2024年河南省周口市高考數(shù)學(xué)二模試卷（附答案解析）

2024年河南省周口市高考數(shù)學(xué)二模試卷

一、單選題

1.（5分）已知全集。={x|-l<x<5},集合/滿足Cu/={x|0Wx<3},貝U（）

A.OEAB.\^AC.2GAD.3。

2.（5分）數(shù)據(jù)6.0,7.4,8.0,8,4,8.6,8.7,8.9,9.1的第75百分位數(shù)為（）

A.8.5B.8.6C.8.7D.8.8

3.（5分）已知數(shù)列{斯}為等比數(shù)列，且m=l,.9=16,設(shè)等差數(shù)列{為}的前“項和為S”若生=。5,則

S9—（）

A.-36或36B.-36C.36D.18

4.（5分）中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究.設(shè)a,b,m（m>0）為整

2

數(shù)，若a和6被加除得的余數(shù)相同，則稱a和6對模m同余，記為a三b（modm）.若a—C|o-2+嗡-2+

-+C^-220,a=b（modl0）,則6的值可以是（）

A.2018B.2020C.2022D.2024

5.（5分）聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)歹=法M37,但我

們平時聽到的樂音不止是一個音在響，而是許多個音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是

函數(shù)/（x）=sinx+*sin2x（xCR）,則下列說法正確的是（）

A./（%）的一個周期為n

B./（x）的最大值為日

C.f（x）的圖象關(guān)于點（今，0）對稱

D./（X）在區(qū)間［0,TT］上有2個零點

6.（5分）在某次測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是0.5,0.6和0.7,且三人的測試結(jié)

果相互獨立，測試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒有達到優(yōu)秀等級的條件下，乙達到優(yōu)秀等級

的概率為（）

57920

A.-B.-C.—D.—

882929

—>—>

7.（5分）在平面直角坐標系xOy中，設(shè)/（2,4）,B（-2,-4）,動點P滿足P。?P4=-1,貝UtanN

PBO的最大值為（）

2V214V292V41V2

A.-------B.-------C.-------D.一

第1頁（共18頁）

8.（5分）已知雙曲線C：葭一臺=1。>。，b>0）的左、右焦點分別為m、Fi，雙曲線。的離心率為e,

在第一象限存在點P,滿足e?sin乙叩班2=1,且SgpF2=4后，則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.2%±y=0B.x±2y=0C.3x±y=0D.x±3y=0

二、多選題

（多選）9.（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Zi=}-字i對應(yīng)的點為/,復(fù)數(shù)Z2=zi-1對應(yīng)的點為瓦下列說

法正確的是（）

A.|zi|=|z2|=l

B.Z1-2=憶1/

C.向量/對應(yīng)的復(fù)數(shù)是1

—>

D.\AB\=|zi-z2|

（多選）10.（5分）如圖，在矩形/班出中，44i=l,4B=4,點C,D,￡與點Q,Di，昂分別是線

段N3與4面的四等分點.若把矩形i/i卷成以/小為母線的圓柱的側(cè)面，使線段441與BBi重合,

則以下說法正確的是（）

AiCiDiEi_g]

ACDEB

A.直線/Ci與?！阨異面

B./￡〃平面/iCD

C.直線。Ei與平面/EDi垂直

2V2

D.點Ci到平面ODiEi的距離為一

IT

（多選）11.（5分）已知函數(shù)/G）的定義域為R,且/（x+y）/（x-y）=#（x）-/S）,/（1）=1,

/（2x+l）為偶函數(shù)，則（）

A.f(0)=0B.f(x)為偶函數(shù)

C.f(2+x)=-/(2-x)D.Efc=i4/(fc)=0

三、填空題

12.(6分)拋物線/的準線方程為y=l,則實數(shù)。的值為.

13.(6分)在△/BC中，A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=&，b=4,c?cos3+a=0,則邊c

第2頁（共18頁）

=，點。在線段48上，且NCD4=*,貝!]CD=.

14.(6分)己知不等式e“-石+1-2ax2b對任意的實數(shù)x恒成立，貝卜的最大值為.

a

四、解答題

15.(13分)滎陽境內(nèi)廣武山上漢王城與霸王城之間的鴻溝，即為象棋棋盤上“楚河漢界”的歷史原型，

滎陽因此被授予“中國象棋文化之鄉(xiāng)”.有甲，乙，丙三位同學(xué)進行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽,

每局比賽必分勝負，本局比賽結(jié)束后，負的一方下場.第1局由甲，乙對賽，接下來丙上場進行第2

局比賽，來替換負的那個人，每次比賽負的人排到等待上場的人之后參加比賽.設(shè)各局中雙方獲勝的概

率均為最各局比賽的結(jié)果相互獨立.

(I)求前3局比賽甲都取勝的概率；

(II)用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

16.(15分)已知函數(shù)/(x)=a(x2-Inx)+(1-2a2)x(a20).

(I)若x=l是函數(shù)y=/(x)的極值點，求a的值；

(II)求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

17.(15分)如圖，在多面體D43CE中，是等邊三角形，AB=AD=2,DB=DC=EB=EC=V2.

(I)求證：BCLAE-,

(II)若二面角/-8C-￡為30°,求直線與平面NCD所成角的正弦值.

XV—

18.(17分)已知橢圓￡：/+臺=1(a>b>0)過點(0,1),且焦距為2?

(I)求橢圓E的標準方程；

(II)過點5(1,0)作兩條互相垂直的弦N3,CD,設(shè)弦N3,CD的中點分別為M,N.

①證明：直線兒CV必過定點；

②若弦48,CD的斜率均存在，求△MNS面積的最大值.

19.(17分)已知數(shù)列｛斯｝為有窮數(shù)列，且0n6N*,若數(shù)列｛斯｝滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列｛即｝為他的

左增數(shù)列;

第3頁(共18頁)

①。1+。2+。3+~+劭=加；

②對于使得您的正整數(shù)對(3J)有左個.

(I)寫出所有4的1增數(shù)列；

(II)當〃=5時，若存在冽的6增數(shù)列，求冽的最小值；

(III)若存在100的左增數(shù)列，求左的最大值.

第4頁(共18頁)

2024年河南省周口市高考數(shù)學(xué)二模試卷

參考答案與試題解析

一、單選題

1.（5分）已知全集。=3-1VXV5},集合4滿足Cu/={x|o〈x<3},貝lj（）

A.OEAB.1。C.2EAD.3。

【解答】解：因為。={%|-1V%V5},Cu/={R0W%V3},所以4={x|3WxV5或-l<x<0},所以1"

故選：B.

2.（5分）數(shù)據(jù)6。7.4,8.0,8.4,8.6,8.7,8.9,9.1的第75百分位數(shù)為（）

A.8.5B.8.6C.8.7D.8.8

【解答】解：數(shù)據(jù)6.0,7.4,8.0,8.4,8.6,8.7,8.9,9.1,共8個，

8X0.75=6,

87+89

則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為一y—=8.8.

故選：D.

3.（5分）已知數(shù)列{斯}為等比數(shù)列，且m=l,.9=16,設(shè)等差數(shù)列也“}的前”項和為S”若慶=。5,則

Sg—（）

A.-36或36B.-36C.36D.18

【解答】解：{即}為等比數(shù)列，設(shè)其公比為g,09=。1/,/=]6,g4=%則a5=aig4=4,

則65=。5=4,等差數(shù)列{兒}中，的=短空立=965=9X4=36.

故選：C.

4.（5分）中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究.設(shè)a,b,m（m>0）為整

2

數(shù)，若a和6被加除得的余數(shù)相同，則稱a和6對模m同余，記為a三b（modm）.若a—C|o-2+嗡-2+

-+C^-220,a=b（modl0）,則6的值可以是（）

A.2018B.2020C.2022D.2024

2010

【解答】解：a=4）?2+C器?22+…+嘲.2=（1+2）2。_1=（10-1）-1,

所以。除以10的余數(shù)是0,

選項中只有2020除以10余0.

故選：B.

5.（5分）聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)歹=法由37,但我

們平時聽到的樂音不止是一個音在響，而是許多個音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是

第5頁（共18頁）

1

函數(shù)/(x)=siwv+*sin2x(xCR),則下列說法正確的是()

A.f(x)的一個周期為n

B./(x)的最大值為日

C.于3的圖象關(guān)于點(￡,0)對稱

D.f(x)在區(qū)間［0,IT］上有2個零點

1

【解答】解：函數(shù)/(x)=sinx+sin2x(xGR),

對于/：f(X+K)=sin(x+n)+-2sinfJZx+2TT)=-sinx+-^sin2x(x),故4錯誤；

對于5：函數(shù)/(x)=sinx+2-sin2x,f(x)=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-1=(2cosx-1)(cosx+1),

令，(x)=0,所以函數(shù)八x)在(T+2/CT,苓+2/OT)(代Z)上單調(diào)遞增，在慮+2/OT,苧+2/OT),

(證Z)上單調(diào)遞減，故函數(shù)/(X)在x=2配+導(dǎo)(住Z)時，函數(shù)取得最大值為丁，故5錯誤；

對于C：當工=狎，/弓)=1,故C錯誤；

對于。：當x=0,IT時，f(0)=0,f(IT)=0,故/(x)在區(qū)間［0,TT］上有2個零點，故D正確.

故選：D.

6.(5分)在某次測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是0.5,0.6和0.7,且三人的測試結(jié)

果相互獨立，測試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒有達到優(yōu)秀等級的條件下，乙達到優(yōu)秀等級

的概率為()

57920

A.-B.-C.—D.—

882929

【解答】解：根據(jù)題意，甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級分別為事件aB,c,三人中恰有兩人沒有達

到優(yōu)秀等級為事件D,

則尸(/)=0.6,P(.B)=0.7,P(C)=0.5,

P(.D)=P(.ABC)+P(ABC)+P(/就)=(1-0.5)X(1-0.6)X0.7+(1-0.5)X0.6X(1-0.7)

+0.5X(1-0.6)X(1-0.7)=0.29,

P(BD)=P(.ABC)=0.5X0.6X0.3=0.09,

ljll|p(o\r)}=P(BD)_°.O9=_9_

人」P(B\D)p(D)—0.29-2》

故選：C.

—>—■>

7.(5分)在平面直角坐標系xOy中，設(shè)/(2,4),8(-2,-4),動點尸滿足P。?P4=一1,貝Utan/

第6頁(共18頁)

PBO的最大值為（）

2后4回2V41V2

A.B.C.-------D.

2129412

―>

【解答】解：設(shè)尸（工,〉），則「。=-%,->),24=(2—%,4—y),

—>—>

所以P。-PA――%(2—%)—y(4—y)—2x+x12-4y+y2=-1,

整理得：（x-1）2+（y-2）2=4,

故動點尸的軌跡為以。（1,2）為圓心，2為半徑的圓,

4—72-1-4-

因為=2-]=2,々BD=1+2=2,所以4B,。二點共線，如圖,

當網(wǎng)與圓相切時，/P2O為銳角且最大，tan/PB。最大，NP3O即/P3。，

所以|BD|二J(2+4尸+(1+24=3V5,\BP\=J\BD\2-\PD\2=,45—4=V41,

tan^PBD=翩=義="尹，即tanZPBO的最大值為竺

\BP\7414141

xv

8.（5分）已知雙曲線C：藍―1（Q〉O,b〉0）的左、右焦點分別為尸1、/2,雙曲線。的離心率為e,

在第一象限存在點P,滿足e?sinN尸為b2=1，且S△匕「尸2=4。2,則雙曲線。的漸近線方程為（）

A.2x±y=0B.x±2y=0C.3x±y=0D.x±3y=0

【解答】解：設(shè)|尸為尸冽，|尸尸2|=〃，由雙曲線的定義可得冽-〃=2跖

2

由e?sinN尸S.SAF1PF2=4a,

可得sinN尸產(chǎn)正2=[=￡COSZPFIF2=Jl—與=g,

cC\一C

1a

-m*2c—=4?/,

2c

第7頁（共18頁）

解得加=4”，n=2a,

在△尸產(chǎn)正2中，由余弦定理可得cosNP7iF2=

LZm-z二c,

即2=16a2+以一化為16仍=4層+4廬+12層，

c16ac

即為b=2a,

則雙曲線的漸近線方程為2x±j=0.

故選：A.

二、多選題

（多選）9.（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Zi=*-字i對應(yīng)的點為/,復(fù)數(shù)Z2=zi-1對應(yīng)的點為瓦下列說

法正確的是（）

A.|zi|=|z2|=l

B.Zi-2=|zi|2

C.向量幾對應(yīng)的復(fù)數(shù)是1

T

D.網(wǎng)=\zt-z2\

【解答】解：根據(jù)題意，復(fù)數(shù)Z1=★—孚i,Z2=Z1-1=

依次分析選項：

對于/,0|=區(qū)24+*=1,/正確；

對于2,Zl*Z2—（-1--^-i）（--j---y-Z）--1,3錯誤；

對于C,A（1,一空），B（-1,一字），則/=（-1,0）,向量/對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-1,C錯誤；

對于。，由復(fù)數(shù)的幾何意義，|4B尸匕1-Z2|,。正確.

故選：AD.

（多選）10.（5分）如圖，在矩形/班聞中，44i=l,4B=4,點C,D,E與點Q,Di，?分別是線

段N8與481的四等分點.若把矩形/3由/1卷成以/小為母線的圓柱的側(cè)面，使線段441與BBi重合,

則以下說法正確的是（）

AiGDi局Bi

ACDEB

第8頁（共18頁）

A.直線/Ci與DEi異面

B./￡〃平面4CD

C.直線。?與平面/ED垂直

.2y/2

D.點Ci到平面DDiEi的距離為一

71

【解答】解：如圖，

DC平面4DC1,且。已4。，而E摩平面40c1,由異面直線的定義可知，直線/Q與。妨異面，故/

正確；

由題意，四邊形/CDE為正方形，則/石〃。。，而CDu平面/CD,/EC平面/CD,則/￡〃平面/CD,

故2正確；

由已知441=1,42=4,可得四邊形DDE1E不是正方形，則DEi與磯>1不垂直，若。?J_平面，

可得DE1_L￡￡>1,

矛盾，故C錯誤；

由已知可得。￡>i_LDi￡i,DDxLC\D\,DDiHDiE=Di,則平面DGEi,

設(shè)圓柱的底面半徑為R,由已知可得，2TTR=4,得R=［，則魚CIDI=，的。1=筌.

2V2

可得點G到平面次)歸1的距離為一，故。正確.

71

故選：ABD.

(多選)11.(5分)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(x+y)f(x-yy=/G)-f(y),/(I)=1,

/(2x+l)為偶函數(shù)，則()

A.f(0)=0B.f(x)為偶函數(shù)

C.f(2+x)=-f(2-x)D.Xfc=i4/(fc)=0

【解答】解：對于/,由f(x+y)/(x-y)=/(x)-f(y),令工=〉=0,則/(0)=0,可知/(0)

=0,故/項正確；

對于8,因為/(x)的定義域為R,關(guān)于原點對稱，令x=0,則/⑶)/(-y)=f(0)-/⑶)=-

第9頁(共18頁)

/⑶)，

而/(y)不恒等于0,故/(->)=-/(?),可知/(X)為奇函數(shù)，故8項錯誤;

對于C,因為/(2x+l)為偶函數(shù)，所以/(-2x+l)=/(2x+l),

x

用5代換工，得/(-x+1)=f(x+1),再用-x-1代換x,可得/(2+x)=f(-%),所以/(2-％)=f

(x),

由5選項的結(jié)論，可得/(-X)=-/(工)，所以/(2+x)=-/(2-1)，故。項正確；

對于。，由選項。的結(jié)論，可知/(x+2)=f(-x)=-f(x),

所以/(x+4)=-f(x+2)=f(x),可知/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

因為/(I)=1,所以/(-I)=-/(1)=-1,可得/(3)=/(-1+4)=/(-1)=-1,

由/(x+2)=f(-x),得/(2)=f(0)=0,結(jié)合/(4)=f(0)=0,

得/(I)4/(2)4/(3)4/(4)=1+0+(-1)+0=0,

所以E鑿41㈤=506|/(1)H/(2)?(3)丁(4)]=0,可得。項正確.

故選：ACD.

三、填空題

12.(6分)拋物線/=1y的準線方程為y=l,則實數(shù)。的值為

【解答】解：拋物線支2=、的準線方程為產(chǎn)-2，

由題意可得-*=1,

解得a——

故答案為：-白.

13.(6分)在△/8C中，/,2,。的對邊分別為a,b,c,已知a=&，b=4,c?cos8+a=0,則邊c=_VTU_

點D在線段AB上，且NCDA=的則C￡>=_—

【解答】解：由余弦定理知，cosB=層與亍板，

因為c?cos5+a=0,

_i_c2_u2

所以c?-------------+〃=0,整理得02=廬-3/,

2ac

因為a=V2,6=4,

所以。2=房-3。2=16-3X2=10,即c=V1U；

第10頁(共18頁)

2_|_2_/j2

ac2+10-16_8

所以cosB=

2ac2x72x710_-_5"

因為86(0,TT),所以sin5=71一COS2B=等,

CDBC

在△BCD中，由正弦定理知,

sinBsin乙BDC'

BC'SinB_a-sinB__4后

sin乙BDC-sinfrc-Z-CDA)~V2-5

故答案為：VTo；—

1_L1b

14.（6分）已知不等式/一萬-2a%2b對任意的實數(shù)％恒成立，則一的最大值為2-21n2,

a

【解答】解：設(shè)，=x—公+1,則%=什萬一1,

又因為不等式/一萬+1-2ax>b對任意的實數(shù)x恒成立,

所以e-2a對任意的實數(shù)/恒成立,

即ef-2at+2a-2-620對任意的實數(shù)，恒成立,

令g（力=e'-2at+2a-2-b,正R,

則有g(shù)（/）加篦20恒成立，

則g，⑺-2a,

當aWO時，g'⑺>0,g（力在R上單調(diào)遞增，不滿足題意；

當Q>0時，令/（/）=e'-2a=0,得t=bt2a,

當怎（-8,ln2a）時，gr（力<0,g（%）單調(diào)遞減；tEQn2a,+°°）時，gr（t）>0,g（/）單

調(diào)遞增；

=

所以g(t)ming(歷2。)=2a-lain(2。)+2。-2-b=4a-lain(2“)-2-bf

所以4。-2。歷(2。)-2-b，0,bW4a-2aln(2。)-2,

b?

所以一<4-2ln(2Q)----，

aa

2

令〃(〃)=4-2ln(2Q)a>0,

a

則/(。)=，+馬=2(1T),

CLazaz

所以當托(0,1)時，h'(a)>0,h(a)單調(diào)遞增；當托(1,+°°)時，h'(a)<0,h(a)單

調(diào)遞減；

所以〃(a)max=h(1)=2-2歷2,

第11頁（共18頁）

b

所以一＜2-21n2,

a

所以2的最大值為2-2勿2.

a

故答案為：2-2ln2.

四、解答題

15.(13分)滎陽境內(nèi)廣武山上漢王城與霸王城之間的鴻溝，即為象棋棋盤上“楚河漢界”的歷史原型，

滎陽因此被授予“中國象棋文化之鄉(xiāng)”.有甲，乙，丙三位同學(xué)進行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽,

每局比賽必分勝負，本局比賽結(jié)束后，負的一方下場.第1局由甲，乙對賽，接下來丙上場進行第2

局比賽，來替換負的那個人，每次比賽負的人排到等待上場的人之后參加比賽.設(shè)各局中雙方獲勝的概

率均為;，各局比賽的結(jié)果相互獨立.

(I)求前3局比賽甲都取勝的概率；

(II)用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【解答】解：(I)前3局比賽甲都取勝的概率為P=2x^x2=!；

(II)X的所有可能取值為0,1,2,3.其中，X=0表示第1局乙輸，第2局是甲丙上場，第3局是

111

乙輸，則尸(X=0)=?

ZZ41

1111

X—1表示乙就1局，即第1局乙威，第2局乙輸,或第1局乙輸,第3局乙質(zhì)L；則P^X—2222=

1

T

X—2表示乙贏2局，即第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙輸，則尸(X=2)==

ZZZo

1111

X=3表示第1局乙贏，第2局乙贏，第3局乙贏，則尸(X=3)77x77x7；=不

2228

則X的分布列為:

X0123

P1111

4288

X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0xi+lx1+2x|+3x|=1.

4Zooo

16.(15分)已知函數(shù)f(x)=a(x2-Inx)+(1-2a2)x(a20).

(I)若x=l是函數(shù)y=/(x)的極值點，求Q的值；

(II)求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

【解答】解：(I)函數(shù)/(x)—a(x2-Inx)+(1-2片)%(QNO)的定義域為(0,+°°),

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f(x)=a⑵二)+1-2a2=(2ax+l)(x—a),

JXX

因為X=1是函數(shù)(x)的極值點，

所以/(1)=0,即(2q+l)(1-a)=0,

解得。=1,經(jīng)檢驗知，當〃=1時，x=l是函數(shù)y=/(x)的極值點，

所以4=1.

(II)由(I)知/(x)=(2ax+?x-a),。力。，

當。=0時，f(x)>0,所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),無減區(qū)間；

當a>0時，當0<x<a時，f(x)<0,當x>a時，f(x)>0,

所以函數(shù)/(x)的遞減區(qū)間為(0,a),增區(qū)間為(a,+8).

綜上，當。=0時，函數(shù)/G)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),無減區(qū)間；

當a>0時，函數(shù)/(x)的遞減區(qū)間為(0,a),增區(qū)間為(a,+8).

17.(15分)如圖，在多面體D48CE中，是等邊三角形，AB=AD=2,DB=DC=EB=EC=

(I)求證：BCLAE-,

(II)若二面角/-BC-E為30°,求直線OE與平面/CD所成角的正弦值.

【解答】(I)證明：如圖，取8C中點。，連接/。，EO,

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：△NBC是等邊三角形，。為8C中點，

C.AOLBC,又EB=EC,

：.EO±BC,'：AOnEO=O,

，2C_L平面/E。，又/Eu平面/E。，

：.BC±AE；

解：（II）連接DO,則DO±BC,由AB=AC=BC=2,DB=DC=EB=EC=

則2。=B，￡>0=1,又AD=2,

：.AO2+DO2=AD2,

：.DO±AO,y.AODBC=O,

平面ABC,

如圖，以。為坐標原點，OB,0D所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系,

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則O(0,0,0),力(遍，0,0),C(0,-1,0),D(0,0,1),

—>—>

，C4=(怎1,0),CD=(0,1,1),

設(shè)平面/CD的法向量為/=(久，y,z),

TT一

則n?C4=0,n-CD=0,

即V^x+y=0,y+z—0,

取x=l,則￡=(1,-V3,V3),

:/AOE是二面角A-BC-E的平面角，

AZAOE=30°,又。E=l,

)0,-,DE=>0，一

設(shè)直線DE與平面ACD所成角為6,

則sin0=|cos<DE,n>\=叱嗎==g,

|DE||n|,7X43/

直線DE與平面ACD所成角的正弦值為亍

/y2

18.（17分）已知橢圓E：/+臺=1（。>6>0）過點（0,1）,且焦距為2?

（I）求橢圓￡的標準方程；

（II）過點5（1,0）作兩條互相垂直的弦CD,設(shè)弦N3,CD的中點分別為M,N.

①證明：直線兒CV必過定點;

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②若弦45,C。的斜率均存在，求△肱VS面積的最大值.

【解答】解：（I）因為橢圓E過點（0,1）,且焦距為28，

所以b=l,c-V3,

可得a2=b2+c2=4,

2

則橢圓E的方程為x丁+y2=1；

41

（II）①證明：不妨設(shè)直線45的方程為x=my+l（加WO）,A（xi,yO,B（工2,”），

可得直線CD的方程為％=-拓y+1（加WO）,

x=my+1

聯(lián)立N,消去x并整理得（加2+4）丁+2切-3=0,

（彳+/=1

此時△=16m2+48>0,

由韋達定理得力+乃=鼠胃，

所以“（高‘翡）,

同理得N（嘏忐N），

l+4mz1+4772,

4

當一n------7，即加2=1時，

m2+4l+4m2

直線MN的方程為x=2，

4

此時直線過點尸（g,0）；

447n2

'7712+4豐l+4m2J

即加2#i時，直線的斜率仁以黑1），

所以直線MN的方程為y+五%=以黑1）（》—懸i）（源豐1，山生°），

令尸0,

22

QJJ曰4（m—1）,44m4-164

解何比=5⑺2+4）+而許=5（巧2+4）=引

4

所以直線跖V恒過點0）；

4

當機=0時，易得直線MN經(jīng)過點尸（三，0）,

4

綜上，直線跖V必過點0）；

第16頁（共18頁）

②因為S^MNS=S^MPS+SNPS=21Ksi?ly”一%vl