數(shù)學(xué)課后導(dǎo)練：第二講第四節(jié)弦切角的性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課后導(dǎo)練基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1。如圖2—4-7,PC與⊙O相切于C點，割線PAB過圓心O,∠P=40°,則∠ACP等于(）圖2-4-7A.20°B.25°C.30°D。40°解析：連結(jié)OC，∵PC切⊙O于C,∴OC⊥PC.∴∠OCP=90°?！唷螾+∠COP=90°.∴∠COP=90°-∠P=50°。又∵∠PCA是弦切角,∴∠PCA=∠AOC=25°。答案：B2.如圖2-4-8，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，AB是直徑,MN是⊙O切線，C為切點，若∠BCM=38°,則∠B等于（)圖2-4—8A.32°B。42°C.52°D。48°解析:連結(jié)AC,∵M(jìn)N切圓于C，BC是弦，∴∠BAC=∠BCM.∵AB是直徑，∴∠ACB=90°?！唷螧+∠BAC＝90°?！唷螧+∠BCM=90°.∴∠B=90°-∠BCM=52°。答案：C3.如圖2—4-9,CA為⊙O的切線,切點為A，點B在⊙O上，如果∠CAB=55°，那么∠AOB等于(）圖2—4-9A。55°B。90°C。110°D。120°解析：延長AO交⊙O于D,連結(jié)BD,∵AC切⊙O于A，AB是弦，∴∠D=∠CAB。又∵∠D=∠AOB,∴∠AOB=2∠CAB=110°。答案:C4。如圖2-4—10,∠ABC=90°,O是AB上一點，⊙O切AC于D,交AB于E，連結(jié)DB、DE、OC，則圖中與∠CBD相等的角共有()圖2—4-10A。1個B.2個C.3個D。4個解析:∵AB⊥BC,∴BC與⊙O相切,BD為弦.∴∠CBD=∠BED.同理,∠CDB=∠BED.∴∠CBD=∠CDB.又OC⊥BD,DE⊥BD,∴DE∥OC.∴∠BED=∠BOC.∴∠CBD=∠BOC.∴共3個。答案：C5.如圖2—4—11，AB、AC與⊙O相切于B、C，∠A=50°，點P是圓上異于B、C的一動點，則∠BPC的度數(shù)是（)圖2—4—11A。65°B。115°C.65°或115°D。130°或50°解析：點P可能位置有兩種情況，點P在優(yōu)弧上或在劣弧上。圖2-4—12(1)如圖2—4-12，在優(yōu)弧上,∵AB、AC是切線,∴∠ABC=∠P1,∠ACB=∠P1，∠ABC=（180°—∠A）=65°.(2）如圖2—4—13,在劣弧上,可在優(yōu)弧上任取一點Q,圖2-4—13由(1）知∠Q=65°，∵四邊形BP2CQ內(nèi)接于圓O,∴∠BP2C∴∠BP2C綜上，∠BPC=65°或115°。答案:C溫馨提示本題運(yùn)用了運(yùn)動變化思想、分類思想和化歸思想.綜合運(yùn)用6.如圖2—4—14,AD是圓內(nèi)接△ABC的∠A的平分線,交圓于D,E為BC中點，BF為圓的切線,DF⊥BF.求證：DE=DF。圖2-4-14證明：連結(jié)BD,∵BF是切線,BD是弦,∴∠DBF=∠BAD?！?,∴∠DBC=∠DAC.又∵AD是∠BAC的平分線,∴∠BAD=∠DAC?！唷螪BF=∠DBE，即BD是∠EBF的平分線?！摺螧AD=∠DAC,∴=,即D是中點?！逧是BC中點,∴DE⊥BC.∴DE=DF。7。如圖2-4—15,梯形ABCD中,AB∥DC,AD=BC，以AD為直徑的⊙O交AB于點E,⊙O的切線EF交BC于F，求證：EF⊥BC。圖2—4-15證明：∵AD是直徑,∴∠AED=90°.∴∠DEF+∠BEF=90°?！逧F切⊙O于點E,DE是弦，∴∠DEF=∠A.∴∠A+∠BEF=90°.∵AD=BC，AB∥DC，∴∠B=∠A?！唷螧+∠BEF=90°.∴∠BFE=90°.∴EF⊥BC.8。兩圓內(nèi)切于點P,大圓的弦AD交小圓于點B、C。求證：∠APB=∠CPD。圖2-4—16證明：過P作兩圓的公切線MN?！逷B是小圓弦,MN是切線，∴∠BPM=∠BCP.∵PA是大圓弦,MN是切線，∴∠APM=∠D.∴∠BPM—∠APM=∠BCP—∠D。又∠BCP=∠D+∠CPD，∴∠BCP-∠D=∠CPD。∴∠APB=∠CPD.9.如圖2-4—17，AB是⊙O的弦,CD是經(jīng)過⊙O上一點M的切線.圖2—4—17求證:(1）AB∥CD時,AM=MB。(2）AM=MB時，AB∥CD。證明:(1)∵AB∥CD，∴∠A=∠AMC.∵CD切⊙O于M,AM是弦,∴∠AMC=∠B.∴∠A=∠B。∴AM=BM。(2）∵AM=MB,∴∠A=∠B。又∵CD切⊙O于M,AM是弦，∴∠AMC=∠B.∴∠AMC=∠A.∴AB∥CD.拓展探究10。如圖2—4—18,AB是半圓O的直徑,點M是半徑OA的中點,點P在線段AM上運(yùn)動（不與點M重合),點Q在半圓O上運(yùn)動且總保持PQ=PO,過Q作⊙O的切線交BA的延長線于點C.圖2—4-18(1)當(dāng)∠QPA=60°時,請你對△QCP的形狀作出猜想，并證明；(2)當(dāng)QP⊥AO時,△QCP的形狀是___________三角形。(3）由(1）、(2)得出的結(jié)論,請你進(jìn)一步猜想,當(dāng)點P在線段AM上運(yùn)動到任何位置時△QCP一定是___________三角形。解析:（1）△QCP是等邊三角形，證明:連結(jié)OQ,則CQ⊥OQ.∵PQ=PO，∠QPC=60°，∴∠POQ=∠PQO=30°。∴∠C=∠CQO—∠POQ=60°?！唷螩QP=∠C=∠QPC=60°?！唷鱍PC是等邊三角形.(2）等腰直角（解析:略）（3）等腰（解析:略）備選習(xí)題11.如圖2-4—19，BC為⊙O直徑，DE切⊙O于A點，BD⊥DE于D，若∠ABD=50°,則的度數(shù)為_________________.圖2-4-19解析：∵BD⊥DE,∴∠BDA=90°?！唷螦BD+∠BAD=90°?！唷螧AD=90°-50°=40°。∵AB是弦，AD是切線,∴∠C=∠BAD=40°?！郆C是直徑.∴∠BAC=90°?！唷螩+∠ABC=90°.∴∠ABC=90°—∠C=50°?！嗟亩葦?shù)為100°.答案:100°12。如圖2-4-20,AB為⊙O的直徑,DA、DE為⊙O兩切線,A、C為切點，A、B、E共線，若的度數(shù)為60°,則∠CAD的度數(shù)為____________，∠E的度數(shù)為_____________.圖2-4-20解析：∵度數(shù)為60°，∴∠BAC=30°,∠BCE=30°?！逜D為切線,∴BA⊥AD?！唷螧AC+∠CAD=90°.∴∠CAD=90°—∠BAC=60°.∵AB為直徑,∴∠ACB=90°?！唷螦BC=90°-∠BAC=30°.∴∠E=∠ABC—∠BCE=30°。答案:60°30°13。兩圓內(nèi)切于點P，大圓的弦AB切小圓于C，求證：∠APC＝∠CPB.圖2—4—21證明:過P作兩圓公切線MN,設(shè)PB交小圓于D，連結(jié)CD.∵PC是小圓弦,MN切小圓于P,∴∠MPC=∠PDC.∵PA是大圓弦,MN切大圓于P,∴∠MPA=∠B?！唷螹PC-∠MPA=∠PDC—∠B?！摺螾DC=∠B+∠BCD，∴∠PDC-∠B=∠BCD.∴∠APC=∠BCD.又AB切小圓于C，CD是小圓弦,∴∠BCD=∠CPB?！唷螦PC=∠CPB.14。如圖2-4—22，△ABC中，過A與BC相切于D的圓分別交AB、AC于E、F,且EF∥BC。求證:AD平分∠A。圖2—4-22證明:連結(jié)DF，∵BC切圓于D，DF是弦，∴∠3=∠2.∵EF∥BC,∴∠3=∠4。又∠1=∠4,∴∠1=∠2，即AD平分∠BAC。15。如圖2-4—12(1)，OA和OB是⊙O的半徑，且OA⊥OB,P是OA上任一點，BP的延長線交⊙O于Q,過Q的⊙O的切線交OA的延長線于R，易證RP=RQ(不要求證明）.(1)現(xiàn)將PA向上平移至圖2—4—23（2)位置,結(jié)論還成立嗎?若成立,請證明。(2)若將PA向上平移至⊙O外,結(jié)論還成立嗎？如圖2-4—23(3）,若成立，請證明.(1）(2)(3）圖2-4-23解析：(1)成立.證明：連結(jié)OQ,則QR⊥OQ?！唷螾QR+∠BQO=