數(shù)學(xué)課后導(dǎo)練：第一講第三節(jié)相似三角形的性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精課后導(dǎo)練基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1。如圖1—4—6,D、E分別是△ABC邊AB、AC上的點(diǎn),且DE∥BC，BD=2AD，那么△ADE的周長(zhǎng)∶△ABC的周長(zhǎng)等于（）圖1-4-6A。1∶2B.1∶3C.2∶3D.1∶9解析：∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∵BD=2AD，∴AB=3AD。∴=?！?=。答案:B2.如圖1-4-7，已知D、E分別是△ABC的AB、AC邊上一點(diǎn)，DE∥BC且S△ADE：S△四邊形DBCE=1∶3,那么AD∶AB等于()圖1-4—7A。B.C。D。解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC∴（）2=.又∵S△ADE∶S四邊形DBCE=1∶3，∴S△ADE∶S△ABC=1:4.∴(）2=，即=.答案：C3.如圖1-4—8，Rt△ABC中，∠C=90°,CD是斜邊AB上的高,∠B=30°,則△ACD與圖1A。1∶2B。1∶C.1∶D。無(wú)法確定解析：∵△ADC∽△ACB，△BCD∽△BAC,∴△ACD∽△CBD?！唷鰽CD的內(nèi)切圓直徑∶△CBD的內(nèi)切圓直徑=AC∶CB。又∵∠B=30°,∴AC=AB.∵BC=，答案:C4.如圖1-4—9,梯形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O,有以下四個(gè)結(jié)論：①△AOB∽△COD;②△AOD∽△AOB；③S△DOC∶S△AOD=DC∶AB;④S△AOD=S△BOC.其中始終正確的有()圖1-4-9A.1個(gè)B。2個(gè)C。3個(gè)D。4個(gè)解析：∵DC∥AB,∴△AOB∽△COD.∴①正確，②無(wú)依據(jù).③∵S△DOC∶S△AOD=OC∶OA，又△AOB∽△COD,∴OC∶OA=DC∶AB?！郤△DOC∶S△AOD=DC∶AB，正確。④∵△ABD與△ABC等底等高，∴S△ABD=S△ABC.∴S△ABD-S△ABO=S△ABC—S△ABO，即S△AOD=S△BOC。綜上，①③④正確。答案：C5.如圖1—4—10，BDEF是平行四邊形,如果CD∶DB=2∶3,那么是S△ABC的（)圖1—4—10A.B.C.D。解析：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA.∴=（）2.又∵CD∶DB=2∶3,∴CD∶CB=2∶5.∴=（)2=()2=.∴S△CDE=S△CAB。∵DE∥AB,∴==.∴=。同理，可得S△AFE=S△CAB。∴=S△ABC—S△AFE-S△EDC=S△ABC—S△ABC—S△ABC=S△ABC。答案：D綜合運(yùn)用6.如圖1-4—11,ABCD中，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE交BC于F，已知BE∶AB=2∶3,S△BEF=4，求S△CDF.圖1—4-11解析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC,∠C=∠FBE,∠E=∠CDF.∴△DCF∽△EBF。又BE∶AB=2∶3，∴BE∶DC=2∶3。∴=（）2=.∴S△CDF=·S△BEF=×4=9。7。如圖1-4-12，已知△ABC的面積為60cm2,D為BC上一點(diǎn)，且BD∶DC=1∶3,E、F是AC和AB上的點(diǎn),四邊形EFDC的面積等于△BCE的面積，求△ABE的面積。圖1-4—12解析：連結(jié)DE，∵S四邊形EFDC=S△BCE,∴S四邊形EFDC-S△DCE=S△BCE—S△DCE?！郤△DEF=S△BDE。由△DEF與△BDE同底得它們同高，從而DE∥AB.∴==。又==（它們同高）,∴=?！郤△ABE=S△ABC=15cm2。8。如圖1—4—13,△PQR∽△P′Q′R′且均為等邊三角形,它們的重疊部分是一個(gè)六邊形.設(shè)這個(gè)六邊形的邊長(zhǎng)為AB=a1，BC=b1，CD=a2,DE=b2，EF=a3,FA=b3。圖1—4—13求證:a12+a22+a32=b12+b22+b32.證明：易證△APB∽△CQ′B∽△CQD∽△ER′D∽△ERF∽△AP′F，它們的面積比為對(duì)應(yīng)邊的平方比,設(shè)比例系數(shù)為k,則S△APB=AB2·k=a12·k,S△CQ′B=CB2·k=b12·k,S△CQD=CD2·k=a22·k,S△ER′D=ED2·k=b22·k，S△ERF=EF2·k=a32·k，S△AP′F=FA2·k=b32·k。由于兩個(gè)正三角形未重疊部分應(yīng)有相等面積，∴(a12+a22+a32）k=(b12+b22+b32)k.∴a12+a22+a32=b12+b22+b32.溫馨提示此題巧妙地應(yīng)用了比例系數(shù)k,使得計(jì)算量顯著降低，應(yīng)用比例系數(shù)k解決比例問(wèn)題是我們常用的技巧。拓展探究9。已知E、F、G、H分別是正方形的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則(1)求四邊形EFGH與正方形ABCD的面積比.（2)若將正方形改為任意四邊形，結(jié)論還成立嗎？若不成立，說(shuō)明理由；若成立,給出證明。解析：（1）如圖1—4-14,易證△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.圖1-4—14設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2a，則S正方形ABCD=4a2，S△AEH=a2.∴S四邊形EFGH=4×a2=2a2?！郤四邊形EFGH∶S正方形ABCD=1∶2.（2)結(jié)論仍然成立,證明如下：如圖1—4—15,連結(jié)AC.圖1—4—15∵HG是△ADC中位線,∴HG∥AC.∴△HGD∽△ACD.∴=()2=.∴S△HGD=S△ACD。同理，S△BEF=S△ABC?！郤△HGD+S△BEF=(S△ACD+S△ABC）=S四邊形ABCD。同理，S△AEH+S△FCG=S四邊形ABCD.∴S△AEH+S△BEF+S△CGF+S△HDG=S四邊形ABCD.∴S四邊形EFGH=S四邊形ABCD。10。如圖1-4—16,△ABC的面積為16,AB=4，D為AB上任一點(diǎn),F為BD的中點(diǎn)，DE∥BC，F(xiàn)G∥BC，分別交AC于E、G,設(shè)D在AB上移動(dòng)，請(qǐng)?zhí)骄慨?dāng)D在何處時(shí),四邊形DFGE的面積最大?圖1—4-16解析：設(shè)AD=x,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴=(）2?！郤△ADE=16×（)2=x2。又∵FG∥BC,∴△AFG∽△ABC?！?（）2.∵F為BD的中點(diǎn),∴DF=BF=,AF=?！?∴S△AFG=.∴S四邊形DFGE=S△AFG-S△ADE=—x2=x2+2x+4=（x2-x—）=(x2—x+-)=（x—）2+.∴當(dāng)AD=時(shí),四邊形DFGE的面積最大，為.備選習(xí)題11.如圖1—4—17,在△ABC中，DE∥BC,EF∥AB,已知△ADE和△EFC的面積分別為4cm2和9cm2，求△ABC的面積.圖1-4—17解析：∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC。又∵EF∥AB,∴△EFC∽△ABC.則有=，=?！?==1.設(shè)S△ABC=x,∴=,=.∴=1.∴=5?！郤△ABC=25cm2。12.如圖1—4—18，梯形