2024-2025學(xué)年云南省昆明某中學(xué)高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年云南省昆明三中高三（上）第一次月考

皿「，、憶\__IX、/A

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.如圖，集合力、B均為U的子集，（C〃l）CB表示的區(qū)域?yàn)椋?

A.I

B.II

C.III

D.IV

2.已知等差數(shù)列｛a“｝的前三項(xiàng)依次為a-1,a+1,2a+3,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式即等于（）

A.2n+1B.2n-1C.2?i—3D.2n—5

0,3

3.若a=O,2,b=0.3%c=log050.3,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.c<a<bB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

logi(3-x),(%<0)

4.設(shè)函數(shù)f（x）=，貝葉（20）=（）

/(x-3)+1,(%>0)

A.3B.4C.5D.Iogil7

2

5.如圖：正方體力BCD的棱長為2,E為。必的中點(diǎn),過點(diǎn)。作正方體截面使其與平面4EG平

C.4<6D.4<3

6.團(tuán)ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,若邊上的高為2c,4=%貝UcosUCB=（）

4

A/Ton3AA10c3/5n/5

B.=C.—D-T

7.一袋里裝有帶編號的紅色，白色，黑色，藍(lán)色四種不同顏色的球各兩個(gè)，從中隨機(jī)選4個(gè)球，已知有兩

個(gè)是同一顏色的球，則另外兩個(gè)球不是同一顏色的概率為（）

An_n_____________

8.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛廝｝的前幾項(xiàng)和為Sn，且滿足anSn=Tj,設(shè)只=9j21og2（S'+l）,將數(shù)列｛配｝中的

整數(shù)項(xiàng)組成新的數(shù)列｛%｝,貝此2024=（）

A.2022B.2023C.4048D.4046

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.某學(xué)校為了了解本校學(xué)生的上學(xué)方式，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽查部分學(xué)生，了解到上學(xué)方式主要有：A-

結(jié)伴步行，自行乘車，C—家人接送，。一其他方式.并將收集的數(shù)據(jù)整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)

計(jì)圖.根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（）

學(xué)生上學(xué)方式扇形統(tǒng)計(jì)圖

學(xué)生上學(xué)方式條形統(tǒng)計(jì)圖

方50

Y

D占15%

C占25%

A.扇形統(tǒng)計(jì)圖中。的占比最小

B.條形統(tǒng)計(jì)圖中a和c一樣高

C.無法計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中力的占比

D.估計(jì)該校一半的學(xué)生選擇結(jié)伴步行或家人接送

10.關(guān)于“的方程/=一4的復(fù)數(shù)解為Zi，Z2,貝|J（）

A.-z2=-4

B.Zi與Z2互為共軌復(fù)數(shù)

C.若zi=2i,則滿足z/i=2+i的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

D.若|z|=l,則|z—z「Z2|的最小值是3

11.已知尸2分別是橢圓C：真+，=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓C上一點(diǎn)，貝）

A.當(dāng)a=Ylb時(shí)，滿足N&PF2=90。的點(diǎn)P有2個(gè)

B.EPaB的周長一定小于4a

2

C.EPF1F2的面積可以大于與n

D.若|PFJ<2b恒成立，貝UC的離心率的取值范圍是(0,|]

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在△力8C中，E為AC的中點(diǎn)，。是線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，若加=x^+y前，貝U

的最小值為.

13.已知變量％與y的一組樣本數(shù)據(jù)Qi，%),(x2,y2)>■■■>(久6，>6)滿足尤1萬2支3久4刀5分=e?.,

2y3y4y5y6=e18-3,對各樣本數(shù)據(jù)求對數(shù)，再利用線性回歸分析的方法得iny=1+binx,若變量z=

2y-0.5x,則當(dāng)z的預(yù)測值最大時(shí)，變量久的取值約為.(e2?7.4,結(jié)果保留1位小數(shù))

14.定義在(0,+8)上的函數(shù)/1(%)的導(dǎo)函數(shù)為廣(%),當(dāng)比>0時(shí)，xf'(x)<1,且/(e)=3,則不等式/(/)一

21nx<2的解集為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(久)=6cosxsin(x—^)+1.

(1)求/(乃的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；

(2)若函數(shù)y=/(%)-a在久6哈笥存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

16.(本小題12分)

已知拋物線C：y2=3%的焦點(diǎn)為尸，斜率為|的直線/與C的交點(diǎn)為A,B,與無軸的交點(diǎn)為P.

(1)若|4F|+\BF\=4,求Z的方程；

(2)若麗=3而，求|4B|.

17.(本小題12分)

已知函數(shù)/(%)=ax2—Inx+(2a—1)%,其中aGR.

(1)討論f。)的單調(diào)性;

(2)設(shè)a>0,若不等式f(%)》0對%€(0,+8)恒成立，求a的取值范圍.

18.(本小題12分)

現(xiàn)有外表相同，編號依次為1,2,3,九(n23)的袋子，里面均裝有幾個(gè)除顏色外其他無區(qū)別的小球，

第=1,23…，九)個(gè)袋中有k個(gè)紅球，九一々個(gè)白球.隨機(jī)選擇其中一個(gè)袋子，并從中依次不放回取出三個(gè)

球.

(1)當(dāng)九二4時(shí),

①假設(shè)已知選中的恰為2號袋子，求第三次取出的是白球的概率；

②求在第三次取出的是白球的條件下，恰好選的是3號袋子的概率;

1

P<

(2)記第三次取到白球的概率為p,證明:2-

19.(本小題12分)

離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo).設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為

1.

0P=1-石QQ1PQ2+NQ2PQ3+…乙Qk—PQk+NQkPQJ，其中Q2=L2,…,k,k>3)為多面體M的所有

與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q/Q2，平面Q2PQ3，…，平面吸-iPQk和平面QkPQi為多面體M的所有以P為公

共點(diǎn)的面.

(1)求三棱錐P-ABC在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率的和；

(2)如圖，已知在三棱錐P一力BC中，PA1平面力BC,AC1BC,AC=BC,三棱錐P-ABC在頂點(diǎn)C處的離

①求直線PC與直線AB所成角的余弦值；

②若點(diǎn)Q在棱PB上運(yùn)動(dòng)，求直線CQ與平面力BC所成的角的最大值.

參考答案

1.D

2.C

3.C

4.C

5.B

6.5

7.C

8.C

9.ABD

10.BD

11.ABD

12.9

13.29.6

+oo)

15.W：(1)/(%)=6cosxsin(x—^)+|=6cos久(苧sinx—|cosx)+|

=3V-3sinxcosx—3cos2x+1=^-^sin2x—3Xl+c：s2"+J=3(空sm2xcos2x)=3sin(2x—7)，

LLLL6

所以函數(shù)f(X)的最小正周期為T=y=7T,

令——+2kn<2%——<—+k€Z,則一2+kn<x<—+kn,kE.Z,

Loz2/OT,63

???函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［Y+k兀譚+同(keZ).

(2)令y=f(x)—a=0,即3sin(2x—*)—a=0,則sin

y=f(x)-a在xe層涔］存在零點(diǎn)，則方程sin(2x-弓)=掾在無€限上有解，

若xe居,1時(shí),則2%—旨［0,用,Wsin(2x-g6［0,1］,

0<I<1,得0WaW3

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,3].

16.解：(1)設(shè)直線y=-x+t,4(xi，為)，B(,x2ly2),

由題意，可得尸信0)，故|4F|+|B得=)+X2+|,

因?yàn)镸F|+\BF\=4,

=

所以X1+x2

，3

=x+t

聯(lián)立y2,整理得9/+12(t-1)X+4t2=0,

y2=3x

可知：Z1>0,

由韋達(dá)定理可知，/+不=一若工，

從而—譬2=1,解得t=_,

所以直線I的方程為3/='萬一卷.

Lo

(2)設(shè)直線〃y=-X+m,4(%i，yi),B(x2,y2^

由/P=3PB,可得力=-3y2f

聯(lián)立卜=2x+m,整理得于一2y+27n=0,

\y2=3x

可知：4>0,

由韋達(dá)定理可知，丫1+丫2=2，

又為=-3y2，解得yi-3,y2=-1,

1

--3

代入拋物線C方程得，%1=3,%2

即4(3,3),

故|4B|二J(3一,+(3+1)2=苧.

17廨：⑴

由題意可知：f(x)的定義域?yàn)?0,+8),且f'(x)=+2Q—1=(2g一；)(計(jì)1),

當(dāng)a<0時(shí),f'(x)<0恒成立,則f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減;

當(dāng)a>0時(shí)，令尸。)<0,解得0<x<；

令廣(久)>0,解得%>=-1；

則f(久)在(0,不上單調(diào)遞減，在點(diǎn)+8)上單調(diào)遞增；

綜上所述：當(dāng)aWO時(shí)，"X)的單調(diào)減區(qū)間為(0+8),無單調(diào)增區(qū)間；

當(dāng)a>0時(shí)，/(久)的單調(diào)減區(qū)間為(0,點(diǎn))，單調(diào)增區(qū)間為點(diǎn)+8).

(2)

當(dāng)a>0時(shí)，由(1)可知f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

故"》)的最小值為/忌)=ax(3―1喘+(2a—1)x/=ln(2a)-2+L

因?yàn)椴坏仁?(%)+1》0對xG(0,+8)恒成立，

所以ln(2a)—2+1+^20.

設(shè)g(x)=lnx-^+1+l,

11

則g(%)的定義域?yàn)?0+8),且“(%)=-+^2>0恒成立，

可知g(%)在(0+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)間(5)=0,

所以ln(2a)-T-+l+^>0,

4az

即g(2a)>g(一)，可得2a>—>即a2.

\c?eze

綜上所述a的取值范圍是七+8).

18.解：(1)①記“已知選中的恰為2號袋子，第三次取出的是白球”為事件4

故已知選中的恰為2號袋子，第三次取出的是白球的概率為卷

②記“選中的是第k個(gè)袋子”為事件為(k=123,4),

1

則取兩兩互斥，且P(BQ="

記“第三次取出的是白球”為事件C,

則P(2C)=P(8i)P(C|8i)=[X第

一44

=1x3x3x2_3_

44x3x216’

1CoAo

P(BzC)=P(S2)P(C|B2)=%x餐

4^4

12x3x21

=-X------=

44x3x28

1AI

P(殳……3)〒公

13x21

-X------=—，

44x3x216

1

P(BC)=P(84)P(C|B4)=；x0=0,

44

所以在第三次取出的是白球的條件下,

恰好選的是3號袋子的概率為

IP(BQP(BQ

「(DJIG=p(3c)=P(BiC)+P(B2G+3P(B3(J)+P(B4C)

一年一1

K+'o6,

故在第三次取出的是白球的條件下，恰好選中的是3號袋子的概率%

(2)證明：記”選中的是第k個(gè)袋子”為事件B/k=1,2,3,-,n),

則取兩兩互斥，且P(BQ=3.

記“第三次取出的是白球”為事件C,

則P(C|BQ=%*!=1，

所以p=2kp(CBQ=HUP(BQP(C|BQ

1l\^n—k

=nAP(?=nZ^r

fc=lfc=l

1(n-l)+(n-2)+--+0

——X--------------------------------------------------------

nn

111d

1-(n5-—l)n1n—111_1

——X-----=-X--——————〈―,得證.

nnn222n2

19.解：(1)由離散曲率的定義得：%=1一機(jī)(乙4PB+ABPC+NCP/1),

B=1一((zSXP+^CAP+ABAC),

=1-("BP+乙CBP+N4BC),

1

%=1—-(4ACB+乙BCP+NACP)，

1

四個(gè)式子相加得：①p+B+1PB+④c=4——X4兀=2.

如圖，分別取4C,BC,4P的中點(diǎn)，及F,^AE,DE,DF,EF,顯然有PC〃。凡

所以NFDE為異面直線4B與PC的夾角或其補(bǔ)角，設(shè)力C=BC=2,

因?yàn)橐?cB=90。，所以AB=20,AE=/5,

因?yàn)槭?1平面ABC,AB,AC,AE,BCc^?X5C,

所以PA1AB,PALAC,PALAE,PA1BC,

因?yàn)锳CIBC,PACtAC=A,PA,ACu平面PAC,所以BC1平面P力C,

又因?yàn)镻Cu平面PAC,所以BC1PC,

1_1