2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)1.5.2估計(jì)總體的數(shù)字特征課時(shí)素養(yǎng)評價(jià)含解析北師大版必修3

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評價(jià)七估計(jì)總體的數(shù)字特征(20分鐘·35分)1.樣本101,98,102,100,99的標(biāo)準(zhǔn)差為 ()A.QUOTE B.0 C.1 D.2【解析】選A.樣本平均數(shù)QUOTE=100,方差為s2=2,所以標(biāo)準(zhǔn)差s=QUOTE.2.一個容量為40的樣本數(shù)據(jù)依次為x1,x2,…,x40,若這個樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為s=QUOTE,記s*=QUOTE,則s*=()A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.4【解析】選A.設(shè)s*=x.由題意得:QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以x=2.3.對某同學(xué)的6次數(shù)學(xué)測試成果(滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),作出的莖葉圖如圖所示,給出關(guān)于該同學(xué)數(shù)學(xué)成果的以下說法:①中位數(shù)為83;②眾數(shù)為83;③平均數(shù)為85;④極差為12.其中正確說法的序號是 ()A.①② B.②③ C.③④ D.②④【解析】選B.將各數(shù)據(jù)按從小到大排列為:78,83,83,85,90,91,可見:中位數(shù)是QUOTE=84,①錯誤,眾數(shù)是83,②正確,QUOTE=85,③正確.極差是91-78=13,④錯誤,所以,只有②③正確.4.甲乙兩名學(xué)生六次數(shù)學(xué)測驗(yàn)成果(百分制)如圖所示.①甲同學(xué)成果的中位數(shù)大于乙同學(xué)成果的中位數(shù);②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)高;③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)低;④甲同學(xué)成果的方差小于乙同學(xué)成果的方差.上面說法正確的是 ()A.③④ B.①②④ C.②④ D.①③【解析】選A.甲的中位數(shù)81,乙的中位數(shù)87.5,故①錯,解除B,D;甲的平均分QUOTE=QUOTE×(76+72+80+82+86+90)=81,乙的平均分QUOTE′=QUOTE×(69+78+87+88+92+96)=85,故②錯,③對,解除C.5.《中華人民共和國道路交通平安法》規(guī)定:車輛駕駛員血液酒精濃度在20～80mg/100mL(不含80)之間,屬于酒后駕車;血液酒精濃度在80mg/100mL(含80)以上時(shí),屬醉酒駕車.據(jù)《法制晚報(bào)》報(bào)道,某年2月15日至2月28日,全國查處酒后駕車和醉酒駕車共28800人,如圖是對這28800人酒后駕車血液中酒精含量進(jìn)行檢測所得結(jié)果的頻率分布直方圖,則屬于醉酒駕車的人數(shù)約為________.

【解析】(0.01×10+0.005×10)×28800=4320(人).答案:4320【補(bǔ)償訓(xùn)練】某校從甲、乙兩班各隨機(jī)抽取了5名學(xué)生的某課程的學(xué)分,用莖葉圖表示(如圖),s1,s2分別表示甲、乙兩班各5名學(xué)生學(xué)分的標(biāo)準(zhǔn)差,則s1__________s2(填“>”“<”或“=”).

【解析】由莖葉圖可計(jì)算得QUOTE=14,QUOTE=14,則s1=QUOTE=QUOTE,s2=QUOTE=QUOTE,所以s1<s2.答案:<6.為調(diào)查甲、乙兩校高三年級學(xué)生某次聯(lián)考數(shù)學(xué)成果狀況,用簡潔隨機(jī)抽樣,從這兩校中各抽取30名高三年級學(xué)生,以他們的數(shù)學(xué)成果(百分制)作為樣本,樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖.(1)若甲校高三年級每位學(xué)生被抽取的概率為0.05,求甲校高三年級學(xué)生總?cè)藬?shù),并估計(jì)甲校高三年級這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成果的及格率(60分及60分以上為及格);(2)設(shè)甲、乙兩校高三年級學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成果分別為QUOTE,QUOTE,估計(jì)QUOTE-QUOTE的值.【解析】(1)設(shè)甲校高三年級學(xué)生總?cè)藬?shù)為n.由題意知QUOTE=0.05,解得n=600.樣本中甲校高三年級學(xué)生數(shù)學(xué)成果不及格人數(shù)為5,據(jù)此估計(jì)甲校高三年級這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成果的及格率為1-QUOTE=QUOTE.(2)設(shè)甲、乙兩校樣本平均數(shù)分別為QUOTE′1,QUOTE′2.依據(jù)樣本莖葉圖可知30(QUOTE′1-QUOTE′2)=30QUOTE′1-30QUOTE′2=(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92=2+49-53-77+2+92=15.因此QUOTE′-QUOTE′=0.5,故QUOTE-QUOTE的估計(jì)值為0.5分.(30分鐘·60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差分別是QUOTE,s2,將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)都乘以2,得到一組新數(shù)據(jù),這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差分別是 ()A.QUOTE,QUOTEs2 B.2QUOTE,2s2 C.2QUOTE,4s2 D.QUOTE,s2【解析】選C.因?yàn)楸绢}中新數(shù)據(jù)中每一個數(shù)都是原數(shù)據(jù)的2倍,所以新樣本中的每一個數(shù)據(jù)是原樣本中每個數(shù)據(jù)的2倍,所以新樣本的平均數(shù)是原樣本平均數(shù)的2倍,方差為原樣本方差的4倍.2.(2024·天津高考)從一批零件中抽取80個,測量其直徑(單位:mm),將所得數(shù)據(jù)分為9組:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下頻率分布直方圖,則在被抽取的零件中,直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)的個數(shù)為 ()A.10 B.18 C.20 D.36【解析】選B.依據(jù)直方圖,直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)的零件頻率為:(6.25+5.00)×0.02=0.225,則區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)零件的個數(shù)為:80×0.225=18.3.某校對高二年級進(jìn)行了一次學(xué)業(yè)水平模塊測試,從該年級學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生,將他們的數(shù)學(xué)測試成果分為6組:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖,已知高二年級共有學(xué)生600名,若成果不少于80分的為優(yōu)秀,據(jù)此估計(jì),高二年級在這次測試中數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為 ()A.80 B.90 C.120 D.150【解析】選D.依據(jù)頻率分布直方圖,得;成果不少于80分的頻率為(0.015+0.010)×10=0.25,所以估計(jì)成果優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為600×0.25=150.4.(2024·太原高一檢測)隨著新政策的實(shí)施,海淘免稅時(shí)代于2024年4月8日正式結(jié)束,新政策實(shí)施后,海外購物的費(fèi)用可能會增加.為了解新制度對海淘的影響,某網(wǎng)站調(diào)查了喜愛海淘的1000名網(wǎng)友,其看法共有兩類:第一類是會降低海淘數(shù)量,共有400人,其次類是不會降低海淘數(shù)量,共有600人,若從這1000人中依據(jù)分層抽樣的方法抽取10人后進(jìn)行打分,其打分的莖葉圖如圖所示,圖中有數(shù)據(jù)缺失,但已知“第一類”和“其次類”網(wǎng)民打分的平均數(shù)相等,則“第一類”網(wǎng)民打分的方差為 ()A.159 B.179 C.189 D.209【解題指南】依據(jù)分層抽樣比,可得“第一類”抽取4人,“其次類”抽取6人.由莖葉圖可知“第一類”缺失一個數(shù)據(jù),設(shè)為m,依據(jù)平均數(shù)相等可求得m,由方差公式即可求得“第一類”的方差.【解析】選B.抽取的網(wǎng)民中,“第一類”抽取4人,缺失一個數(shù)據(jù),設(shè)缺失的數(shù)據(jù)為m,“其次類”抽取6人,則QUOTE=QUOTE,解得m=56,其兩組數(shù)的平均數(shù)都是65,則“第一類”網(wǎng)民打分的方差為:s2=QUOTE[2(56-65)2+(60-65)2+(88-65)2]=179.5.胡蘿卜中含有大量的β-胡蘿卜素,進(jìn)入人體消化器官后,可以轉(zhuǎn)化為維生素A,現(xiàn)由a,b兩個品種的胡蘿卜所含的β-胡蘿卜素含量(單位:mg)得到的莖葉圖如圖所示,則下列說法不正確的是()A.QUOTE<QUOTE B.a的方差大于b的方差C.b品種的眾數(shù)為3.31 D.a品種的中位數(shù)為3.27【解析】選C.由莖葉圖得:b品種所含β-胡蘿卜素普遍高于a品種,所以QUOTE<QUOTE,故A正確;a品種的數(shù)據(jù)波動比b品種的數(shù)據(jù)波動大,所以a的方差大于b的方差,故B正確;b品種的眾數(shù)為3.31與3.41,故C錯誤;a品種的數(shù)據(jù)的中位數(shù)為QUOTE=3.27,故D正確.二、填空題(每小題5分,共15分)6.從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué),將他們的身高(單位:厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖所示),由圖中數(shù)據(jù)可知a=________.若要從身高在[120,130),[130,140),[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生中,用分層抽樣的方法選取18人參與一項(xiàng)活動,則從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為________.

【解析】因?yàn)轭l率分布直方圖中的各個小矩形的面積之和為1,所以有10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,解得a=0.030.由頻率分布直方圖可知在[120,130),[130,140),[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生總數(shù)為100×10×(0.030+0.020+0.010)=60,其中身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為100×10×0.010=10,所以從身高在[140,150]內(nèi)抽取的學(xué)生人數(shù)為QUOTE×10=3.答案:0.03037.設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的均值和方差分別為1和4,若yi=xi+a(a為非零常數(shù),i=1,2,…,10),則y1,y2,…,y10的均值和方差分別為________.

【解析】樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的均值QUOTE′=QUOTE(x1+x2+…+x10)=1,方差s′2=QUOTE[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4,新數(shù)據(jù)x1+a,x2+a,…,x10+a的均值QUOTE=QUOTE(x1+a+x2+a+…+x10+a)=QUOTE(x1+x2+…+x10)+a=1+a,新數(shù)據(jù)x1+a,x2+a,…,x10+a的方差s2=QUOTE[(x1+a-1-a)2+(x2+a-1-a)2+…+(x10+a-1-a)2]=QUOTE[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4.答案:1+a,48.已知樣本9,10,11,x,y的平均數(shù)是10,方差是2,則xy=________.

【解析】由平均數(shù)公式得QUOTE=10,即x+y=20,QUOTE=2,即QUOTE+QUOTE=8,即x2+y2-20QUOTE+200=8,可得x2+y2=20QUOTE+8-200=208,因?yàn)?02=QUOTE=x2+y2+2xy=208+2xy,解得xy=96.答案:96三、解答題(每小題10分,共20分)9.某校高一學(xué)生共有500人,為了了解學(xué)生的歷史學(xué)習(xí)狀況,隨機(jī)抽取了50名學(xué)生,對他們一年來4次考試的歷史平均成果進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到不完整的頻率分布直方圖如圖所示,后三組頻數(shù)成等比數(shù)列.(1)求第五、六組的頻數(shù),補(bǔ)全頻率分布直方圖;(2)若每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值(例如區(qū)間[70,80)的中點(diǎn)值是75)作為代表,試估計(jì)該校高一學(xué)生歷史成果的平均分.(3)估計(jì)該校高一學(xué)生歷史成果在70～100分范圍內(nèi)的人數(shù).【解析】(1)設(shè)第五、六組的頻數(shù)分別為x,y.由題設(shè)得,第四組的頻數(shù)是0.024×10×50=12.則x2=12y.又x+y=50-(0.012+0.016+0.03+0.024)×10×50,即x+y=9,所以x=6,y=3.補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖.(2)該校高一學(xué)生歷史成果的平均分QUOTE=(45×0.012+55×0.016+65×0.03+75×0.024+85×0.012+95×0.006)×10=67.6.(3)該校高一學(xué)生歷史成果在70～100分范圍內(nèi)的人數(shù)為500×(0.024+0.012+0.006)×10=210.10.某校高三文科500名學(xué)生參與了3月份的高考模擬考試,學(xué)校為了了解高三文科學(xué)生的歷史、地理學(xué)習(xí)狀況,從500名學(xué)生中抽取100名學(xué)生的成果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,抽出的100名學(xué)生的地理、歷史成果如下表:地理歷史[80,100][60,80)[40,60)[80,100]8m9[60,80)9n9[40,60)8157若歷史成果在[80,100]區(qū)間的占30%,(1)求m,n的值;(2)請依據(jù)上面抽出的100名學(xué)生地理、歷史成果,填寫地理、歷史成果的頻數(shù)分布表:[80,100][60,80)[40,60)地理歷史依據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)估計(jì)歷史和