2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.4.2空間點直線平面之間的位置關(guān)系教學(xué)用書教案新人教A版必修第二冊

PAGE8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系素養(yǎng)目標(biāo)·定方向素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1．借助長方體，在直觀相識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義.(數(shù)學(xué)抽象)(直觀想象)2．會用符號語言表示空間點、直線、平面的位置關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)3．依據(jù)有關(guān)概念，學(xué)會推斷(證明)空間點、直線、平面的位置關(guān)系.(邏輯推理)學(xué)習(xí)本節(jié)學(xué)問要多視察實物，感知現(xiàn)實中空間點、直線、平面的位置關(guān)系，再給出并學(xué)習(xí)定義.長方體是一個特別的圖形，當(dāng)點、線、面關(guān)系比較困難時，可以找尋長方體作為載體，將它們置于其中，立體幾何的直線與平面的位置關(guān)系都可以在這個模型中得到反映.必備學(xué)問·探新知學(xué)問點1空間中直線與直線的位置關(guān)系1．異面直線的定義和畫法(1)定義：__不同在任何一個平面內(nèi)__的兩條直線叫做異面直線.(2)畫法：假如直線a，b為異面直線，為了表示它們不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個__平面__襯托.2．空間中直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系是否在同一平面內(nèi)公共點個數(shù)共面直線相交直線__是__1平行直線是0異面直線__否__0學(xué)問點2空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系定義圖形語言符號語言直線在平面內(nèi)有__多數(shù)__個公共點a?α直線與平面相交__有且只有一個__公共點__a∩α＝A__直線與平面平行沒有公共點__a∥α__學(xué)問點3空間中平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點兩個平面平行__α∥β__沒有公共點兩個平面相交__α∩β＝l__有一條公共直線[學(xué)問解讀]對異面直線的理解(1)異面直線是不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線.(2)留意異面直線定義中“任何”兩字，它指空間中的全部平面，因此異面直線也可以理解為：在空間中找不到一個平面，使其同時經(jīng)過a，b兩條直線.關(guān)鍵實力·攻重難題型探究題型一直線與直線位置關(guān)系的推斷典例1如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是__平行(2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是__異面(3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是__相交(4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是__異面[解析](1)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，∴四邊形A1BCD1為平行四邊形，∴A1B∥D1(2)直線A1B與直線B1C(3)直線D1D與直線D1C相交于點D(4)直線AB與直線B1C[歸納提升]判定兩條直線是異面直線的方法(1)定義法：證明兩條直線既不平行又不相交.(2)重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線.用符號語言可表示為l?α，A?α，B∈α，B?l?AB與l是異面直線(如圖).【對點練習(xí)】?正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱所在直線與直線BA1A．4 B．5C．6 D．7[解析]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與直線BA1是異面的直線有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1題型二直線與平面的位置關(guān)系典例2下列五個結(jié)論中正確結(jié)論的個數(shù)是(B)①假如a、b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平面；②假如直線a和平面α滿意a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行；③假如直線a、b滿意a∥α，b∥α，那么a∥b；④假如直線a、b和平面α滿意a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；⑤假如a與平面α上的多數(shù)條直線平行，那么直線a必平行于平面α.A．0 B．1C．2 D．3[解析]如圖所示，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′卻在過BB′的平面ABB′A′內(nèi)，故①錯；AA′∥平面BB′C′C，BC?平面BB′C′C，但AA′不平行于BC，故②錯；AA′∥平面BB′C′C，A′D′∥平面BB′C′C，但AA′與A′D′相交，故③錯；A′B′∥C′D′，A′B′∥平面ABCD，C′D′?平面ABCD，則C′D′∥平面ABCD，故④正確；AA′明顯與平面ABB′A′中的多數(shù)條直線平行，但AA′?平面ABB′A′，故⑤錯誤，故選B．[歸納提升]直線與平面位置關(guān)系的推斷：(1)空間直線與平面位置關(guān)系的分類是解決問題的突破口，這類推斷問題，常用分類探討的方法解決.另外，借助模型(如正方體、長方體等)也是解決這類問題的有效方法.(2)要證明直線在平面內(nèi)，只要證明直線上兩點在平面α內(nèi)，要證明直線與平面相交，只需說明直線與平面只有一個公共點，要證明直線與平面平行，則必需說明直線與平面沒有公共點.【對點練習(xí)】?在長方體ABCD－A1B1C1D1中，指出B1C，BD[解析](1)B1C?平面BCC1B1，B1C∥平面ADD1A1，(2)BD1與6個面都相交.題型三平面與平面的位置關(guān)系典例3視察下面的兩個圖：(1)一樓、二樓的地面所在平面的位置關(guān)系是什么？(2)房頂所在平面的位置關(guān)系是什么？(3)怎樣用圖形表示兩平面的位置關(guān)系？[解析](1)平行.(2)相交.(3)①兩平行平面的畫法：畫兩平行的平面時要留意把表示平面的兩個平行四邊形畫成對應(yīng)邊平行.②兩相交平面的畫法：先畫表示兩個平面的平行四邊形的相交兩邊，如圖(1).再畫表示兩平面交線的線段，如圖(2).再過圖(1)中線段的端點分別畫線段使它平行且等于(2)表示交線的線段，如圖(3).再畫表示平面的平行四邊形的其他邊，如圖(4).[歸納提升]平面與平面的位置關(guān)系的推斷方法：(1)平面與平面相交的推斷，主要以基本領(lǐng)實3為依據(jù)找出一個交點.(2)平面與平面平行的推斷，主要說明兩個平面沒有公共點.【對點練習(xí)】?以下四個命題中，正確的命題有(A)①在平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行，那么這兩個平面平行；②在平面α內(nèi)有多數(shù)條直線和平面β平行，那么這兩個平面平行；③平面α內(nèi)△ABC的三個頂點在平面β的同一側(cè)且到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個平面平行；④平面α內(nèi)有多數(shù)個點到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個平面平行或相交.A．③④ B．②③④C．②④ D．①④[解析]當(dāng)兩個平面相交時，一個平面內(nèi)有多數(shù)條直線平行于它們的交線，即平行另一個平面，所以①②錯誤.易錯警示對空間線面位置關(guān)系考慮不全面致誤典例4設(shè)P是異面直線a、b外的一點，則過P與a、b都平行的平面(C)A．有且只有一個 B．恰有兩個C．沒有或只有一個 D．有多數(shù)個[錯解]如圖，過P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴過a1、b1有且只有一個平面.故選A．[錯因分析]錯解是因為對空間概念理解不透徹，對P點位置沒有作全面地分析，只考慮了一般狀況，而忽視了特別情形.事實上，當(dāng)直線a(或b)與點P確定的平面恰與直線b(或a)平行時，與a、b都平行的平面就不存在了.[正解]C[誤區(qū)警示]對于空間中的線面和面面位置關(guān)系問題，應(yīng)留意結(jié)合實例，全面考慮，仔細(xì)分析全部可能的情形，才能避開推斷失誤.【對點練習(xí)】?若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是(D)A