概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件：隨機變量的數(shù)字特征

2首頁返回退出首頁返回退出第一節(jié)隨機變量的數(shù)學期望一、離散型隨機變量數(shù)學期望二、連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望二、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望三、數(shù)學期望的性質(zhì)§4.1隨機變量的數(shù)學期望例1：

甲乙兩人各射擊100次，他們的射擊結(jié)果如下：X：甲擊中的環(huán)數(shù)，Y：乙擊中的環(huán)數(shù).試問哪一個人的射擊水平較高？甲乙的平均環(huán)數(shù)可寫為因此，從平均環(huán)數(shù)上看，甲的射擊水平要比乙的好。則計算出兩人的平均環(huán)數(shù)分別為：定義

4.1

設(shè)離散型隨機變量X的分布律為如果則稱為隨機變量X的數(shù)學期望，記作E(X).數(shù)學期望簡稱期望，又稱為均值.4.1.1離散型隨機變量數(shù)學期望前例

例2

設(shè)隨機變量X

的分布律為X-1012pk0.20.30.10.4求E(X).解：由離散型隨機變量的數(shù)學期望定義得例3

(泊松分布的數(shù)學期望)設(shè)X的分布律為求E(X).解：4.1.2連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望定義4.2

若連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為f(x),并且則稱期望，記作E(X)，即為X的數(shù)學例4

設(shè)隨機變量X的概率密度為求E(X).解：由連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的定義知例5

（均勻分布的數(shù)學期望）設(shè)X的概率密度為求E(X).解：例6

（指數(shù)分布的數(shù)學期望）設(shè)X的概率密度為求E(X).解:例7

（正態(tài)分布的數(shù)學期望）設(shè)求E(X).解:令則4.1.3隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望在實際應用中，常需求出隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望.例如，若隨機變量X的分布已知，要求Y=g(X)的數(shù)學期望E(Y).下面的定理告訴我們，可以直接利用隨機變量X的分布來求Y=g(X)的數(shù)學期望，而不必先算出Y的分布.一個自然的解法是：先基于X的概率分布求出Y的概率分布，然后利用數(shù)學期望的定義計算E(Y)，但是這樣計算過于繁瑣復雜.定理4.1

(離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望)設(shè)離散型隨機變量X的分布律為若級數(shù)則的數(shù)學期望為定理4.2

(連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望)設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x),若則Y=g(X)的數(shù)學期望為定理4.1和定理4.2的重要意義在于我們求E(Y)時，不必算出Y的分布律或概率密度函數(shù)，而只需利用X的分布律或概率密度就可以了.定理還可以進一步推廣到兩個或兩個以上隨機變量的函數(shù)情形.例如，

設(shè)Z是隨機變量X,Y的函數(shù)Z=g(X,Y)(

g是連續(xù)函數(shù)），那么，Z是一個一維隨機變量.若二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f(x,y),則有這里要求上式右邊的積分絕對收斂.又若(X,Y)為離散型隨機變量，其分布律為這里同樣要求上式右邊的級數(shù)絕對收斂.則有例8

隨機變量X

的分布律為X-1012pk0.20.30.10.4求的數(shù)學期望.解：例9

地鐵到達一站的時間為每個整點的第5分鐘、第25分鐘、第55分鐘，設(shè)一乘客在早8點~早9點之間隨時到達，求候車時間的數(shù)學期望.解：X表示乘客到達時間，已知X在[0,60]上服從均勻分布，其密度為設(shè)Y是乘客等候地鐵的時間（單位：分鐘），則因此，

YX1210.250.3220.080.35例10

設(shè)隨機變量(X,Y)

的分布律為求解：例11

設(shè)(X,Y)在區(qū)域A上服從均勻分布，其中A為x軸，y軸和線x+y+1=0所圍成的區(qū)域.求EX，E(-3X+2Y)，EXY.解：4.1.4數(shù)學期望的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C;(4)設(shè)X、Y獨立，則E(XY)=E(X)E(Y).(2)若C是常數(shù)，則E(CX)=CE(X);(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨立（諸

Xi獨立時）例12

求二項分布的數(shù)學期望.若X表示n重貝努里試驗中的“成功”次數(shù)，則設(shè)則X=X1+X2+…+Xni=1,2，…，nX~B(n,p)，解：因為

P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-pE(Xi)==p所以E(X)==np可見服從參數(shù)為n和p的二項分布的隨機變量X的數(shù)學期望是np.32首頁返回退出首頁返回退出第二節(jié)隨機變量的方差一、方差的概念二、方差的性質(zhì)

我們已經(jīng)介紹了隨機變量的數(shù)學期望，它體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平，是隨機變量的一個重要的數(shù)字特征.

但是在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的.4.2.1方差的概念定義4.3設(shè)X是一個隨機變量，若函數(shù)的數(shù)學期望存在，則稱為X的方差，記作D(X)或Var(X)，即同時稱為標準差或均方差，記為計算方差的一個簡化公式展開證：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2期望性質(zhì)例1(0-1分布的方差)設(shè)X的分布律為X01pk1-pp求D(X).解:故例2

設(shè)求E(X)和D(X).解:(1)設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0;

(2)若C是常數(shù),則D(CX)=C2

D(X);

(3)若A,B是常數(shù),則D(X+B)=D(X)；D(AX+B)=A2D(X).4.2.2方差的性質(zhì)

(4)若X與Y

獨立，則D(X+Y)=D(X)+D(Y).X與Y不一定獨立時，D(X1+X2

)=？推廣：若X1,X2,…,Xn相互獨立,則例3

設(shè)Y服從二項分布，即Y~B(n,p),求D(Y).解:由于都服從參數(shù)為p的0-1分布.相互獨立且每個因此由方差的性質(zhì)可知又故下面介紹一個重要的不等式.定理4.3

設(shè)隨機變量X具有數(shù)學期望方差則對于任意正數(shù)ε，不等式成立.這一不等式稱為切比雪夫(Chebyshev)不等式.43首頁返回退出首頁返回退出第三節(jié)協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)及矩一、協(xié)方差二、協(xié)方差的性質(zhì)三、相關(guān)系數(shù)四、相關(guān)系數(shù)性質(zhì)五、矩及協(xié)方差矩陣的概念§4.3協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)及矩4.3.1協(xié)方差定義4.4

二維隨機變量，如果

存在，則稱它為與的協(xié)方差，記作，即

協(xié)方差的計算通常采用下面的公式：證明：4.3.1協(xié)方差性質(zhì)1

性質(zhì)2

性質(zhì)3

若隨機變量

X

與Y相互獨立，則性質(zhì)4

從而對于任意兩個隨機變量與，則有:性質(zhì)5

4.3.2協(xié)方差的性質(zhì)首先由(X,Y)的分布律，求出X和Y的邊緣分布律

及XY的分布律.解：例1

設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量，其分布律為：X

Y

-10100.10.20.110.20.30.1求隨機變量

X

與Y的協(xié)方差計算得：從而：例2

設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：求隨機變量

X

與Y的協(xié)方差解：，所以

例3

設(shè)隨機變量

X和

Y,已知求 .解：4.3.3相關(guān)系數(shù)為了消除這種影響，需將協(xié)方差進行標準化，為此引入相關(guān)系數(shù)的概念.

4.3.3相關(guān)系數(shù)定義4.5設(shè)(X,Y)為二維隨機變量，若

存在，

且,

,則

稱

為隨機變量X與

Y的相關(guān)系數(shù).

且D(X)>0，則稱4.3.3相關(guān)系數(shù)

定義4.5設(shè)(X,Y)為二維隨機變量，若存在，且,

則稱為隨機變量X與

Y的相關(guān)系數(shù).相關(guān)系數(shù)又稱標準化協(xié)方差，這是因為隨機變量X與

Y經(jīng)變得到標準化隨機變量

解：由方差的性質(zhì)得由協(xié)方差的性質(zhì)知從而,4.3.4相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)定理4.4隨機變量

X與

Y的相關(guān)系數(shù)

具有如下性質(zhì):(1)(2)的充要條件是存在常數(shù),使即或的充要條件是隨機變量X與

Y以概率1存在線性關(guān)系.證明：隨機變量X與

Y

,經(jīng)變換得到標準化隨機變量,于是，有:及由方差的非負性知

即（1）4.3.4相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)證明：（2）充分性若 ,則

則于是4.3.4相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)必要性若 ,則 ,及

由方差的性質(zhì)，有

即

證明：（2）令 ,有4.3.4相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)

是刻畫隨機變量X與

Y之間的線性關(guān)系程度的數(shù)字特征，

越大，隨機變量X與

Y之間的線性關(guān)系越明顯.且當

時，Y

就呈現(xiàn)出隨著X的增加而增加的趨勢；當

時，Y就呈現(xiàn)出隨著X的增加而減少的趨勢.當

時,稱X與

Y

不相關(guān).4.3.4相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)定理4.5如果隨機變量X與

Y相互獨立，則X與

Y不相關(guān).證明：當隨機變量X與

Y相互獨立時，有從而注意該定理的逆定理不成立.兩個隨機變量相互獨立與不相關(guān)是兩個不同的概念，不相關(guān)只說明兩個隨機變量之間沒有線性關(guān)系，但這時的X與

Y可能有某種其它的函數(shù)關(guān)系；而相互獨立說明兩個隨機變量之間沒有任何關(guān)系，既沒有線性關(guān)系，也沒有其他函數(shù)關(guān)系.例5

設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布，它的概率密度為求X和Y的相關(guān)系數(shù).因為(X,Y)的邊緣密度分別為解：故知而令

則有

即有

于是通過該例題，我們看到二維正態(tài)隨機變量(X,Y)的概率密度函數(shù)中的參數(shù)就是X與

Y的相關(guān)系數(shù)

，因此二維正態(tài)隨機變量的分布完全可由

X,Y

各自的數(shù)學期望、方差以及它們的相關(guān)系數(shù)所確定.4.3.5矩及協(xié)方差矩陣的概念定義4.6設(shè)X與

Y是隨機變量,若

存在,則稱它為X的k階原點矩，簡稱k階矩.若

存在,則稱它為X的k階中心矩.若

存在,則稱它為X與

Y的k+l階混合矩.若

存在,則稱它為X與

Y的k+l階混合中心矩.X的數(shù)學期望

是X的一階原點矩，隨機變量的原點矩、中心矩、混合中心矩概念是對

期望、方差與協(xié)方差的推廣，它們是隨機變量的重要特征.從本質(zhì)上講，矩是一個特殊的隨機變量函數(shù)的期望.

方差

是X與Y的二階中心矩，協(xié)方差

是X和Y的二階混合中心矩.

4.3.5矩及協(xié)方差矩陣的概念例6

設(shè)隨機變量X的概率密度為求隨機變量X的1至4階原點矩和3階中心矩.由定義知，X的1至4階原點矩為解：例7

設(shè)隨機變量X的概率密度為求隨機變量X的1至4階原點矩和3