(dāng)且僅當(dāng)2a＝b，即a＝1，b＝2時取等號).又因為2a＋b＝4，∴2eq\r(2ab)≤4?0<ab≤2，∴eq\f(1,ab)≥eq\f(1,2)，故eq\f(1,ab)的最小值為eq\f(1,2)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝1，b＝2時等號成立).答案B4.(2024·日照檢測)若實數(shù)x，y滿意2x＋2y＝1，則x＋y的最大值是()A.－4 B.－2 C.2 D.4解析由題意得2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)＝2eq\r(2x＋y)(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝－1時取等號)，∴1≥2eq\r(2x＋y)，∴eq\f(1,4)≥2x＋y，∴2－2≥2x＋y，∴x＋y≤－2.∴x＋y的最大值為－2.答案B5.(2024·菏澤模擬)若正數(shù)x，y滿意4x2＋9y2＋3xy＝30，則xy的最大值是()A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,3) C.2 D.eq\f(5,4)解析由x>0，y>0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時等號成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(3)，y＝eq\f(2\r(3),3)時取等號，∴xy的最大值為2.答案C6.(2024·濱州模擬)設(shè)x>0，y>0，x＋2y＝5，則eq\f(（x＋1）（2y＋1）,\r(xy))的最小值為()A.2eq\r(2) B.2eq\r(3)C.4eq\r(2) D.4eq\r(3)解析∵x>0，y>0，∴eq\r(xy)>0.∵x＋2y＝5，∴eq\f(（x＋1）（2y＋1）,\r(xy))＝eq\f(2xy＋x＋2y＋1,\r(xy))＝eq\f(2xy＋6,\r(xy))＝2eq\r(xy)＋eq\f(6,\r(xy))≥2eq\r(12)＝4eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)2eq\r(xy)＝eq\f(6,\r(xy))，即x＝3，y＝1或x＝2，y＝eq\f(3,2)時取等號.∴eq\f(（x＋1）（2y＋1）,\r(xy))的最小值為4eq\r(3).答案D7.設(shè)a>0，若關(guān)于x的不等式x＋eq\f(a,x－1)≥5在(1，＋∞)上恒成立，則a的最小值為()A.16 B.9 C.4 D.2解析在(1，＋∞)上，x＋eq\f(a,x－1)＝(x－1)＋eq\f(a,x－1)＋1≥2eq\r(（x－1）×\f(a,（x－1）))＋1＝2eq\r(a)＋1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1＋eq\r(a)時取等號).由題意知2eq\r(a)＋1≥5.所以a≥4.答案C8.(2024·宜昌模擬)若對隨意的x∈[1，5]，存在實數(shù)a，使2x≤x2＋ax＋b≤6x(a∈R，b>0)恒成立，則實數(shù)b的最大值為()A.9 B.10 C.11 D.12解析已知當(dāng)x∈[1，5]時，存在實數(shù)a，使2x≤x2＋ax＋b≤6x恒成立，則－x2＋2x≤ax＋b≤－x2＋6x，令f(x)＝－x2＋2x(1≤x≤5)，g(x)＝－x2＋6x(1≤x≤5)，作出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象如圖所示，要使b最大，且滿意－x2＋2x≤ax＋b≤－x2＋6x(1≤x≤5)，則直線y＝ax＋b必過(1，5)，且與函數(shù)y＝f(x)的圖象相切于點B.易得此時b＝5－a，此時的直線方程為y＝ax＋5－a.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝ax＋5－a，,y＝－x2＋2x，))得x2＋(a－2)x＋5－a＝0.∴Δ＝(a－2)2－4(5－a)＝0，解得a＝－4或a＝4(舍去)，∴bmax＝5－(－4)＝9.故選A.答案A二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.(2024·德州模擬)對于實數(shù)a，b，c，下列命題中正確的是()A.若a>b，則ac<bcB.若a<b<0，則a2>ab>b2C.若c>a>b>0，則eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b)D.若a>b，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，則a>0，b<0解析若c>0，則由a>b得ac>bc，A錯；若a<b<0，則a2>ab，ab>b2，a2>ab>b2，B正確；若c>a>b>0，則c－b>c－a>0，∴eq\f(1,c－a)>eq\f(1,c－b)>0，∴eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b)，C正確；若a>b，且a，b同號，則有eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，因此由a>b，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)得a>0，b<0，D正確.故選BCD.答案BCD10.(2024·石家莊一模)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，則下列不等式成立的是()A.a＋b＋c≤eq\r(3) B.(a＋b＋c2)≥3C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(3) D.a2＋b2＋c2≥1解析由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)＝2，∴a2＋b2＋c2≥1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝±eq\f(\r(3),3)時，等號成立.∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，∴a＋b＋c≤－eq\r(3)或a＋b＋c≥eq\r(3).若a＝b＝c＝－eq\f(\r(3),3)，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝－3eq\r(3)<2eq\r(3).因此，A，C錯誤，B，D正確.故選BD.答案BD11.(2024·濟南一中期中)設(shè)正實數(shù)a，b滿意a＋b＝1，則()A.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4B.eq\r(ab)有最小值eq\f(1,2)C.eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2)D.a2＋b2有最小值eq\f(1,2)解析對于A，因為a，b是正實數(shù)，且a＋b＝1，所以有eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號)，故A正確；對于B，因為a，b是正實數(shù)，所以有1＝a＋b≥2eq\r(ab)，即eq\r(ab)≤eq\f(1,2)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號)，故B不正確；對于C，因為a，b是正實數(shù)，所以有eq\f(\r(a)＋\r(b),2)≤eq\r(\f(（\r(a)）2＋（\r(b)）2,2))＝eq\r(\f(1,2))，即eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號)，故C正確；對于D，因為a，b是正實數(shù)，所以有eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))，即a2＋b2≥eq\f(1,2)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號)，故D正確.故選ACD.答案ACD12.(2024·煙臺模擬)下列說法正確的是()A.若x，y>0，x＋y＝2，則2x＋2y的最大值為4B.若x<eq\f(1,2)，則函數(shù)y＝2x＋eq\f(1,2x－1)的最大值為－1C.若x，y>0，x＋y＋xy＝3，則xy的最小值為1D.函數(shù)y＝eq\f(1,sin2x)＋eq\f(4,cos2x)的最小值為9解析對于A，取x＝eq\f(3,2)，y＝eq\f(1,2)，可得2x＋2y＝3eq\r(2)>4，A錯誤；對于B，y＝2x＋eq\f(1,2x－1)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2x＋\f(1,1－2x)))＋1≤－2＋1＝－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時等號成立，B正確；對于C，易知x＝2，y＝eq\f(1,3)滿意等式x＋y＋xy＝3，此時xy＝eq\f(2,3)<1，C錯誤；對于D，y＝eq\f(1,sin2x)＋eq\f(4,cos2x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sin2x)＋\f(4,cos2x)))(sin2x＋cos2x)＝eq\f(cos2x,sin2x)＋eq\f(4sin2x,cos2x)＋5≥2eq\r(4)＋5＝9.當(dāng)且僅當(dāng)cos2x＝eq\f(2,3)，sin2x＝eq\f(1,3)時等號成立，D正確.故選BD.答案BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋eq\f(1,8b)的最小值為________.解析由題設(shè)知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋eq\f(1,8b)≥2eq\r(2a·\f(1,8b))＝2·2eq\f(a－3b,2)＝eq\f(1,4)，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝eq\f(1,8b)，即a＝－3，b＝1時取等號.故2a＋eq\f(1,8b)的最小值為eq\f(1,4).答案eq\f(1,4)14.(2024·深圳統(tǒng)測)已知x>0，y>0，且x＋2y＝xy，若x＋2y>m2＋2m恒成立，則xy的最小值為________，實數(shù)m的取值范圍為________.(本小題第一空2分，其次空3分)解析∵x>0，y>0，x＋2y＝xy，∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，∴1＝eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)≥2eq\r(\f(2,x)·\f(1,y))，∴xy≥8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝4，y＝2時取等號，∴x＋2y＝xy≥8，∴m2＋2m<8，解得－4<m<2.答案8(－4，2)15.(2024·天津卷)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，則eq\f(1,2a)＋eq\f(1,2b)＋eq\f(8,a＋b)的最小值為__________.解析因為a＞0，b＞0，ab＝1，所以原式＝eq\f(ab,2a)＋eq\f(ab,2b)＋eq\f(8,a＋b)＝eq\f(a＋b,2)＋eq\f(8,a＋b)≥2eq\r(\f(a＋b,2)·\f(8,a＋b))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(a＋b,2)＝eq\f(8,a＋b)，即a＋b＝4時，等號成立.故eq\f(1,2a)＋eq\f(1,2b)＋eq\f(8,a＋b)的最小值為4.答案416.(2024·江蘇卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，則x2＋y2的最小值是________.解析法一由題意知y≠0.由5x2y2＋y4＝1，可得x2＝eq\f(1－y4,5y2)，所以x2＋y2＝eq\f(1－y4,5y2)＋y2＝eq\f(1＋4y4,5y2)＝eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y2)＋4y2))≥eq\f(1