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第四講找?guī)缀螆D形的規(guī)律第一部分:趣味數(shù)學(xué)第一個(gè)算出地球周長(zhǎng)的第一個(gè)算出地球周長(zhǎng)的——埃拉托色尼人2000多年前,有人用簡(jiǎn)單的測(cè)量工具計(jì)算出地球的周長(zhǎng)。這個(gè)人就是古希臘的埃拉托色尼(約公元前275年-公元前194年)。埃拉托色尼博學(xué)多才,他不僅通曉天文,而且熟知地理;又是詩(shī)人、歷史學(xué)家、語(yǔ)言學(xué)家、哲學(xué)家,曾擔(dān)任過(guò)亞歷山大博物館的館長(zhǎng)。細(xì)心的埃拉托色尼發(fā)現(xiàn):離亞歷山大城約800千米的塞恩城(今埃及阿斯旺附近),夏日正午的陽(yáng)光可以一直照到井底,因而這時(shí)候所有地面上的直立物都應(yīng)該沒(méi)有影子。但是,亞歷山大城地面上的直立物卻有一段很短的影子。他認(rèn)為:直立物的影子是由亞歷山大城的陽(yáng)光與直立物形成的夾角所造成。從地球是圓球和陽(yáng)光直線傳播這兩個(gè)前提出發(fā),從假想的地心向塞恩城和亞歷山大城引兩條直線,其中的夾角應(yīng)等于亞歷山大城的陽(yáng)光與直立物形成的夾角。按照相似三角形的比例關(guān)系,已知兩地之間的距離,便能測(cè)出地球的圓周長(zhǎng)。埃拉托色尼測(cè)出夾角約為7度,是地球圓周角(360度)的五十分之一,由此推算地球的周長(zhǎng)大約為4萬(wàn)千米,這與實(shí)際地球周長(zhǎng)(40076千米)相差無(wú)幾。他還算出太陽(yáng)與地球間距離為1.47億千米,和實(shí)際距離1.49億千米也驚人地相近。這充分反映了埃拉托色尼的學(xué)說(shuō)和智慧。找?guī)缀螆D形的規(guī)律:找規(guī)律是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的手段,而規(guī)律的找尋既需要敏銳的觀察力,又需要嚴(yán)密的邏輯推理能力.為培養(yǎng)這方面的能力,本講將從幾何圖形的問(wèn)題入手,逐步分析應(yīng)從哪些方面來(lái)觀察思考。因此,學(xué)習(xí)本講的知識(shí)有助于養(yǎng)成全面地、由淺入深、由簡(jiǎn)到繁觀察思考問(wèn)題的良好習(xí)慣,可以逐步掌握通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律并利用規(guī)律來(lái)解決問(wèn)題的方法。第二部分:奧數(shù)小練【例題1】按順序觀察圖5—1與圖5—2中圖形的變化,想一想,按圖形的變化規(guī)律,在帶“?”的空格處應(yīng)畫(huà)什么樣的圖形?【思路導(dǎo)航】觀察中,注意到圖5—1中每行三角形的個(gè)數(shù)依次減少,而正方形的個(gè)數(shù)依次增多,且三角形的個(gè)數(shù)按4、3、X、1的順序變化.顯然X應(yīng)等于2;圖5—2中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)從左到右逐次增多,且每一格(第一格除外)比前面的一格多兩個(gè)點(diǎn).事實(shí)上,本題中幾何圖形的變化僅表現(xiàn)在數(shù)量關(guān)系上,是一種較為基本的、簡(jiǎn)單的變化模式。解:在圖5—1的“?”處應(yīng)是三角形△,在圖5—2的“?”處應(yīng)是【例題2】請(qǐng)觀察下圖中已有的幾個(gè)圖形,并按規(guī)律填出空白處的圖形?!舅悸穼?dǎo)航】首先可以看出圖形的第一行、第二列都是由一個(gè)圓、一個(gè)三角形和一個(gè)正方形所組成的;其次,在所給出的圖形中,我們發(fā)現(xiàn)各行、各列均沒(méi)有重復(fù)的圖形,而且所給出的圖形中,只有圓、三角形和正方形三種圖形。由此,我們知道這個(gè)圖的特點(diǎn)是:①僅由圓、三角形、正方形組成;②各行各列中,都只有一個(gè)圓、一個(gè)三角形和一個(gè)正方形。因此,根據(jù)不重不漏的原則,在第二行的空格中應(yīng)填一個(gè)三角形,而第三行的空格中應(yīng)填一個(gè)正方形。解略。【例題3】按順序觀察下圖中圖形的變化規(guī)律,并在“?”處填上合適的圖形?!舅悸穼?dǎo)航】:顯然,圖(a)、圖(b)中都是圓,而圖(c)中卻不是圓;同時(shí),圖(a)、(c)中都有3個(gè)圖形,而(b)中只有兩個(gè)。由此可知:圖(a)到(b)的變化規(guī)律對(duì)應(yīng)于圖(c)到(d)的變化規(guī)律。再注意到圖(a)到圖(b)中圖形在繁簡(jiǎn)、多少、位置幾方面的變化,就容易得到圖(d)中的圖形了。解:在上圖的“?”處應(yīng)填如下圖形:【例題4】下圖中的圖形是按一定規(guī)律排列的,請(qǐng)仔細(xì)觀察,并在“?”處填上適當(dāng)?shù)膱D形?!舅悸穼?dǎo)航】本題中,首先可以注意到每個(gè)圖形都由大、小兩部分組成,而且,大、小圖形都是由正方形、三角形和圓形組成,圖中的任意兩個(gè)圖形均不相同。因此,我們不妨試著把大、小圖形分開(kāi)來(lái)考慮,再一次觀察后我們可以發(fā)現(xiàn):對(duì)于大圖形來(lái)說(shuō),每行每列的圖形決不重復(fù)。因此,每行每列都只有一個(gè)大正方形,一個(gè)大三角形和一個(gè)大圓,對(duì)于小圖形也是如此,這樣,“?”處的圖形就不難得出。解:圖中,(b)、(f)、(h)處的圖形分別應(yīng)填下面的圖甲、圖乙、圖丙。小結(jié):對(duì)于較復(fù)雜的圖形來(lái)說(shuō),有時(shí)候需要把圖形分開(kāi)幾部分來(lái)單獨(dú)考慮其變化規(guī)律,從而把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化?!纠}5】觀察下列各組圖的變化規(guī)律,并在“?”處畫(huà)出相關(guān)的圖形。【思路導(dǎo)航】我們先來(lái)看這樣兩個(gè)圖:圖與(乙)圖中,點(diǎn)A、B、C、D的順序和距離都沒(méi)有改變,只是每個(gè)點(diǎn)的位置發(fā)生了變化,如:甲圖中,A在左方;而乙圖中,A在上方,……我們把這樣一種位置的變化稱為圖形的旋轉(zhuǎn),乙圖可以看作是甲圖沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)個(gè)圓(或90°)而得到的,甲圖也可以看作是由乙圖沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)個(gè)圓(或90°)而得到的。同樣道理,我們可以把的位置變化也成為旋轉(zhuǎn),叫做沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°(或一格)?,F(xiàn)在我們?cè)倩氐筋}目上來(lái),容易看出:例5題中按(a)、(b)、(c)、(d)、(e)、(f)、(g)、(h)、(i)順序排列的9個(gè)圖形,它們的變化規(guī)律是:每一個(gè)圖形(a除外)都是由其前一個(gè)圖形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得到的。甲乙丙丁四個(gè)圖形變化規(guī)律也類(lèi)似。解:圖(i)處的圖形應(yīng)是下面左圖,丁圖處的圖形應(yīng)是下面右圖注意:因?yàn)閳D形是由旋轉(zhuǎn)而得到的,所以其中三角形、菱形的方向隨旋轉(zhuǎn)而變化,作圖的時(shí)候要注意到這一點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)是數(shù)學(xué)中的重要概念,掌握好這個(gè)概念,可以提高觀察能力,加快解題速度,對(duì)于許多問(wèn)題的解決,也有事半而功倍的效果?!纠}6】仔細(xì)觀察下圖中圖形的變化規(guī)律,并在“?”處填入合適的圖形.【思路導(dǎo)航】顯然,圖(a)、(b)的變化規(guī)律對(duì)應(yīng)于圖(c)的變化規(guī)律;圖(d)、(e)的變化規(guī)律也對(duì)應(yīng)于圖(f)的變化規(guī)律,我們先來(lái)觀察(a)、(b)兩組圖形,發(fā)現(xiàn)在形狀、位置方面都發(fā)生了變化,即把圓變?yōu)樗囊话搿雸A,把三角形也變?yōu)樗囊话搿苯侨切?;同時(shí),變化后圖形的位置相當(dāng)于把原圖形沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°而得到.因此,我們很容易地就把圖(c)中的直角梯形還原為等腰梯形并通過(guò)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得到圖(c)“?”處的圖形。當(dāng)我們從左到右來(lái)觀察圖(d)、(e)的變化規(guī)律時(shí),我們發(fā)現(xiàn),圖(d)、(e)的變化規(guī)律有與圖(a)、(b)相同的一面,即都是把一個(gè)圖形變?yōu)樽陨淼囊话耄灿信c圖(a)、(b)不同的一面,即圖(d)、(e)中右半部分的圖形無(wú)法通過(guò)旋轉(zhuǎn)原圖來(lái)得到,只能通過(guò)上下翻轉(zhuǎn)而獲得.這樣,我們就得到了這些圖形的變化規(guī)律。解:圖(c)中“?”處的圖形應(yīng)是下面甲圖,圖(f)中“?”處的圖形應(yīng)是乙圖。小結(jié):本題是一道較為復(fù)雜的題,觀察的出發(fā)點(diǎn)主要有3點(diǎn):①形狀變化;②位置變化;③顏色變化?!纠}7】四個(gè)小動(dòng)物排座位,一開(kāi)始,小鼠坐在第1號(hào)位子上,小猴坐在第2號(hào),小兔坐在第3號(hào),小貓坐在第4號(hào)。以后它們不停地交換位子,第一次上下兩排交換。第二次是在第一次交換后左右兩列交換,第三次再上下兩排交換,第四次再左右兩列交換…這樣一直換下去。問(wèn):第十次交換位子后,小兔坐在第幾號(hào)位子上?(參看下圖)【思路導(dǎo)航】這是“華羅庚金杯”第二屆初賽的一道試題,如果有充裕的時(shí)間,我們當(dāng)然可以把十次變化的圖都畫(huà)出來(lái),從而得到答案。10并不是一個(gè)很大的數(shù)字,因此這樣的方法雖然麻煩,卻也是行之有效的。然而,在初賽中,本題的思考時(shí)間只有30秒,不可能一步步把圖畫(huà)出來(lái),這就要求我們仔細(xì)觀察,認(rèn)真思考,找出規(guī)律再做題。方法1:因?yàn)轭}目中問(wèn)的只是第十次交換位子后,小兔的位子是幾.因此,我們只需考慮小兔的位子變化規(guī)律,小兔剛開(kāi)始時(shí)在3號(hào)位子,記為③,則變化過(guò)程為③一次①二次②三次④四次③…容易看出,每一次交換座位,小兔的座位按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)一格,每四次交換座位后,小兔又回到原處,知道了這個(gè)規(guī)律,就不難得出答案.即10次后,小兔到了第2號(hào)位子。方法2:受方法一的啟示,我們可以思考,其他小動(dòng)物的變化規(guī)律怎樣?四個(gè)小動(dòng)物的整體變化規(guī)律又怎樣呢?事實(shí)上,當(dāng)我們仔細(xì)觀察示意圖時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn),開(kāi)始的圖沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)兩格(即180°)時(shí),恰得到第二次交換位子后的圖,由此可以知道,每一次上下交換后再一次左右交換的結(jié)果就相當(dāng)于把原圖沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°,第十次交換位子后,相當(dāng)于是這些小動(dòng)物沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)了4圈半,這樣,我們就得到了小兔的位子及它們的整體變化規(guī)律.但其中需注意一點(diǎn)的是:?jiǎn)为?dú)一次上下(或左右)的交換與旋轉(zhuǎn)90°得到的結(jié)果是不同的.小貓、小鼠的位子變化規(guī)律是沿逆時(shí)針?lè)较?,而小猴的位子變化?guī)律與小兔相似。解:第十次交換位子后,小兔到了2號(hào)位子?!纠}8】將A、B、C、D、E、F六個(gè)字母分別寫(xiě)在正方體的六個(gè)面上,從下面三種不同擺法中判斷這個(gè)正方體中,哪些字母分別寫(xiě)在相對(duì)的面上?!舅悸穼?dǎo)航】本題所給的是一組立體幾何圖形.但是,我們注意到:由于圖(a)、(b)、(c)都是同一個(gè)正方體的不同擺法,所以,(a)、(b)、(c)可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)來(lái)互相轉(zhuǎn)化,這三個(gè)圖形中,字母C所在的一面始終不改變位置.因此,這三個(gè)圖形的轉(zhuǎn)化只能是前后轉(zhuǎn)動(dòng).把圖(a)向后翻轉(zhuǎn)一次(90°)得圖(b),由此可知,字母A的對(duì)面是D,把圖(a)向前翻轉(zhuǎn)一次(90°)得圖(c),所以,字母B的對(duì)面是字母E,最后得出只有字母C、F相對(duì)。解:正方體中,相對(duì)的字母分別是A—D、B—E、C—F??偨Y(jié):一般地說(shuō),在觀察圖形變化的規(guī)律時(shí),應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)來(lái)考慮問(wèn)題:1.圖形數(shù)量的變化;2.圖形形狀的變化;3.圖形大小的變化;4.圖形顏色的變化;5.圖形位置的變化;6.圖形繁簡(jiǎn)的變化等。對(duì)較復(fù)雜的圖形,也可分成幾部分來(lái)分別考慮.總而言之,只要全面觀察,勤于思考,就一定能抓住規(guī)律、解決問(wèn)題。課后習(xí)題:1.順序觀察下面圖形,并按其變化規(guī)律在“?”處填上合適的圖形。2.一個(gè)正方體的小木塊,1與6、2與5、3與4分別是相對(duì)面,如照下圖那樣放置,并按圖中箭頭指示的方向翻動(dòng),則木塊翻動(dòng)到第5格時(shí),木塊正上方那一面的數(shù)字是多少?第三部分:數(shù)學(xué)史話小朋友們,熊慶來(lái)是中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的先驅(qū),你們想了解他的故事嗎?認(rèn)真閱讀下面的資料吧!從小立志科學(xué)救國(guó)的熊慶來(lái)熊慶來(lái)(1893-1969)是云南彌勒縣人,中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的先驅(qū),為中國(guó)數(shù)學(xué)事業(yè)的發(fā)展做出了杰出的貢獻(xiàn)。1949年6月,國(guó)民黨反動(dòng)政府趁熊慶來(lái)去巴黎參加國(guó)際會(huì)議的機(jī)會(huì),解散了他苦心經(jīng)營(yíng)12年的云南大學(xué)。年近花甲的熊慶來(lái)懷著“壯志難酬,報(bào)國(guó)無(wú)門(mén)”的心情,決定留在法國(guó)繼續(xù)從事函數(shù)論的研究?!白鎳?guó)歡迎你,人民歡迎你!歡迎你回來(lái)參加社會(huì)主義建設(shè)的偉大事業(yè)……”1957年4月,周總理給熊慶來(lái)寫(xiě)信,動(dòng)員他回國(guó)。同年6月,熊慶來(lái)在完成了函數(shù)論專著稿后,毅然啟程回到了祖國(guó)的懷抱。他表示愿
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