人教版五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練講義-第一講分?jǐn)?shù)的加減巧算（含答案）

第一講分?jǐn)?shù)的加減巧算第一部分：趣味數(shù)學(xué)阿凡提巧治壞地主有一天，阿凡提騎著自己的小毛驢來(lái)到田邊。他四處欣賞著美麗的田園風(fēng)光。突然，聽到有人叫他，回頭一看，原來(lái)是兩位給地主巴依老爺干活的佃農(nóng)。阿凡提忙問(wèn)：“兩位朋友有什么事嗎？”其中一位農(nóng)民說(shuō)：“阿凡提，我們遇到一個(gè)難題，想來(lái)請(qǐng)教你?！比缓筮@位農(nóng)民就把這個(gè)難題的由來(lái)講了一遍。原來(lái)，這兩位農(nóng)民被地主巴依老爺雇傭干活，眼看到發(fā)工錢的時(shí)候了，地主卻打起了壞主意。他和賬房先生一計(jì)算，要給這兩位農(nóng)民各20塊銀元。地主心里非常不樂意，仿佛拿走他的錢就像割他的肉一樣。于是和老婆一起想出了個(gè)主意，要兩個(gè)農(nóng)民明天早晨割-----畝麥子，一點(diǎn)不能多，一點(diǎn)也不能少。明早八點(diǎn)之前，巴依老爺要親自檢查。如果嚴(yán)格按要求完成了任務(wù)，就發(fā)工錢，而且還給回家的路費(fèi)。如果完不成任務(wù)，工錢就一分不給。兩位農(nóng)民沒有上過(guò)學(xué)，自然不知道-----畝麥子到底是多少，正在發(fā)愁的時(shí)候，正好碰見了阿凡提，才有了開頭那一幕。阿凡提聽完，笑了笑說(shuō)：“兩位朋友不用擔(dān)心，你們只要按我說(shuō)的去辦，保證能拿到工錢，而且還能賺取路費(fèi)?！卑⒎蔡嶂v完，把兩位農(nóng)民叫到眼前。悄悄地把解難題的辦法告訴了兩位農(nóng)民。兩位農(nóng)民聽了以后，非常高興，對(duì)阿凡提千恩萬(wàn)謝。第二天早晨，巴依老爺和老婆一起來(lái)到地里檢查兩位農(nóng)民任務(wù)完成的情況。巴依老爺以為兩位農(nóng)民這次肯定一分錢都拿不到，所以臉上帶著得意的笑容?？墒亲叩降剡厖s發(fā)現(xiàn)麥子正好割了畝。兩位農(nóng)民說(shuō)：“老爺，你的任務(wù)我們已經(jīng)按時(shí)完成了，你也該給我們工錢了吧！”巴依老爺沒辦法，只得叫賬房先生給了農(nóng)民工錢。小朋友，你知道-----有什么簡(jiǎn)便方法計(jì)算嗎？我們可以看出：=-，=-，=-，=-，=-，所以原式=-+-+-+-+-+。因此兩位農(nóng)民要割畝地。解這類分?jǐn)?shù)題目關(guān)鍵在于拆分，然后計(jì)算，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化的目的。第二部分：奧數(shù)小練在解答一些較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)加減法問(wèn)題時(shí)，必須從整體上觀察試題，找到它們排列的規(guī)律及其數(shù)字特征，分析有無(wú)類似裂項(xiàng)公式的特點(diǎn)。這是解題的重點(diǎn)和關(guān)鍵。常用方法：公式法：直接運(yùn)用公式來(lái)計(jì)算，如運(yùn)用等差數(shù)列求和公式等。圖解法：將算式的意思用圖表示出來(lái)，從而找出簡(jiǎn)便計(jì)算方法。裂項(xiàng)法：將一個(gè)分?jǐn)?shù)拆分為兩個(gè)或幾個(gè)分?jǐn)?shù)的差或和，使部分分?jǐn)?shù)互相抵消，從而使計(jì)算簡(jiǎn)化。通常裂項(xiàng)公式為：=-分組法：運(yùn)用運(yùn)算定律，將原式重新組合，把能湊整或能化簡(jiǎn)的部分結(jié)合在一起簡(jiǎn)算。代數(shù)法：將算式中的某些部分用字母代替并化簡(jiǎn)，然后再計(jì)算出結(jié)果。【例題1】計(jì)算：+++……【思路導(dǎo)航】此題每一個(gè)加數(shù)的分子都是1，而分母又都是相鄰的兩個(gè)自然數(shù)的積，用裂項(xiàng)法簡(jiǎn)便。=1-=-=-……=-因此，原式=1-+-+-+…-=1-=練習(xí)一：1.計(jì)算：+++……2.計(jì)算：+++++3.計(jì)算：1-+++【例題2】計(jì)算：++++【思路導(dǎo)航】此題分子都是2，而分母又都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的積，所以根據(jù)分?jǐn)?shù)的裂項(xiàng)原理和方法，把每個(gè)分?jǐn)?shù)拆分成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)差的形式，通過(guò)抵消進(jìn)行簡(jiǎn)算。++++=1-+-+-+-+-=1-=練習(xí)二：1.計(jì)算：+++++2.計(jì)算：++++3.計(jì)算：++++【例題3】計(jì)算1-+-+【思路導(dǎo)航】此題可以將一個(gè)分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加的形式，然后去括號(hào)，再進(jìn)行運(yùn)算簡(jiǎn)便。溫馨提示：去掉括號(hào)后，要注意符號(hào)的變化。因?yàn)?+=+=+=+所以，原式=1-（+）+（+）-（+）+（+）=1--++--++=+=練習(xí)三：1.計(jì)算：1-+-+-+-2.計(jì)算：1-+-+3.計(jì)算：1-+-+-【例題4】計(jì)算+++++【思路導(dǎo)航】此題可以利用圖解法分析：觀察圖形發(fā)現(xiàn)：所有分?jǐn)?shù)的和是單位1減去剩余的部分，從而計(jì)算得出結(jié)果。+++++=1-=還可以這樣思考：觀察分母之間的變化規(guī)律，后一個(gè)分母總是前一個(gè)分母的2倍，也就是兩個(gè)后面的分?jǐn)?shù)相加等于前一個(gè)分?jǐn)?shù)，因此我們可以從最后開始算起，先加一個(gè)，就可以得到前一個(gè)分?jǐn)?shù)，再一次從后往前加，就可以得到“和”為“1”，但是先前我們給整個(gè)算式加了一個(gè)，所以還要減去一個(gè)。+++++=+++++（+）-=++++（+）-……=+-=1-=練習(xí)四：1.計(jì)算：++++++++2.計(jì)算：+++++3.計(jì)算：1-----【例題5】計(jì)算：+++++++++…+++…+…【思路導(dǎo)航】此題可以用分組的方法解決。觀察可知分母是1的和為1；分母是2的和為2；分母是3的和為3；……依次類推，分母是49的和為49，此題就簡(jiǎn)化成求1+2+3+…+49的和。+++++++++…+++…+…=1+2+3+4+…+49=（1+49）×49÷2=1225練習(xí)五：1.計(jì)算：9+99+999+9999+999992.計(jì)算：1+2+3+…+103.計(jì)算：++++第三部分：數(shù)學(xué)史話我國(guó)古代是如何計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)加減法的分?jǐn)?shù)加減法在我國(guó)《九章算術(shù)》中也有具體的講述，如下：分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算，《九章算術(shù)》已明確提出先通分，使兩分?jǐn)?shù)的分母相同，然后進(jìn)行加減。加法的步驟是“母互乘子，并以為實(shí)，母相乘為法，實(shí)如法而一”這里“實(shí)”是分子,“法”是分母，“實(shí)如法而一”也就是用法去除實(shí)，進(jìn)行除法運(yùn)算，《九章算術(shù)》還注意到兩點(diǎn)：其一是運(yùn)算結(jié)果如出現(xiàn)“不滿法者，以法命之”。就是分子小于分母時(shí)便以分?jǐn)?shù)形式保留。其二是“其母同者，直相從之”，就是分母相同的分?jǐn)?shù)進(jìn)行加減，運(yùn)算時(shí)不必通分，使分子直接加減即可。按所述法則計(jì)算，我們來(lái)看一個(gè)例子：由此可見，早在兩千多年以前，我國(guó)分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則已經(jīng)如此先進(jìn)，身為炎黃子孫應(yīng)由衷感到無(wú)比驕傲和自豪。奧賽題新編參考答案：練習(xí)一+++……=-+-+-+…-=-=-=2.+++++=1-+-+-+-+-+-=1-=3.1-+++=1-+-+-+-=1-=練習(xí)二1.+++++=-+-+-+-+-+=++++=-+-+-+-+=3.++++=-+-+-+-+-=-=練習(xí)三1.1-+-+-+-=1+-（+）+（+）-（+）+（+）-（+）+（+）-（+）=1+--++--++--++--=1-=2.1-+-+=1+-（+）+（+）-（+）+（+）=1+--++--++=1+=13.1-+-+-=1+-（+）+（+）-（+）+（+）-（+）=1+--++--++--=1-=練習(xí)四1.++++++++=1-=2.1-----=1-（++++）=1-（1-）=1-1+=3.此題可以把算式先加一個(gè)，再進(jìn)一步減去，從后加到前面逐次計(jì)算即可。++++=+++++-=++++-=+++-=++-=+-=1-=練習(xí)五1.9+99+999+9999+99999=9++99++999++9999++99999+=（9+99+999+9999+99999）+（++++）=（10+100+1000+10000+100000-5）+