重慶市某中學(xué)2025屆高考適應(yīng)性練習(xí)（一）數(shù)學(xué)試題（含解析）

重慶市兩江育才中學(xué)2025屆高考適應(yīng)性練習(xí)（一）數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.某校8位學(xué)生的本次月考成績(jī)恰好都比上一次的月考成績(jī)高出50分，則以該8位學(xué)生這兩次的月考成績(jī)各自組成

樣本，則這兩個(gè)樣本不變的數(shù)字特征是（）

A.方差B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.平均數(shù)

2.設(shè)aeR,b>0,則“3。>23”是“心感”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.等差數(shù)列{?！皚中，4+%=10，%=7,則數(shù)列{4}前6項(xiàng)和S6為（）

A.18B.24C.36D.72

4.設(shè)全集U=R,集合A={x|d—3x—4>0},則gA=（）

A.{x|-l<x<4}B.{x|-4<x<l}C.{x|-l<x<4}D.{x|-4<x<l}

5.已知集合/={（乂?。﹟%+,<4,尤、yeN*},則集合M的非空子集個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.7D.8

6.已知三棱柱

ABC-AgG的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,AB±AC,明=12,則球。的半徑為（）

A.B.2^/10C.yD.3M

QI。

7.已知a=ln正，b=e-，c=-^-,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

8

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

8.將3個(gè)黑球3個(gè)白球和1個(gè)紅球排成一排，各小球除了顏色以外其他屬性均相同，則相同顏色的小球不相鄰的排法

共有（）

A.14種B.15種C.16種D.18種

9.圓錐底面半徑為高為2,SA是一條母線(xiàn)，P點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，則P點(diǎn)到SA所在直線(xiàn)的距離的最大值是

275述

A.亍B.亍C.3D.4

x+2y-2>0

10.已知實(shí)數(shù)X,y滿(mǎn)足約束條件x—2y+220,則％2+y2的取值范圍是（）

x<2

D.[1,8]

11.在AABC中，a,b,C分別為角A,B,C的對(duì)邊，若AABC的面為S,且4Gs=(a+〃y—c?,則sinC+?

V6+V2

44

12.已知加為一條直線(xiàn)，。，分為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.韭m//a,a〃0,則加〃/?B.若則加_L/?

C.弟m"a,a：§,則根_L/?D.若m1a,a〃B,則根_L/?

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)a、/?為互不重合的平面，m,〃是互不重合的直線(xiàn)，給出下列四個(gè)命題:

①若根〃%則帆〃“；

②若機(jī)ua,jica,m//fl,n//貝!|a〃人

③若a〃人mc.a,nu/J,則機(jī)〃〃；

④若aJ_6，aC\fl=m,nua,mA.n,貝（）〃_L/；

其中正確命題的序號(hào)為.

14.已知〃x）=e'+*是偶函數(shù)，則〃尤）的最小值為.

15.已知向量a=（cos5°,sin5°）,b=（cos650,sin65°）,貝!J2a+\=.

16.棱長(zhǎng)為。的正四面體ABC。與正三棱錐E-BCD的底面重合，若由它們構(gòu)成的多面體ABCDE的頂點(diǎn)均在一球的

球面上，則正三棱錐E-5CD的內(nèi)切球半徑為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）已知AB是圓。：必+/=4的直徑，動(dòng)圓"過(guò)4,3兩點(diǎn)，且與直線(xiàn)y+2=0相切.

（1）若直線(xiàn)的方程為x-y=0,求的方程；

（2）在y軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)尸，使得以為直徑的圓恰好與X軸相切？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.（12分）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知ccoyB—Z?si〃C=O,cosA—cos2A.

⑴求C；

(2)若。=2,求，的面積S?Bc

19.（12分）如圖，在四棱錐尸—A3CD中，平面A3CD,AD±AB,AB//CD,AB=AD=AP=~CD=2,

2

E為PC的中點(diǎn).

(1)求證：跖1平面PC。；

(2)求二面角A—9一。的余弦值.

20.(12分)如圖，在四棱錐尸—A3CD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZBAD=^°,PB=PD=41-

(2)設(shè)H在AC上，AH=-AC,若PH=^,求PH與平面MC所成角的正弦值.

33

21.(12分)在AABC中，角A氏C的對(duì)邊分別為“,仇c,且滿(mǎn)足csinA=asin[C+]

(I)求角。的大??；

(II)若△ABC的面積為3后，a—b=T,求。和cos(2A—C)的值.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=me*-2x-m.

(1)當(dāng)m=1時(shí)，求曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(0"(0))處的切線(xiàn)方程;

(2)若/(x)>0在(0,+8)上恒成立，求，〃的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

通過(guò)方差公式分析可知方差沒(méi)有改變，中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都發(fā)生了改變.

【詳解】

由題可知，中位數(shù)和眾數(shù)、平均數(shù)都有變化.

本次和上次的月考成績(jī)相比，成績(jī)和平均數(shù)都增加了50,所以(龍"-I)?沒(méi)有改變，

1__

2

根據(jù)方差公式S-=-[(x1-x)+..-+(/-x)2]可知方差不變.

8

故選：A

本題主要考查樣本的數(shù)字特征，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

2.A

【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算分別從充分性和必要性去證明即可.

【詳解】

若3">2匕，b>0,則a>log326,可得a>log3b；

若心噫人,可得3">b，無(wú)法得到3a>26,

所以"3">2b”是“a>log36”的充分而不必要條件.

所以本題答案為A.

本題考查充要條件的定義，判斷充要條件的方法是：

①若。=4為真命題且40〃為假命題，則命題「是命題4的充分不必要條件；

②若。為假命題且qn。為真命題，則命題P是命題q的必要不充分條件；

③若為真命題且qnp為真命題，則命題「是命題4的充要條件；

④若。=4為假命題且為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.

⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系.

3.C

【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得％=5,根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式S6=x6=幺產(chǎn)x6可得結(jié)果.

【詳解】

:等差數(shù)列{4}中，4+%=10，，2%=1。，即%=5,

5+7

.0q+4表%+44A公m

■■S.=—------x6=-------x6=-------x6=36,

6222

故選C.

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前九項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.C

【解析】

解一元二次不等式求得集合A，由此求得gA

【詳解】

由x2-3X-4=(%-4)(%+1)>0,解得或x>4.

因?yàn)锳={x[x<-1或x>4},所以a4={》|—lWx<4}.

故選：C

本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合補(bǔ)集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

先確定集合〃中元素，可得非空子集個(gè)數(shù).

【詳解】

由題意“={(1,1),(1,2),(2,1)},共3個(gè)元素，其子集個(gè)數(shù)為23=8,非空子集有7個(gè).

故選：C.

本題考查集合的概念，考查子集的概念，含有九個(gè)元素的集合其子集個(gè)數(shù)為2”，非空子集有2"個(gè).

6.C

【解析】

因?yàn)橹比庵校?8=3,AC=4,AAi=12,ABLAC,所以8C=5,且8C為過(guò)底面ABC的截面圓的直徑.取中

點(diǎn)。，則。。，底面ABC,則。在側(cè)面BCGBi內(nèi)，矩形BCCiBi的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)即為球直徑，所以2R=岳格7=13,

BP7?=—

2

7.D

【解析】

構(gòu)造函數(shù)〃x)=生±利用導(dǎo)數(shù)求得了(%)的單調(diào)區(qū)間，由此判斷出a也c的大小關(guān)系.

X

【詳解】

依題意，得a=in^=也，b=eT=^f,c=迎上=..令/(*)=叱，所以.(乃=上段.所以函數(shù)7'(x)

3e88xx

在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+co)上單調(diào)遞減.所以"(x)]1mx=/(e)=」="且/(3)>/(8),即a>c,所以3>a>c.

e

故選：D.

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查對(duì)數(shù)式比較大小，屬于中檔題.

8.D

【解析】

采取分類(lèi)計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)相結(jié)合的方法，分兩種情況具體討論，一種是黑白依次相間，一種是開(kāi)始僅有兩個(gè)相同顏色

的排在一起

【詳解】

首先將黑球和白球排列好，再插入紅球.

情況1：黑球和白球按照黑白相間排列(“黑白黑白黑白''或"白黑白黑白黑”)，此時(shí)將紅球插入6個(gè)球組成的7個(gè)空中

即可，因此共有2x7=14種；

情況2：黑球或白球中僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起(“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑

黑白”)，此時(shí)紅球只能插入兩個(gè)相同顏色的球之中，共4種.

綜上所述，共有14+4=18種.

故選：D

本題考查排列組合公式的具體應(yīng)用，插空法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

9.C

【解析】

分析：作出圖形，判斷軸截面的三角形的形狀，然后轉(zhuǎn)化求解P的位置，推出結(jié)果即可.

詳解：圓錐底面半徑為高為2,S4是一條母線(xiàn)，P點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，P在底面的射影為。；S4=JE=3,

OA>SO,過(guò)S4的軸截面如圖：

ZASQ>90°,過(guò)。作QTLS4于T，則QT<QS,在底面圓周，選擇尸，使得NFS4=90°,則尸到S4的距離的

最大值為3,故選：C

點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)線(xiàn)面距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是作出軸截面圖形，屬中檔題.

10.B

【解析】

畫(huà)出可行域，根據(jù)可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離，求得％2+y2的取值范圍.

【詳解】

由約束條件作出可行域是由A(2,0),B(O,1)，C(2,2)三點(diǎn)所圍成的三角形及其內(nèi)部，如圖中陰影部分，而f+y2可

理解為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，顯然原點(diǎn)到AB所在的直線(xiàn)x+2y-2=0的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離

的最小值，此時(shí)J+y=由/加叫=3,點(diǎn)。到原點(diǎn)的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值，此時(shí)

(ABJ5

必+丁2=22+22=8.所以％2+、2的取值范圍是.

故選：B

本小題考查線(xiàn)性規(guī)劃，兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識(shí).

11.D

【解析】

根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)求出C的值，然后利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：由46s=(a+〃)2—

得4^/3x—cibsinC=a~+Z?~—c2+2ab,

2

,Q2+Z72—c?=2QZ?COSC,

2\/3absinC=2abcosC+lab，

即A/3sinC-cosC=1

即2sin1c7

=1,

則sin]C—高￡

2

*.*0vCv萬(wàn)，

兀廠兀、兀

——<C——<——

666

則s“C+g=sin（二+q=sin-s工+cos，/=@x變+\變=?叵

I4jU4）343422224

故選D.

本題主要考查解三角形的應(yīng)用，結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理求出C的值以及利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行計(jì)

算是解決本題的關(guān)鍵.

12.D

【解析】

A.若加//%￡///?,則加//分或mu/7,故A錯(cuò)誤;

8.若々_1_/7,〃2_1。，則m//，或故B錯(cuò)誤；

C.若mlla,a1/3,則〃z//，或mu/7,或，九與￡相交;

D.若m則加_!_，，正確.

故選D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.④

【解析】

根據(jù)直線(xiàn)和平面，平面和平面的位置關(guān)系依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.

【詳解】

對(duì)于①，當(dāng)相〃”時(shí)，由直線(xiàn)與平面平行的定義和判定定理，不能得出力〃a,①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，當(dāng)加ua,nua,且機(jī)〃￡,〃〃/時(shí)，由兩平面平行的判定定理，不能得出?！ā?②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，當(dāng)a〃6，且加ua,時(shí)，由兩平面平行的性質(zhì)定理，不能得出相〃〃，③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，當(dāng)a_L￡,且an￡=〃z,wua,機(jī)_1_〃時(shí)，由兩平面垂直的性質(zhì)定理，能夠得出④正確;

綜上知，正確命題的序號(hào)是④.

故答案為：④.

本題考查了直線(xiàn)和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.

14.2

【解析】

由偶函數(shù)性質(zhì)可得/⑴=/（T），解得a=—L再結(jié)合基本不等式即可求解

【詳解】

令/。）=/（一1）得a=—1,所以U（x）=eX+er>2，e*-eT=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào).

故答案為：2

考查函數(shù)的奇偶性、基本不等式，屬于基礎(chǔ)題

15.布

【解析】

求出問(wèn),然后由模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方，利用數(shù)量積的運(yùn)算計(jì)算.

【詳解】

由題意得￡2=03525。+511125。=1，，=142=（：05265。+5111265。=1，慟=1.

—*—*]/-?—?\2——?——2|

a-b=cos5°cos650+sin5°sin65°=cos60°=—,:.\2a+b\=4。+4〃心+Z?=4+4x—+1=7,

2I,2

|2a+&|=V7.

故答案為：幣.

本題考查求向量的模，掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題基礎(chǔ).本題關(guān)鍵是用數(shù)量積的定義把模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積

的運(yùn)算.

3A/2-A/6

16.---------a

12

【解析】

由棱長(zhǎng)為。的正四面體ABCD求出外接球的半徑，進(jìn)而求出正三棱錐石-5CD的高及側(cè)棱長(zhǎng)，可得正三棱錐

E—BCD的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，進(jìn)而求出體積與表面積，設(shè)內(nèi)切圓的半徑，由等體積V=gs表面積?/?’,求出內(nèi)

切圓的半徑.

【詳解】

由題意可知：

多面體ABCDE的外接球即正四面體ABCD的外接球

作/場(chǎng)，面5CD交于尸，連接CF,如圖

則CE=2.走。=走。，且AE為外接球的直徑，可得

323

AF=7AC2-CF2=J?—(gay=^。，

cBCa

2r---------------a

設(shè)三角形BCD的外接圓的半徑為廠，則sin60°解得廠=[1

設(shè)外接球的半徑為R,則R?=，+(AF—A)?可得24尸?尺=產(chǎn)+4/2,

即2.幽■.R=<+魚(yú)，解得R=^a，

3394

設(shè)正三棱錐E—BCD的高為h,

因?yàn)锳E=2R=，所以丸=EF=2R-AF='

所以BE=CE=DE=JEF?+CF?=J-a+-a^—a,

V632

而B(niǎo)D=BC=CD-a,

所以正三棱錐石-BCD的三條側(cè)棱兩兩相互垂直,

設(shè)內(nèi)切球的半徑為R',VE_BDC=15甌口,EF=§，(SE_BC?)表面積,R,

即L3/?近a=L三立標(biāo)出,解得：R=3寸一#&.

3463412

372-76

故答案為:------------a-

12

本題考查多面體與球的內(nèi)切和外接問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意借助

幾何體的直觀圖進(jìn)行分析.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)/+/=4或(％+4y+(y—4)2=36.⑵存在，P(O,1)；

【解析】

(1)根據(jù)動(dòng)圓M過(guò)A，B兩點(diǎn)，可得圓心”在AB的垂直平分線(xiàn)上，由直線(xiàn)AB的方程為x-y=O,可知"在直

線(xiàn)丁=一x上；設(shè)M(—a,a),由動(dòng)圓“與直線(xiàn)y+2=0相切可得動(dòng)圓"的半徑為r=|a+2]；又由|A?=2,

=及垂徑定理即可確定。的值，進(jìn)而確定圓"的方程.

(2)方法一：設(shè)〃(羽y),可得圓的半徑為r=1+2],根據(jù)礪上近，可得方程為V+y2+4=(y+2)2并化簡(jiǎn)

可得M的軌跡方程為必=4%設(shè)P(0,y0)，M(%，X)，可得MP的中點(diǎn)進(jìn)而由兩點(diǎn)間距離公式

表示出半徑，表示出。'到x軸的距離，代入化簡(jiǎn)即可求得先的值，進(jìn)而確定所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；方法二：同上可得"的

軌跡方程為好=4＞，由拋物線(xiàn)定義可求得|MF|=%+1,表示出線(xiàn)段板的中點(diǎn)。'的坐標(biāo)，根據(jù)。'到x軸的距離可

得等量關(guān)系，進(jìn)而確定所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】

(1)因?yàn)?M過(guò)點(diǎn)A,B,所以圓心"在AB的垂直平分線(xiàn)上.

由已知的方程為％-y=O,且A，3關(guān)于于坐標(biāo)原點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)，

所以"在直線(xiàn)丁=一x上，故可設(shè)a,a).

因?yàn)?M與直線(xiàn)y+2=0相切，所以0M的半徑為廠=卜+2|.

由己知得|人。卜2,又麗_L近，

故可得2a2+4=+2)2,解得。=0或a=4.

故G)Af的半徑廠=2或丁=6,

所以的方程為V+丁=4或(x+4)2+(y—4)2=36.

(2)法一：設(shè)M(羽y),由已知得OM的半徑為r=|y+2],|49|=2.

由于麗，正，故可得/+/+4=(y+2)2,化簡(jiǎn)得”的軌跡方程為必=今.

設(shè)P（0,%）,則得x；=4y-MP的中點(diǎn)

則以聞產(chǎn)為直徑的圓的半徑為：

~^\MP\=gJ%；+（%-Vo）?=~Jy；+y；+町-2%%,

。'到x軸的距離為七&=g|M+%|,

令37。；+寸+4%-2yoy1+%|‘①

化簡(jiǎn)得為必=%，即（%—1）%=0，

故當(dāng)先=1時(shí)，①式恒成立.

所以存在定點(diǎn)P（0,l），使得以MP為直徑的圓與工軸相切.

法二：設(shè)M（羽y）,由已知得OM的半徑為r=|y+2|,30=2.

由于詬，血，故可得/+/+4=3+2）2,化簡(jiǎn)得M的軌跡方程為必=4%

設(shè)"（七,%）,因?yàn)閽佄锞€(xiàn)好=4＞的焦點(diǎn)b坐標(biāo)為（0,1）,

點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上，所以|"耳=乂+1,

線(xiàn)段VF的中點(diǎn)O'的坐標(biāo)為住,""J，

則。'到x軸的距離為近里，

2

而空=千岫，

故以W為徑的圓與x軸切，

所以當(dāng)點(diǎn)P與產(chǎn)重合時(shí)，符合題意，

所以存在定點(diǎn)P（0,l）,使得以MP為直徑的圓與工軸相切.

本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法，動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法，拋物線(xiàn)定義及定點(diǎn)問(wèn)題的解法綜合應(yīng)用，屬于難題.

is.⑴m⑵三

123

【解析】

（1）由已知利用正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求均個(gè)=1,結(jié)合范圍5G（0,?）,可求3=（,由已知利用二

倍角的余弦函數(shù)公式可得2cos2A-cosA-1=0,結(jié)合范圍A?o,?)，可求A,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解得C

的值.

(2)由(1)及正弦定理可得b的值，根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式可求si〃C的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【詳解】

(1)由已知可得ccosB=bsinC,

Z?c

又由正弦定理-----二-----，可得ccosB=,即勿幾5=1,

sinBsinC

1.,cosA-cos2A=2COS2A—1,即2cos2A—cosA—1=0，

又A?0,%）,

??.cosA=——,或1（舍去），可得A=2，

23

71

C=7T—A—B=—.

12

（2）：A=g,B=ga=2,

9V2

X

,.Tmabr/日7a?si〃B?2y/6

「?由正弦定理——7二-----，可得b=———=—金=一二,

sinAsinBsinA，33

~2

A/3A/2

sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=-------X--------

22（4

:.SABc==absinC=Lx2義巫義班出3-73

△ABC22343

本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的余弦函數(shù)公式，三角形的內(nèi)角和定理，兩角和的正弦

函數(shù)公式，三角形的面積公式等知識(shí)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

19.(1)見(jiàn)解析；(2)-且

3

【解析】

(1)取PD的中點(diǎn)產(chǎn)，連接AF,EF，根據(jù)中位線(xiàn)的方法證明四邊形4炳是平行四邊形.再證明A/，？D與CD，A產(chǎn)

從而證明"，平面PCD,從而得到跖1平面尸C。即可.

（2）以所在的直線(xiàn)為蒼y衣軸建立空間直角坐標(biāo)系，再求得平面cm的法向量與平面APB的法向量進(jìn)而

求得二面角A-PB-C的余弦值即可.

【詳解】

（1）證明：如圖，取尸。的中點(diǎn)尸，連接AQEF.

又E為PC的中點(diǎn)，則"是APCD的中位線(xiàn).所以跖//CD且

2

又AB//CD且A3=工CD,所以跖//A3且所=A5.所以四邊形ABEF是平行四邊形.

2

所以BE/MF.因?yàn)锳Z）=AP,尸為P￡）的中點(diǎn)，所以AF_LPD

因?yàn)?￡>，45,48//8,所以45，8.因?yàn)槌觯矫?^?！辏?所以24,8.

又AT>cA4=A,所以CD，平面R4D.所以CDAF.

又PDcCD=D,所以”，平面PCD.又5E//A產(chǎn)，所以BE1平面PCD.

（2）易知A。,AB,AP兩兩互相垂直，所以分別以AD,AB,AP所在的直線(xiàn)為羽％z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系：

因?yàn)锳B=A。=AP=工CD=2,所以點(diǎn)4(0,0,0),6(0,2,0),P(0,0,2),C(2,4,0).

2

則而=(0,2,-2),AP=(0,0,2),BC=(2,2,0).設(shè)平面CPB的法向量為n=(尤,y,z),

pbP5=(x,y,z)?(0,2,-2)=2y—2z=。jz=y,

由＜__.，得＜,

n-BC-(x,y,z)?(2,2,0)=2x+2y=0[x=-y

令y=i,得平面CPB的一個(gè)法向量為3=(-1,1,1)；顯然平面APB的一個(gè)法向量為而=(1,0,0)；

設(shè)二面角4一依一C的大小為。,則c°s*京==-

故二面角A-PB-C的余弦值是-且

3

本題主要考查了線(xiàn)面垂直的證明以及建立空間直角坐標(biāo)系求解二面角的問(wèn)題，需要用到線(xiàn)線(xiàn)垂直與線(xiàn)面垂直的轉(zhuǎn)換以及

法向量的求法等.屬于中檔題.

20.(1)見(jiàn)解析；(2)亞

3

【解析】

(1)記AC「pO=。，連結(jié)尸O,推導(dǎo)出HDLPO,班>，平面？AC,由此能證明平面/平面A3CD；(2)

推導(dǎo)出PHLAC,平面ABCD,連結(jié)HB，由題意得”為的重心，BCLBH,從而平面跳出_1平

面尸5C,進(jìn)而是？H與平面尸5c所成角，由此能求出7W與平面尸5C所成角的正弦值.

【詳解】

(1)證明：記ACn8D=。，

連結(jié)PO,AFBD中，OB=OD,PB=PD，.\BD±PO,

-.-BD±AC,4Cp|PO=。，..BD，平面PAC,

Q3￡>u平面ABCD,二平面K4C_L平面ABCD.

71I—

(2)APOB中,ZPOB=-,OB=1,PB=6，；.PO=1，

2

;AO=6OH=2,

3

.-.PH2=(^)2=|,.-.PH2=PO2+OH2,

:.PHLAC,..PH，平面ABC。，._LBC,

連結(jié)HB,由題意得"為AABD的重心，

ITTC

ZHBO=-,NHBC=—,..3C_L平面

62

???平面PHB，平面PBC,：.H在平面PBC的射影落在PB上,

ZHPB是PH與平面PBC所成角,

.?.RtAPHB中，PH瀉，PB=&，：.BH昔,

:.s"BPH=%=更」=近

BP3723

PH與平面PBC所成角的正弦值為逅

3

B

本題考查面面垂直的證明，考查線(xiàn)面角的正弦值的求法，考查線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求

解能力，是中檔題.

21.(I)—；(II)c--^13,cos(2A-C)=.

【解析】

(I)運(yùn)用正弦定理和二角和的正弦公式，化簡(jiǎn)csinA=asinC+],即可求出角。的大小；

(II)通過(guò)面積公式和a-b=l,可以求出a,d這樣用余弦定理可以求出c,用余弦定理求出cosA,根據(jù)同角的

三角函數(shù)關(guān)系，可以求出sinA,這樣可以求出sin2A,cos2A,最后利用二角差的余弦公式求出cos(2A-C)的值.

【詳解】

ac