人教版五年級下冊數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練講義-第十二講質(zhì)數(shù)和合數(shù)（含答案）

第二講質(zhì)數(shù)和合數(shù)第一部分：趣味數(shù)學(xué)親和數(shù)親和數(shù)若自然數(shù)M的全部正因子（去掉其本身）之和，恰為自然數(shù)N，而N的全部正因子（去掉其本身）之和恰為自然數(shù)M，則稱M、N為一對親和數(shù)。最簡單的一對親和數(shù)是220和284，把220的全部正因數(shù)（不包括220本身）加起來為1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝284而把284的全部正因數(shù)（不包括284本身）加起來為1＋2＋4＋7l＋142＝220想不到枯燥的數(shù)字之間也有這種“我中有你，你中有我”的親密無間關(guān)系。在畢達(dá)哥拉斯時代就知道有這一對親和數(shù)。當(dāng)時人們認(rèn)為只有這一對親和數(shù)，一直延續(xù)了兩千多年，人們對此堅信不移。直到1636年皮勒發(fā)現(xiàn)并公布了第二對親和數(shù)17296和18416，這才破除了只有一對親和數(shù)的迷信，也激發(fā)起了人們尋找更多親和數(shù)的熱情。大數(shù)學(xué)家歐拉在1750年，一口氣向公眾宣布了60對親和數(shù)，使人大吃—驚，人們認(rèn)為對親和數(shù)的研究已達(dá)頂峰了。然而，在1866年，一個年僅16歲的青年巴格尼卻令人驚訝地發(fā)現(xiàn)了1184與1210是一對親和數(shù)，它們僅比220和284稍大一些。原來數(shù)學(xué)家也將近在身邊的第二對親和數(shù)遺漏了。如今，人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了1200對親和數(shù)。電子計算機(jī)出現(xiàn)后，人們可以用高速度大容量的計算機(jī)去探索更多的親和數(shù)。人們現(xiàn)在已知最大的一對親和數(shù)是111448537712和118853793424，要把它們的因數(shù)找出來再求和，推證它們之間的關(guān)系，沒有現(xiàn)代計算機(jī)工具的幫助是很困難的。第二部分：奧數(shù)小練【例題1】三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是210，求這三個數(shù).【思路導(dǎo)航】210=2×3×5×7可知這三個數(shù)是5、6和7。練習(xí)一1.一個質(zhì)數(shù)是兩位數(shù)，個位和十位上的數(shù)的和是11，并且這個質(zhì)數(shù)的十位上是最小的質(zhì)數(shù)，這個兩位數(shù)是多少?2.A和B都是質(zhì)數(shù)，A+B小于50且是7的倍數(shù)，如果A+B又是奇數(shù)，那么A×B可能是多?3.邊長為自然數(shù)，面積為105的形狀不同的長方形共有多少種？【例題2】兩個質(zhì)數(shù)的和是40，求這兩個質(zhì)數(shù)的乘積的最大值是多少？【思路導(dǎo)航】把40表示為兩個質(zhì)數(shù)的和，共有三種形式：40=17+23=11＋29=3+37。17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。所求的最大值是391。答：這兩個質(zhì)數(shù)的最大乘積是391。練習(xí)二：1.三個不同質(zhì)數(shù)的和是82，這三個質(zhì)數(shù)的積最大是多少?2.樂樂家的電話號碼是一個七位數(shù)，它恰好是幾個連續(xù)質(zhì)數(shù)的積，且這個積的末四位數(shù)是前三位數(shù)的10倍，你知道樂樂家的電話號碼是多少嗎?若將17拆成若干個質(zhì)數(shù)之和，使得這些質(zhì)數(shù)的乘積盡可能大，那么這個最大的乘積是多少？【例題3】自然數(shù)123456789是質(zhì)數(shù)，還是合數(shù)？為什么？【思路導(dǎo)航】123456789是合數(shù)。因為它除了有約數(shù)1和它本身外，至少還有約數(shù)3，所以它是一個合數(shù)。練習(xí)三1.11112222個棋子排成一個長方陣.每一橫行的棋子數(shù)比每一豎列的棋子數(shù)多1個。這個長方陣每一橫行有多少個棋子？2.五個相鄰自然數(shù)的乘積是55440，求這五個自然數(shù)。3.甲、乙、丙三位同學(xué)討論關(guān)于兩個質(zhì)數(shù)之和的問題。甲說：“兩個質(zhì)數(shù)之和一定是質(zhì)數(shù)。"乙說：“兩個質(zhì)數(shù)之和一定不是質(zhì)數(shù)。"丙說：“兩個質(zhì)數(shù)之和不一定是質(zhì)數(shù)。他們當(dāng)中，誰說的對?【例題4】連續(xù)九個自然數(shù)中至多有幾個質(zhì)數(shù)？為什么？【思路導(dǎo)航】如果這連續(xù)的九個自然數(shù)在1與20之間，那么顯然其中最多有4個質(zhì)數(shù)（如：1～9中有4個質(zhì)數(shù)2、3、5、7）。如果這連續(xù)的九個自然中最小的不小于3，那么其中的偶數(shù)顯然為合數(shù)，而其中奇數(shù)的個數(shù)最多有5個。這5個奇數(shù)中必只有一個個位數(shù)是5，因而5是這個奇數(shù)的一個因數(shù)，即這個奇數(shù)是合數(shù).這樣，至多另4個奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)。綜上所述，連續(xù)九個自然數(shù)中至多有4個質(zhì)數(shù)。練習(xí)四：1.一個長方形的長和寬都是質(zhì)數(shù)，并且周長是36厘米，這個長方形的面積最大是多少平方厘米?2.有九個連續(xù)自然數(shù)，它們都大于80，那么其中質(zhì)數(shù)最多有多少個？3.有3個自然數(shù)a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，a×c＝10.求a×b×c是多少？【例題5】把5、6、7、14、15這五個數(shù)分成兩組，使每組數(shù)的乘積相等?！舅悸穼?dǎo)航】5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，這些數(shù)中質(zhì)因數(shù)2、3、5、7各共有2個，所以如把14（=2×7）放在第一組，那么7和6（=2×3）只能放在第二組，繼而15（＝3×5）只能放在第一組，則5必須放在第二組。這樣14×15=210=5×6×7。這五個數(shù)可以分為14和15，5、6和7兩組。練習(xí)五1.有三個自然數(shù)，最大的比最小的大6，另一個是它們的平均數(shù)，且三數(shù)的乘積是42560.求這三個自然數(shù)。2.一個整數(shù)a與1080的乘積是一個完全平方數(shù).求a的最小值與這個平方數(shù)。3.問360共有多少個約數(shù)？第三部分：數(shù)學(xué)史話

數(shù)學(xué)家歐拉數(shù)學(xué)史上公認(rèn)的4名最偉大的數(shù)學(xué)家分別是：阿基米德、牛頓、歐拉和高斯。阿基米德有“翹起地球”的豪言壯語，牛頓因為蘋果聞名世界，高斯少年時就顯露出計算天賦，唯獨歐拉沒有戲劇性的故事讓人印象深刻。

歐拉一生都是在科學(xué)院度過,

因此得以專心研究數(shù)學(xué),從19歲開始發(fā)表論文,

直到76歲,幾乎在每一個數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字。四次方程的歐拉解法,數(shù)論中的歐拉函數(shù),微分方程的歐拉方程,級數(shù)論的歐拉常數(shù),變分學(xué)的歐拉方程,

復(fù)變函數(shù)的歐拉公式等等.。

他對數(shù)學(xué)分析的貢獻(xiàn)更獨具匠心,

《無窮小分析引論》、《微分學(xué)原理》和《積分學(xué)原理》都是當(dāng)時數(shù)學(xué)教科書中的經(jīng)典著作.歐拉還創(chuàng)設(shè)了許多數(shù)學(xué)符號,

例如:

f(x)

(1734

年)、π(1736

年)、e

(1748年)、sin

和

cos(1748

年)、tan(1753

年)、Δx(1755

年)、Σ(1755

年)、i

(1777

年)

等.歐拉在他半個多世紀(jì)中以平均每年

800

頁的速度寫出創(chuàng)造性論文.。他去世后,

人們整理出他的研究成果多達(dá)

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卷。參考答案：練習(xí)一1.因為十位上是最小的質(zhì)數(shù)是2，個位上11-2=9，所以這個數(shù)是29。2.a+b是奇數(shù)，故a、b為一奇一偶，但質(zhì)數(shù)里只有2是偶數(shù)，故a、b中必有一個2，又a+b小于50且是7的倍數(shù)且是奇數(shù)，這樣的數(shù)只有7、21、35、49四個，則另一個質(zhì)數(shù)為：7－2＝5或21－2＝19或35－2＝33（33為合數(shù)，舍去）或49－2＝472×5＝10或19×2＝38或47×2＝94

故a×b可能的值為是10或38或94。3.105=3×5×7，105=1×105=3×35=5×21=7×15，共有4種。練習(xí)二除2外所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，三個質(zhì)數(shù)相加的和是偶數(shù)，其中一定有一個質(zhì)數(shù)是2。82-2=80，剩下的兩個質(zhì)數(shù)的和是80，可能的情況有7和73,13和67,19和61,37和43。兩個數(shù)的和不變，它們的差越小，積就越大。因為73一7=66,67-13=54,61-19=42,43-37=6,6<42<<54<66，所以當(dāng)這兩個質(zhì)數(shù)是43和37時，才能使這三個質(zhì)數(shù)的積最大。正確解答：2×37×43=3182答：這三個質(zhì)數(shù)的積最大是3182。2.由題意可知，電話號碼的末位數(shù)字是0，可設(shè)電話號碼為abcabc0，則這個數(shù)是偶數(shù)，能夠被2整除。因為這個七位數(shù)是幾個連續(xù)質(zhì)數(shù)的積，且2是最小的質(zhì)數(shù)，并且是唯一的偶數(shù)，所以這個七位數(shù)是從2開始的連續(xù)質(zhì)數(shù)的積。正確解答2×3×5×7×1I×13×17×19=9699690答：樂樂家的電話號碼是9699690。3.根據(jù)整數(shù)拆分原則：多拆3，少拆2，不拆1，拆分后乘積最大。若要使17拆成的不同質(zhì)數(shù)的乘積盡可能大，應(yīng)該將17分解出5個3和1個2。所以最大乘積是3×3×3×3×3×2=486。練習(xí)三1.每一橫行棋子數(shù)比每一豎列棋子數(shù)多1個。橫行數(shù)與豎列數(shù)應(yīng)是兩個相鄰的自然數(shù)。11112222=3333×3334答案為3334。2.7、8、9、10、11。3.丙說的對。因為兩個質(zhì)數(shù)之和可能是質(zhì)數(shù)如2+3=5，也可能是合數(shù)如3+5=8，因此甲和乙的說法是錯誤的，只有丙說得對。練習(xí)四1.長與寬的和：36=2×18(厘米)把18分為兩個質(zhì)數(shù)的和：18=5+13=7+115×13=65(平方厘米)7X11=77(平方厘米)這個長方形面積最大是72。2.首先除了2以外的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，在任意9個連續(xù)自然數(shù)中，至多有5個數(shù)是奇數(shù)，這5個奇數(shù)中必然有一個5的倍數(shù)，所以質(zhì)數(shù)最多有514個。構(gòu)造過程如下：首先有4個偶數(shù)，所以這9個數(shù)中最大的和最小的都是奇數(shù)，中間的一個自然也是奇數(shù)；而且9個連續(xù)自然數(shù)有3個3的倍數(shù)，只能有1個奇數(shù)，有2個偶數(shù)，那么第2個數(shù)和第8個數(shù)是3的倍數(shù)的偶數(shù)，這樣的話第5個數(shù)也就是中間的數(shù)必然是3的信數(shù)，為了節(jié)省“合數(shù)”，所以我們應(yīng)該讓中間的一個數(shù)既是3的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，經(jīng)試驗105可以做中間數(shù)，發(fā)現(xiàn)這9個數(shù)是101，102,103.104,105,106,107.108,109，剛好有4個質(zhì)數(shù)101,103，107，109。3.6＝2×3，15=3×5，10＝2×5。（a×b）×（b×c）×（a×c）=（2×3）×（3×5）×（2×5）a2×b2×c2=22×32×52（a×b×c）2＝（2×3×5）2a×b×c=2×3×5＝30練習(xí)五1.先大概估計一下，30×30×30=27000，遠(yuǎn)小于42560。40×40×40＝64000，遠(yuǎn)大于42560。因此，要求的三個自然數(shù)在30～40之間。42560=26×5×7×19＝25×（5×7）×（19×2）＝32×35×38（合題意）要求的三個自然數(shù)分別是32、35和38。2.a與1080的乘積是一個完全平方數(shù)，乘積分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)一定全是偶數(shù)。1080×a=23×33×5×a，1080=23×33×5的質(zhì)因數(shù)分解中各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是奇數(shù)，a必含質(zhì)因數(shù)2、3、5，因此a最小為2×3×5。1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。答：a的最小值為30，這個完全平方數(shù)是32400。3.360=23×32×5。為了求360有多少個約數(shù)，我們先來看32×5有多少個約數(shù)，然后再把所有這些約數(shù)分別乘以1、2、22、23，即得到23×32×5（=