數(shù)學課后導練：最大值與最小值問題優(yōu)化的數(shù)學模型

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課后導練基礎達標1。一批貨物隨17列貨車從A市以vkm/h勻速直達B市，已知兩地間鐵路線長為400km,為了安全，兩列貨車的間距不得小于（)2km，那么這批貨物全部運到B市最快需要()A。6h B。8h C.10h D。12h解析:答案:B2。設a、b∈R+,若a+b=2,則+的最小值等于…（）A。1 B.3 C.2 D.4解析:因為(a+b）(+）≥2ab·2,即（a+b)（+）≥4，其中a+b=2，所以+≥2.當=,且a=b,即a=b=1時，+取得最小值2。答案:C3。下列函數(shù)中,y的最小值為4的是(）A。y=x+B。y=C.y=ex+4e—xD.y=sinx+(0＜x＜π)解析:y=ex+≥2=4,“=”成立當且僅當ex=，即x=ln2.B，D兩選項“=”不能成立，A項無最小值。答案:C4。在區(qū)間［,2］上,函數(shù)f(x）=x2+bx+c（b∈R，c∈R)與g(x）=在同一點取得相同的最小值，那么f（x)在區(qū)間［，2］上的最大值是（)A. B。4 C。8 D。解析：g（x）==x++1≥2+1=5.又x∈[,2]，故當且僅當x=,即x=2∈［，2]時等號成立。所以g（x)在x=2處取得最小值5。依題意,f（x)也在x=2處取得最小值5，從而f（x）=x2+bx+c的對稱軸為x=2,故—=2,b=-4,=5，c=9，f(x)=x2—4x+9=(x-2）2+5.又x∈［，2］，所以f(x）的最大值為f（)=。故選A.答案：A5。已知a＞b＞c，則與的大小關系是_________.解析：∵a-b＞0，b-c＞0，又∵,∴。答案：6。求f(x)=x2+(x2＞3）的最小值.解析：f(x）=x2+=x2+=2x2+3+=2(x2-3)++9≥6+9，當且僅當2(x2—3）=,即x2=3+時,f（x)取最小值9+6.7.設計一幅宣傳畫,要求畫面面積為4840cm2,畫面的寬與高的比為λ(λ〈1），畫面的上，下各留8cm空白,左,右各留5cm空白.怎樣確定畫面的高與寬的尺寸,能使宣傳畫所用紙張面積最??？解:設畫面高為xcm,寬為λxcm，則λx2=4840.設紙張面積為S，有S=(x+16）（λx+10）=λx2+（16λ+10)x+160,將代入上式，得S=5000+44(8+）.當8=,即λ=（<1）時，S取得最小值。此時，高：x==88cm，寬：λx=×88=55cm.8。某食品廠按計劃每年需用雞蛋800噸，雞蛋的供應不能缺貨，但不必每日購買,每次訂貨費需120元,每噸雞蛋價格3500元，每噸雞蛋每月貯存費90元，試制定貯存策略，即應多長時間進一次貨，每次進貨多少?解:設T天時間進貨Q噸,每天用量R噸，單價為K元，訂貨費為D元，每噸日貯存費為C元.則Q=TR，總費用F(T）=360×(D+KQ+CQT)=360×(D+KTR+×CRT2）=360（D×+KR+CRT）≥360(KR+2）,當且僅當D×=CR時取等號，∴T=，Q=。對于給定的問題,將R=,C=3代入得T=6,Q=，即每6天進一次貨,每次進貨噸.9。某工廠今年1月，2月,3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別為1萬件,1。2萬件，1.3萬件，為了估測以后每個月的產(chǎn)品,以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x的關系,模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù)y=abx+c(其中a,b,c為常數(shù)).已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件,請問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好，并說明理由。解：設y1=f(x）=px2+qx+r（p≠0)，y2=g（x)=a·bx+c。據(jù)已知，得及解得p=-0。05,q=0.35,r=0。7;a=-0。8,b=0。5,c=1.4.∴f(x)=-0。05x2+0。35x+0。7,g（x）=—0。8×0.5x+1.4。∴f(4)=1。3,g(4）=1。35。顯然g（4）更接近于1。37,故選y=—0。8×0。5x+1.4。綜合運用10。某地方政府為保護地方電子工業(yè)發(fā)展,決定對某一進口電子產(chǎn)品征收附加稅.已知這種電子產(chǎn)品國內(nèi)市場零售價為每件250元,每年可銷售40萬件,若政府征收附加稅率為每百元稅金t元時,則每年銷售將減少t萬件。(1）將稅金收入表示為征收附加稅率的函數(shù)；（2)若在該項經(jīng)營中每年征收附加稅金不低于600萬元,那么附加稅率應控制在什么范圍內(nèi)？解:(1)設每年國內(nèi)銷量為x萬件，則銷售收入為每年250x萬元，征收附加稅金為y=250x·t%，這里x=40-t,∴所求函數(shù)關系為y=250(40-t)·t％。（2)依題意,250（40—t）·t%≥600,即t2—25t+150≤0,∴10≤t≤15,即稅率應控制在10％～15%之間。11。利民商店經(jīng)銷各種洗衣粉，年銷售總量為6000包,每包進價2。8元，銷售價3。4元,全年分若干次進貨，每次進貨均為x包，已知每次進貨運輸勞務費為62.5元,全年保管費為1.5x元.（1)把該商店經(jīng)銷洗衣粉一年的利潤y（元）表示為每次進貨量x（包)的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域;（2)為了使利潤最大，每次應該進貨多少包？解：（1)若每次進洗衣粉x包,則全年共需進洗衣粉次，而全年所需運輸勞務費是×62。5=元，而全年的保管費是1.5x元，所以全年的總利潤為y=(3.4-2。8）×6000-—1.5x=3600-（+),函數(shù)的定義域是{x｜0<x≤6000且x∈N}。（2）y=3600—（+)≤3600-2=2100(元).當且僅當=,即當x=500時,上式中等號成立,此時y的最大值為2100元。答：為了獲得最大利潤2100元，每次應進洗衣粉500包.12。某食品廠定期購買面粉,已知該廠每天需用面粉6噸,每噸面粉的價格為1800元,面粉的保管等其他費用為平均每噸每天3元，購面粉每次需支付運費900元。(1）求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少?(2)若提供面粉的公司規(guī)定：當一次購買面粉不少于210噸時,其價格可享受9折優(yōu)惠（即原價的90％）,問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件？請說明理由.解：（1）設該廠應每隔x天購買一次面粉,其購買量為6x噸，由題意知，面粉的保管等其他費用為3［6x+6(x—1）+…+6×2+6×1］=9x(x+1)，設平均每天所支付的總費用為y1元,則y1=［9x（x+1）+900]+6×1800=+9x+10809≥2+10809=10989。當且僅當9x=,x=10時取等號，即該廠應每隔10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少。（2)若廠家利用此優(yōu)惠條件，則至少每隔35天購買一次面粉。設該廠利用此優(yōu)惠條件后，每隔x(x≥35）天購買一次面粉，平均每天支付的總費用為y元,則平均每天支傳的總費用為y元，則y2=[9x（x+1）+900］+6×1800×0。90=+9x+9729（x≥35）.令f(x)=x+（x≥35)，x2〉x1≥35，則f（x1）-f（x2)=（x1+)—(x2+)=.∵x2〉x1≥35,∴x2-x1>0，x1x2〉0，100-x1x2<0?！鄁(x1）—f（x2）〈0，f（x1）〈f(x2）,即f（x）=x+，當x≥35時為增函數(shù)。∴當x=35時，f（x）有最小值，此時y2<10989，∴該廠應接受此優(yōu)惠條件。拓展探究13.某種名牌鋼筆，每枝進貨價為50元，當銷售價格定為每枝x元，且50≤x≤80元，每天售出枝數(shù)，若想每天售出枝數(shù)獲利最大,售價應定為每