2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教案：不等式

解密03講：不等式

【考點(diǎn)解密】

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

a-b>0^a>b

(1)作差法<a—(a,/?￡R)

、〃一b<0=〃<Z?

Ca4,

(2)作商法<%=10a=b(〃￡R,b>0)

a<,

T<l^a<b

7b

2.不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒

對(duì)稱性a>b^b<a=

傳遞性a>b,b>c=>a>c今

可加性a>b=a+c>b+c=

a>ti\

八(=>ac>bc

O0J

可乘性注意C的符號(hào)

a>b\

八(=>ac<bc

c<0J

a>b]

同向可加性，今〃+c>/7+d=>

c>d]

同向同正可

工\^>ac>bd=>

乘性c>d>0J

可乘方性〃>b>0n〃〃>〃(〃￡N,心1)a,b同為正數(shù)

可開(kāi)方性a>b>0=>y[a>yfb(n￡N,“22)a,b同為正數(shù)

3.一元二次不等式的解集

判別式/=廬一4。。J>0J=0/<0

y

二

二次函數(shù)y=ax1+bx+cAM

3>0)的圖象x^U/xX

2

OX

有兩相等實(shí)根

方程ax1+bx+c=0(4>0)有兩相異實(shí)根制,X2

b沒(méi)有實(shí)數(shù)根

的根(X[<X2)制=為=一五

tzx2+Z?x+c>0(。>0)的解集{x\x<Xl或X>X2]Ni/j{小￡R}

“f+Zzx+cvO(〃>0)的解集{x\xi<X<X2]00

4.基本不等式屈W皇

(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0.

(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào).

(3)其中皇叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)，的叫做正數(shù)a,6的幾何平均數(shù).

5.幾個(gè)重要的不等式

(1)?2+/?22ab(a,Z?￡R).

hZ7

(2)/+石22(a,b同號(hào)).

(3)a6W(":beR).

(4)"3BGR).

以上不等式等號(hào)成立的條件均為a=b.

6.用基本不等式求最值

用基本不等式M法w等求最值應(yīng)注意：一正二定三相等.

(l)a,6是正數(shù)；

(2)①如果等于定值P,那么當(dāng)時(shí)，和a+6有最小值2爐；

②如果a+6等于定值S,那么當(dāng)a=b時(shí)，積ab有最大值［w.

⑶討論等號(hào)成立的條件是否滿足.

【方法技巧】

一、比較大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②變形；③定號(hào)；④得出結(jié)論.

(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論.

(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

二、判斷不等式的常用方法

(1)直接利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證，利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件.

(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案.

(3)利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí)，可以利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、霹函數(shù)等函數(shù)的

單調(diào)性來(lái)比較.

三、利用基本不等式求最值

⑴前提：“一正”“二定”“三相等”.

(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.

(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法；三是消元法.

【核心題型】

題型一：比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小

1.已知a=&，b=近-5c=#-0,則“，b,。的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】通過(guò)作差法，a-b=E+6-幣,確定符號(hào)，排除D選項(xiàng);

通過(guò)作差法，a-c=2無(wú)-底,確定符號(hào)，排除C選項(xiàng)；

通過(guò)作差法，6-c=(S+3)-確定符號(hào)，排除A選項(xiàng)；

【詳解】由a-b=4i+0-布,且(應(yīng)+退r=5+2痣>7,故。>6；

由a-c=2點(diǎn)-指且(2偽2=8>6,故°>c；

b-c=(A/7+A/5)-+且(^/^+6')=9+2^/T8>9+2^/14=(y/l+A/2j,故c>8.

所以a>c>Z?,

故選：B.

2.已知：2"=6"=10,則3,ab,的大小關(guān)系是()

A.ab<a+b<3B.ab<3<a+b

C.3<a+b<abD.3<ab<a+b

【答案】D

【分析】先將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及運(yùn)算法則比較大小，確定選項(xiàng).

【詳解】?=log210>log28=3,Z?=log610>l,

ab>3；

又a'?=3+?=ig2+lg6=lgl2>1na+b>a/?,a+b>a匕>3.故選D.

abab

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)式化與對(duì)數(shù)式關(guān)系以及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

3.設(shè)M=2a(a—2)+7,N=(a-2)(a-3),則Af與N的大小關(guān)系是()

A.M>NB.M=NC.M<ND.無(wú)法確定

【答案】A

【分析】利用作差法解出的結(jié)果，然后與0進(jìn)行比較，即可得到答案

【詳解】解:因?yàn)镸=2“(a—2)+7,N=(a_2)(a-3),

I+；＞0,

所以M-N=(2/—4a+7)-(a2—5a+6—ci+a+1=a+萬(wàn)

：.M>N,

故選：A

題型二：不等式的基本性質(zhì)

4.對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c,下列命題中正確的是()

A.若。>4>,則ac2>6c2

B.若IVa-6V2,24a+6V4,則4W4a-勸411

bn

C.若0<a<b,則

ab

D.^a>b>c>0,則f〉：+-

bb+c

【答案】D

【分析】由不等式性質(zhì)判斷各選項(xiàng)正誤即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,注意到若c=0,當(dāng)時(shí)，at?=布=0.故A錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)B,設(shè)m(a-6)+〃(。+。)=4〃一2Z?,

\m+n=4Im=3,、(、

得C，解得「又3W3。―6)46,2W6V4,

\n-m=-2\n=l'/

得544a—2b410.故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C選項(xiàng)，因。<。<匕，則">a2^—>—故C錯(cuò)誤.

ababab

a+c_(〃-b)c

對(duì)于D選項(xiàng)，1因a>b>c>0,則:〉爐，故D正確.

b+cb9+c)bb+c

故選：D

5.已知a,b,c,d均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是()

A.若a>b,c>d,則a-t/>6-cB.若a>b,0d則ac>ZM

cdcib

C.若〃b>0,bc-ad>0,則—>—D.若a>b,c>d>0,則一>—

abdc

【答案】AC

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和特殊值法逐項(xiàng)分析可求得答案.

【詳解】解：由不等式性質(zhì)逐項(xiàng)分析：

A選項(xiàng)：由c>d,故-cv-d,根據(jù)不等式同向相加的原則a-d>b-c,故A正確

B選項(xiàng)：若a>0>b,0>c>dJjJlJacvbd,故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：ab>0,bc-ad>0,則”㈣>0,化簡(jiǎn)得￡-/>0,故C正確；

abab

nh

D選項(xiàng)：a=-l,b=-2,c=2,d=l則：=—=一1,故D錯(cuò)誤.

ac

故選：AC

6.已知d>5>0,貝！J()

C.tz3—b3>2^a2b—ab2^D.y/a+1—yjb+l>y/a—\[b

【答案】AC

【分析】對(duì)A,對(duì)。>人兩邊同除油化簡(jiǎn)即可判斷;

對(duì)B,對(duì)不等式移項(xiàng)進(jìn)行因式分解得即可進(jìn)一步判斷1-1的符號(hào)不確定，即可判斷;

對(duì)C,對(duì)不等式移項(xiàng)進(jìn)行因式分解得(“-"3一而+廿)>0,由〃+從一必=5一32+而即可判斷；

對(duì)不等式移項(xiàng)進(jìn)行根式運(yùn)算得不吃〉行力

對(duì)D,,即可進(jìn)一步判斷

【詳解】對(duì)A,a>b>Qnq>4n；>LA正確；

ababba

對(duì)B,a-^->b--<^a-b+―-->Q<^(a-b^1一一|>0,a-b>0,1--->0<^ab>l

不等式不一定成

baab\abJab

立，B錯(cuò)誤;

22

對(duì)C,d—83>2(〃2人一成2)O(Q—6乂/一"+匕2)>0,,/a—b>Ofa+b—ab>0<^>[a—b^+ab>0,不等式

成立，C正確;

對(duì)"D,Ja+1—{b+1>yfu—y[bJa+1—+1—y[b,所1以

11

J/7+1+s/b>Ja+1+,不等式不成立，D錯(cuò)誤;

Ja+1+y/u\/Z7+1+-\/b

故選：AC.

題型三：不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用

7.已知l?a+b<4,-l<a-b<2,貝！J4a—2Z?的取值范圍是()

A.[-4,10]B.[-3,6]C.[-2,14]D.[-2,10]

【答案】D

【分析】利用待定系數(shù)法得出4a-2)=(a+b)+3(a-b),并計(jì)算出3伍-9的取值范圍，利用不等式的性質(zhì)可得出

4a-2》的取值范圍.

x+y=4\x=l

【詳解】設(shè)4a-2/?=x(a+b)+y(a—〃)=(%+，解得,

x-y=-2U=3

「.4a—2Z?=(a+Z?)+3(a—b),

Ql<tz+Z?<4,—l<a—b<2,—3<3(tz—Z?)<6,

由不等式的t生質(zhì)可得一2?(a+b)+3(a—b)(l。，gp-2<4?-2^<10,

因此，4a-2/?的取值范圍是[-2/0],故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查求代數(shù)式的取值范圍，解題的關(guān)鍵就是將所求代數(shù)式用已知的代數(shù)式加以表示，在求解可充分利

用待定系數(shù)法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.

8.己知l<x-y<3,則的取值范圍是（）

A.[2,28]B.1,28C.[2,27]D.1,27

【答案】C

【分析】利用待定系數(shù)法求得3x-y=（x+y）+2（x-y）,由-14尤+y4l,14x-”3,結(jié)合8工[￡|'=23口，從而

可得結(jié)果.

【詳角軍]令3x—y=s（x+y）+,（九一y）=（s+，）x+（s—，）y

U=2

X-

l<x-y<3,

2<2（x-y）<6...@

???①+②得l<3x>7.

則=23x^e[2,27].

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，意在考查綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于中檔

題.

9.已知12<。<60,15<6<36,則￡的取值范圍為_(kāi)________.

b

【答案】（1,4）

【分析】由15<6<36可以推出〈人，由不等式的性質(zhì)可以得到/的取值范圍.

36b15b

【詳解】0<15<6<36n0<2<9<],而0<12<。<60,根據(jù)不等式的性質(zhì)可得

36b15

12x]<a4<Cx60n，<F<4,所以:的取值范圍為（上4）.

36o153bb3

【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì).不等式的性質(zhì)中沒(méi)有相除性，可以利用相乘性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，但是應(yīng)用不等式相乘性

時(shí)，要注意不等式的正負(fù)性.

題型四：利用基本不等式求最值

命題點(diǎn)1配湊法

、4

10.設(shè)實(shí)數(shù)x滿足%>。，函數(shù)y=2+3%+；的最小值為()

x+1

A.4百-IB.46+2C.40+1D.6

【答案】A

4

【解析】將函數(shù)變形為y=3(%+l)+0-1,再根據(jù)基本不等式求解即可得答案.

【詳解】解：由題意%>0,所以無(wú)+1>0,

44

所以y=2+3x+——=2+3(%+1)—3+——

x+1x+1

=3(x+l)+三一122際+1).二-1=4百-L

人"I-1y十1

當(dāng)且僅當(dāng)35+1)=鼻，即苫=￥-1>0時(shí)等號(hào)成立，

所以函數(shù)y=2+3》+/"；?的最小值為4&-L

x+1

故選：A.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件:

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因

式的和轉(zhuǎn)化成定值;

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最

值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方

11.已知x>0,y>0,2x+3y=6,則孫的最大值為

【答案】|3

【詳解】因?yàn)橛?gt;0,y>0,2x+3y=6,

所以孫=初%)=4唱支］2=:俳=|.

33

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y,即x=］,y=l時(shí)，孫取到最大值］.

12.已知a>b>c,求(a—c)匕與+黃，的最小值.

【詳解】(。-0(六十占)

=(Lf-。)(六+士)

=1+1+2+產(chǎn)

a-bb-c

Va>b>c,.*?a—b>0,b-c>09

b-ca—b、,b-ca-b

：.2K2+2---.---=4

a-ba-bb-c

當(dāng)且僅當(dāng)a—b=b—c,即2b=a+c時(shí)取等號(hào),

???(.—c)(j與+￡)的最小值為4.

命題點(diǎn)2常數(shù)代換法

13

13.已知a>0,6>0,a+〃=1,則丁=—I"：的最小值是()

ab

A.7B.2+gC.4D.4+273

【答案】D

【分析】由“1”的妙用和基本不等式可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閍>0力>0,。+6=1,

13/7\門(mén)3、463。、4_lb3a71c質(zhì)

所以y=—I=(a+b)\—I—=4H----1---->4+2J--------=4+2,3，

abyab)ab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)2=乎即6=島時(shí)，等號(hào)成立.

ab

結(jié)合a+b=l可知，當(dāng)〃=《!二土?xí)r，》有最小值4+2JL

22

故選：D.

12一

14.己知x>Ly>0,且—-+—=1,貝！I尤+2y-l的最小值為()

x-1y

A.9B.10C.11D.7+2指

【答案】A

【分析】利用“乘1法”將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求[原-1)+2日[。+的最小值，然后展開(kāi)利用基本不等式求解.

12

【詳解】Qx>l,/.x-l>0,又y>0,且一—=1,

x-1y

.-.x+2y-l=[(x-l)+2y][—+-^=5+^+^^>5+2戶1,2(1)'=鄉(xiāng)，

I無(wú)一1yjx-1y\x-ly

當(dāng)且僅當(dāng)用7=型二2,解得x=4,y=3時(shí)等號(hào)成立，

x-1y

故x+2y-l的最小值為9.

故選：A.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：

(1)“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因

式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最

值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.

15.若實(shí)數(shù)x+2y=4(x>l,y>?)，則一二+7二的最小值為()

2x-12y-\

14

A.—B.1C.—D.2

23

【答案】D

【分析】由條件變形工+4=!工+不■二［（x-l）+（2y-l）］,再結(jié)合基本不等式求最小值.

x-12y-l2^x-l2y-l」

【詳解】由條件可知，x-l+2y-l=2,

所以占+1△］［（xT）+（2yT）］

2y-l

_￡2y-lx-1

2+2+2=2

-2x-12y-l4x-12y-l

7

2y—lx—11

當(dāng)上丁=^―即2y-1=%—1,結(jié)合條件x+2y=4（x>ly>~）.

x-12y-lf2

可知x=2,y=l時(shí)，等號(hào)成立，所以「7+八的最小值為2.

x-12y-l

故選：D

11Q

16.已知々>0,b>0,且〃6=1,則---1------1--------的最小值為_(kāi)________.

2a2ba+b

【答案】4

【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為?+2，利用基本不等式即可求解.

2a+b

.八r八,118abab8

【詳角?！?「a>0,b>0,a+b>0,ciTb=1,1------1--------=1-------1--------

2a2ba+b2a2ba+b

=j+§=當(dāng)且僅當(dāng)a+匕=4時(shí)取等號(hào)，

2a+b\2a+b

結(jié)合ab=l,解得a=2—JIb=2+6，或a=2+如/=2-0時(shí)，等號(hào)成立.

故答案為：4

【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用基本不等式求最值，“1”的合理變換是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

命題點(diǎn)3消元法

17.負(fù)實(shí)數(shù)X、y滿足x+y=-2,則的最小值為（）

y

A.OB.-1C.-72D.-5/3

【答案】A

【分析】由已知可得尤=-2-y,再利用基本不等式可求得“工的最小值.

y

【詳解】因?yàn)樨?fù)實(shí)數(shù)X、y滿足x+y=—2,則％=_2_yv0,可得_2<yv0,

由基本不等式可得X=—2—y>—2+2（―y）------=0,

yy\-y

當(dāng)且僅當(dāng)-y=-；（y<。）時(shí)，即當(dāng)y=-i時(shí)，等號(hào)成立.

故X-'的最小值為0.

y

故選：A.

18.若實(shí)數(shù)x,y滿足孫+3X=3（0<X<T）,則的最小值為.

【答案】8

【詳解】???實(shí)數(shù)x,y滿足盯+3x=3（0<x<,，

331

x—y+3，0<^_|_j<2,解得>>3.

311]Ii~3

則最+正^=丁+3+在3+/i+622\/Cy—3>7耳+6=8,當(dāng)且僅當(dāng)y=4,x=]時(shí)取等號(hào).

19.已知5/寸+y4=l（x,yeR）,貝!jf+的最小值是（）

A.-B.-C.也D.2

455

【答案】B

【分析】依題意可得/=又一上0,即可得到y(tǒng)2?o,l],從而得到/+>2=[4>2+5],利用基本不等式計(jì)算

可得；

【詳解】因?yàn)?》學(xué)+丈=1,所以

因?yàn)閒20,所以y2>（0』,

113

當(dāng)且僅當(dāng)4y2=了，即無(wú)2=歷時(shí)取等號(hào)，

所以#+廿的最小值是:

故選：B

題型五：基本不等式的綜合應(yīng)用

20.已知正實(shí)數(shù)”6滿足!+?=〃?，若的最小值為4,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

abI。八a）

A.{2}B.[2,-H?）C.（0,2]D.（0,+e）

【答案】B

【分析】由題意可得（°+；]卜+，]=46+4+2?2.L.—2=4,當(dāng)。6=二，即。6=1時(shí)等號(hào)成立，所以有b=L

V〃八a）abVababa

將▲+;=〃，化為。+工=機(jī)，再利用基本不等式可求得加的范圍.

aba

【詳解】解：因?yàn)?為正實(shí)數(shù),

["田++"+5+2?222=4,

當(dāng),即ab=l時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí)有人=—,

a

又因?yàn)椤??=也，

ab

所以。+—二加，

a

由基本不等式可知〃（Q=1時(shí)等號(hào)成立），

a

所以機(jī)22.

故選：B.

21.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且點(diǎn)。滿足麗=2麗&,若cos/ABC=^,則2c+a的

4

最大值為（）

A.用C.有D.3石

【答案】A

【分析】利用向量知識(shí)可得兩邊平方可得4+402+a=18,再利用不等式知識(shí)可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)棰?2兩，所以前-配=2（明-麗），所以麗'麗+g前，

所以麗2=（2麗+'后=-BA+-BC2+-\BA\\BC\cosZABC,

（33）999

/l\24141

所以0=-c2+-a2+-ca--,整理得標(biāo)+4。2+收=18,

\,9994

所以（2C+Q）2-18=3QC,

因?yàn)?c+〃2ly/lc-a,所以QC<（2C+Q）,

8

所以（2c+a）2-18]（2c+a）2,解得0<2c+q4苧.

所以2c+。的最大值為上四

5

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將向量條件前=2次化為=+利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算得到

a2+4c2+ac=18是解題關(guān)鍵.

22.設(shè)等差數(shù)列｛“,｝的公差為d,其前"項(xiàng)和是S",若ai=d=l,則券龍的最小值是.

【答案】I9

【詳解】斯=。1+（〃一l）d=",Sn=—2

5+82十*出M?+l)9

所以^+―+1

n3、n

當(dāng)且僅當(dāng)n=G，即幾=4時(shí)取等號(hào),

所以的最小值是*

WCln乙

【高考必刷】

一、單選題

2

1.（2021?山西太原?高一階段練習(xí)）己知f=a+?,s=a+b+l,貝!U和'的大小關(guān)系為（）

A.t>sB.t>sC.t<sD.t<s

【答案】D

【分析】利用作差法，令s-f,結(jié)果配方，判斷符號(hào)后得出結(jié)論.

【詳解】ST=。+/+1-3+26)=/-26+1=3-1)220,

故有

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查用比較法證明不等式的方法，作差--變形--判斷符號(hào)--得出結(jié)論涉及完全平方公式的應(yīng)

用.屬于基礎(chǔ)題.

2.（2022?湖北?葛洲壩中學(xué)高一階段練習(xí)）已知xeR,M=2/-l,N=4x-6,則MN的大小關(guān)系是（）

A.M>NB.M<NC.M=ND.不能確定

【答案】A

【分析】作差法比較大小，即得解

【詳解】由題意，M-A^=2%2-1-（4^-6）=2X2-4X+5=2（%-1）2+3>0

因此M>N

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了作差法比較大小，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題

3.（2022?江蘇宿遷?高一期中）若。>6且必>4,則下列不等式一定成立的是（）

bi>+l?1,1b,a—2a+ba

A.—>------B.a+—>b+—C.a——>b——D.----->一

a<2+1ababa+2bb

【答案】B

【分析】利用不等式的性質(zhì)，通過(guò)舉特例結(jié)合作差法比較大小即可判斷各個(gè)選項(xiàng)正誤.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)。=3,。=2時(shí)，-b=42,b+13顯然A錯(cuò)誤；

a3a+14

對(duì)于B,*.*a>b^ab>4,?*.a-b>0,1一-y>0,

ab

a+--b--=（a-b]+———=（a-by[1———|>0,

abv7abv\ab）

??ciH—>b-\—,即B正確；

ab

對(duì)于C：當(dāng)〃=—G，/?=—10時(shí)，Q—=,b—=-------,顯然C錯(cuò)誤；

2a2b20

對(duì)于D：當(dāng)。=3,6=2時(shí)，即挈=。，7=-,顯然D錯(cuò)誤；

a+2b7b2

故選：B.

4.（2022.江西?貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））若0<x<g,則>=尤，1一4丁的最大值為。

A.1B.—C.—D.—

248

【答案】C

【解析】化簡(jiǎn)函數(shù)，利用基本不等式求出最值，并驗(yàn)證取等條件.

【詳解】?.?（）-<”,y=xJ1-4d=后（1-4Y）=g弁（1一4T）W；.41三一五=:

當(dāng)且僅當(dāng)4/=1_41,即x=YZ時(shí)取等號(hào)

4

則y=x\Jl-4x2的最大值為—

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于中檔題.

b2

5.（2022?黑龍江?牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）己知為正實(shí)數(shù)且。+8=2,則一+7的最小值為（）

ab

3廠5

A.-B.y/2,+1C.-D.3

【答案】D

【分析】由題知2+]=-1,再結(jié)合基本不等式求解即可.

ab\abJ

【詳解】解：因?yàn)閐b為正實(shí)數(shù)且。+6=2,

所以b=2-a,

「…b22-a222iJli

所以，—+三=----+工=—+工―]=2-+T-1

ababab\ab）

因?yàn)?+：=2（工+<]=（〃+6）（工+（]=2+2+￡22+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=l時(shí)等號(hào)成立；

ab\abJ\abJab

所以2+3==+?=2+^一1之3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=l時(shí)等號(hào)成立；

ababab

故選：D

19

6.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)%,丁滿足%+丁=2,則1+不j的最小值是（）

A.—B.—C.8D.3

32

【答案】A

【分析】根據(jù)題中條件，得到?++展開(kāi)后根據(jù)基本不等式，即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足x+y=2,

則%

當(dāng)且僅當(dāng)v+彳1=O可r即》=3尸=5產(chǎn)等號(hào)成立.

故選：A.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因

式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最

值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.

_14

7.(2022?全國(guó)?高一單兀測(cè)試)已知正數(shù)了、>滿足*+>=1,貝1J—+■;--的最小值為()

x1+y

914

A.2B.-C.—D.5

23

【答案】B

14

【分析】由x+y=l得x+(l+y)=2,再將代數(shù)式x+(l+y)與一+^-相乘，利用基本不等式可求出

x1+y

14

—+----的最小值.

x1+y

【詳解】；x+y=l,所以，x+(l+y)=2,

rtc/14、「八“I4、4%1+V__I4%1+V__

則2(一+——)=[jf+(l+y)](-+--)=--+—^+5..2--------+5=9,

x1+yx1+y1+yx1+yx

149

所以,—+----

x1+y2

2

4xi+y

X=—3

當(dāng)且僅當(dāng)i有一丁即當(dāng)；時(shí)，等號(hào)成立,

x+y=ly二一

3

14Q

因此‘1的最小值為丁

故選8.

【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，對(duì)代數(shù)式進(jìn)行合理配湊，是解決本題的關(guān)鍵，屬于中等題.

8.(2022?浙江?高一期中)已知實(shí)數(shù)x,y>0,且，+y=l,則緘+工的最小值是()

A.6B.3+20C.2+3應(yīng)D.1+>/2

【答案】B

【分析】構(gòu)造2x+L=〔2x+nF+j=3+2孫+，，利用均值不等式即得解

yIy八%)孫

【詳解】2x+-=\2x+-I-+y|=3+2xy+—>3+2A/2,

yIy八x)xy

當(dāng)且僅當(dāng)2p=,，即尤=1+交，>=應(yīng)一1時(shí)等號(hào)成立

孫2

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中

檔題

9.(2021?安徽合肥?高一期末)已知無(wú)＞0,＞＞0,且」7+'=〈，則x+y的最小值為()

x+1y2

A.3B.5C.7D.9

【答案】C

【分析】運(yùn)用乘1法，可得由x+y=(x+1)+yT=[(x+1)+y]?(+；)-1，化簡(jiǎn)整理再由基本不等式即可

得到最小值.

【詳解】由x+y=(x+1)+y-1

=[(x+1)+y]*l-1

11

=[(x+1)+y]?2(r+-)-1

x+1y

y(x+1).

=2(2+^-H-1——^)-1

x+1y

當(dāng)且僅當(dāng)x=3,y=4取得最小值7.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意乘1法和滿足的條件：一正二定三等，考查運(yùn)算能力，屬于中

檔題.

10.(2022.黑龍江.哈爾濱市第一中學(xué)校高一階段練習(xí))下列說(shuō)法正確的是()

A.若乂ywR且無(wú)+＞＞4,則%,y至少有一個(gè)大于2

B.VXGR,\/?=X

C.若1＜々＜3,2＜。＜4,則-2v2a-Z?v4

D.若"x)+2/3]=3x,則〃x)=17

【答案】A

【分析】結(jié)合反證法、全稱量詞命題、不等式、函數(shù)解析式的求法等知識(shí)求得正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)，依題意，尤,ywR且x+y>4,若蒼,都不大于2,即*V2,yW2,

則x+yV4,與己知x+y>4矛盾，所以％y至少有一個(gè)大于2,A選項(xiàng)正確.

B選項(xiàng)，當(dāng)》=-1時(shí)，7?=^（-1）2=1^-1,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

C選項(xiàng)，由于1<。<3,2<8<4,所以2<2"6T<-b<2,

所以-2<2°-5<8,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D選項(xiàng)，依題意，/3+2，曰=3苫①，

以工替換x得/Q]+2/（X）=。②，

X\XJX

由①②解得/（%）=：-%,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A

11.（2022?甘肅省會(huì)寧縣第一中學(xué)高一期中）若函數(shù)/（》）=尤+」；（x>2）在x=a處取最小值，貝U”等于（）

x-2

A.3B.1+y/jC.1+V2D.4

【答案】A

【分析】將函數(shù)y=〃x）的解析式配湊為〃x）=（x-2）+」+2,再利用基本不等式求出該函數(shù)的最小值，利用

等號(hào)成立得出相應(yīng)的工值，可得出。的值.

【詳角星】當(dāng)%>2時(shí)，x-2>0,貝U/（x）=%+——=（1一2）+—-—+2>2J（x-2）?—-—+2

x2x2Vx2

=4,

當(dāng)且僅當(dāng)x-2=一二（尤>2）時(shí)，即當(dāng)x=3時(shí)，等號(hào)成立，因此，?=3,故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式等號(hào)成立的條件，利用基本不等式要對(duì)代數(shù)式進(jìn)行配湊，注意“一正、二定、三相等”

這三個(gè)條件的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

12.（2015?湖南?高考真題（文））若實(shí)數(shù)滿足工+￡=疝，則就的最小值為（）

ab

A.V2B.2C.2V2D.4

【答案】C

【詳解】?.--+-=y[ab,:.a>Q,b>0,=1-+^>2.1-x-=2.^-,:.ab>2y/2,（當(dāng)且僅當(dāng)6=2a時(shí)取等號(hào)），所

abab\ab\ab

以他的最小值為2a，故選C.

考點(diǎn)：基本不等式

【名師點(diǎn)睛】基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，因此可以用在一些不等

式的證明中，還可以用于求代數(shù)式的最值或取值范圍.如果條件等式中，同時(shí)含有兩個(gè)變量的和與積的形式，就可

以直接利用基本不等式對(duì)兩個(gè)正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過(guò)解不等式進(jìn)行求解.

13.（2022.山東.青島二中高一期中）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書(shū)中首先把“=”作為等號(hào)使

用，后來(lái)英國(guó)資學(xué)家哈利奧特首次使用“〉”和符號(hào)，并逐步被數(shù)學(xué)界接受志不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展景響深

遠(yuǎn).已知a,b為非零實(shí)數(shù)，且“>公則下列結(jié)論正確的是（）

A.—>—B.ab2>a2bC.a2>/?2D.—y>—7—

ababab

【答案】D

【分析】根據(jù)各項(xiàng)不等式，利用作差法、特殊值，結(jié)合不等式性質(zhì)判斷正誤即可.

【詳解】A：2_3=上土，若a>8>0有62一/<0、ab>0,故錯(cuò)誤;

ababab

B：ab2-a2b=ab（b-a）,若a>6>0有6-〃<0、ab>0,ab2<a2b,錯(cuò)誤；

C：若a=\>b=-2,則/<。2,錯(cuò)誤；

111,11.a-b,,11十-

D:/一百=亦廠？=所>°M，故而〉商，正確.

故選：D

一一a2+c2

14.（2022?福建?福州第十五中學(xué)IWJ三階段練習(xí)）已知a,b,ceR^a+b+c=Q,a>b>c,則-----的取值范圍是（）

ac

A.[2,+oo）B.（—CO,—2]C.1―2廠2D.^2,—

【答案】C

【分析】首先求得。，。及￡的取值范圍，再把上U轉(zhuǎn)化為關(guān)于￡的代數(shù)式色+￡,利用函數(shù)/'⑺=「+』的單調(diào)性

aacacat

去求旦+￡的取值范圍即可解決

ca

【詳解】由a+b+c=0,a>Z?>c,可得a>0,c<0,b=-a-c

clcj

則貝__,令/=一,貝！__

a2a2

a2+c2ac1

------=-+-=t+-,\-2<t<--\