工程力學(xué)課件(動(dòng)能定理)

第十三章

動(dòng)能定理與動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理用矢量法研究不同，動(dòng)能定理用能量法研究動(dòng)力學(xué)問題。能量法不僅在機(jī)械運(yùn)動(dòng)的研究中有重要的應(yīng)用，而且是溝通機(jī)械運(yùn)動(dòng)和其它形式運(yùn)動(dòng)的橋梁。動(dòng)能定理建立了與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的物理量—?jiǎng)幽芎妥饔昧Φ奈锢砹俊χg的聯(lián)系，這是一種能量傳遞的規(guī)律。功是代數(shù)量§13-1力的功

常力在直線運(yùn)動(dòng)中的功單位J（焦耳）1J=1N·m

元功即變力在曲線運(yùn)動(dòng)中的功變力在無限小位移dr中可視為常力在無限小位移中做的功稱為元功。記則力在路程上的功為1、重力的功質(zhì)點(diǎn)系由重力的功只與始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。得幾種常見力的功2、彈性力的功彈簧剛度系數(shù)k(N/m)彈性力彈性力的功為因式中得即彈性力的功也與路徑無關(guān)3.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛物體上作用力的功則若常量由得從角轉(zhuǎn)動(dòng)到角過程中力的功為§13-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能2、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能1、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能

m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，v為速度。動(dòng)能的單位：J（焦耳）剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)系，所以剛體的動(dòng)能由剛體的運(yùn)動(dòng)形式?jīng)Q定。（1）平移剛體的動(dòng)能（2）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能即

即

即:平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于隨質(zhì)心平移的動(dòng)能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和.得速度瞬心為P（3）平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能上面結(jié)論也適用于剛體的任意運(yùn)動(dòng).將兩端點(diǎn)乘

dr

,由于§13-3動(dòng)能定理1、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理因此得上式稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式，即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上力的元功。稱質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式:在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某個(gè)過程中,質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力作的功.積分之,有2、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理稱質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式:質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系全部力所作的元功的和.

由求和得稱質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式:質(zhì)點(diǎn)系在某一段運(yùn)動(dòng)過程中,起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能改變量,等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這段過程中所作功的和.積分之,有3、理想約束及內(nèi)力做功（1）光滑固定面、固定鉸支座、光滑鉸鏈、柔索類等約束的約束力作功等于零.約束力作功等于零的約束為理想約束.對(duì)理想約束,在動(dòng)能定理中只計(jì)入主動(dòng)力的功即可.注意：一般的摩擦力是做功的，不是理想約束。3、理想約束及內(nèi)力做功內(nèi)力作功之和不一定等于零.（2）質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功只要A、B兩點(diǎn)間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零。不變質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力功之和等于零。剛體的內(nèi)力功之和等于零。不可伸長的繩索內(nèi)力功之和等于零。當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)包含發(fā)動(dòng)機(jī)或變形元件（如彈簧、可伸長繩索等），內(nèi)力的功必須考慮。例13-1已知:m,h,k,其它質(zhì)量不計(jì).求:解:質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)在I位置和II位置時(shí)，速度都是零。故有（舍去了負(fù)值）mgFk例13-2已知：輪O的R1

、m1

,質(zhì)量分布在輪緣上;均質(zhì)輪C

的R2

、m2

純滾動(dòng),初始靜止;θ,M

為常力偶。求:輪心C

走過路程S時(shí)的速度和加速度輪C與輪O共同作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)分析。解:ω2ω1vc寫出系統(tǒng)的功和動(dòng)能ω2ω1vc注意到：由動(dòng)能定理：式(a)是函數(shù)關(guān)系式，兩端對(duì)t求導(dǎo),得消去Vc，得ω2ω1vc求:沖斷試件需用的能量

例13-3沖擊試驗(yàn)機(jī)m=18kg,l=840mm,桿重不計(jì)，在時(shí)靜止釋放，沖斷試件后擺至得沖斷試件需要的能量為解:系統(tǒng)僅受重力作用

例13-4已知:均質(zhì)圓盤R,m,F=常量,且很大,使O向右運(yùn)動(dòng),摩擦系數(shù)f,初靜止

求:O走過S路程時(shí)ω、α圓盤速度瞬心為C,解:voω均不作功.voω注意:1、摩擦力Fd

的功S是力在空間的位移，不是受力作用點(diǎn)的位移.將式(a)兩端對(duì)t求導(dǎo),并利用得求:轉(zhuǎn)過φ角的ω、α例13-5:已知:

,

均質(zhì);桿m均質(zhì),=l

,M=常量,純滾動(dòng),處于水平面內(nèi),初始靜止.

研究整個(gè)系統(tǒng)，受力分析和運(yùn)動(dòng)分析如圖。解:式(a)對(duì)任何φ均成立,是函數(shù)關(guān)系,兩端求導(dǎo)得注意:輪Ⅰ、Ⅱ接觸點(diǎn)C存在摩擦力Fs,但作用于速度瞬心,此點(diǎn)無相對(duì)移動(dòng)，故不作功.例13-6:均質(zhì)桿OB=AB=l,質(zhì)量m，系統(tǒng)在鉛垂面內(nèi);M=常量,初始靜止,不計(jì)摩擦.求:當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí),解:取系統(tǒng)為研究對(duì)象,受力分析、運(yùn)動(dòng)分析如圖mgmgMVAVAVBωABωOB圖中C‘為AB桿的瞬心mgmgMVAVCVB圖中C‘為AB桿的瞬心，當(dāng)A到達(dá)O時(shí),運(yùn)動(dòng)分析如圖，注意到ωABωOB由于欲求VA，mgmgMVAVCVBωABωOB即整理，得§13-4功率、功率方程、機(jī)械效率1、功率：?jiǎn)挝粫r(shí)間力所作的功稱功率即:功率等于切向力與力作用點(diǎn)速度的乘積.

由,得單位W（瓦特）,1W=1J/S作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功率為2、功率方程稱功率方程,即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù),等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有力的功率的代數(shù)和.或3、機(jī)械效率機(jī)械效率有效功率多級(jí)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)例13-7已知:若，求F的最大值。求:切削力F的最大值解:當(dāng)時(shí)§13-5勢(shì)力場(chǎng).勢(shì)能.機(jī)械能守恒定律1.勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng):場(chǎng)力的功只與力作用點(diǎn)的始、末位置有關(guān),與路徑無關(guān).2.勢(shì)能稱勢(shì)能零點(diǎn)力場(chǎng)

（1）重力場(chǎng)中心勢(shì)能（2）彈性力場(chǎng)的勢(shì)能質(zhì)點(diǎn)系的零勢(shì)能位置是指各質(zhì)點(diǎn)都處于其零勢(shì)能點(diǎn)的一組位置。注意：各有勢(shì)力可有各自的零勢(shì)能點(diǎn)例:已知均質(zhì)桿l,m

彈簧強(qiáng)度k,AB水平時(shí)平衡，彈簧變形

求：系統(tǒng)的勢(shì)能取彈簧自然位置O為彈性零勢(shì)能點(diǎn)；水平位置為重力勢(shì)能零點(diǎn):由得取桿平衡位置為零勢(shì)能位置:即3.機(jī)械能守恒定律由即:質(zhì)點(diǎn)系僅在有勢(shì)力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí),機(jī)械能守恒.此類系統(tǒng)稱保守系統(tǒng)及得質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),有勢(shì)力功為M0M1M2

例：已知：重物m=250kg,以v=0.5m/s勻速下降，鋼索

k=3.35×N/m.

求:輪D突然卡住時(shí)，鋼索的最大張力.卡住前

卡住時(shí):解:得即由有取水平位置為零勢(shì)能位置例:已知：m,,k水平位置平衡

OD=CD=b求：初速時(shí)，=?解:例:已知均質(zhì)園輪m,r,R

,純滾動(dòng)求:輪心Ｃ的運(yùn)動(dòng)微分方程解:重力的功率（很小）本題也可用機(jī)械能守恒定律求解.取O為勢(shì)能零點(diǎn)得例:已知兩均質(zhì)輪m,R

;物塊m,ｋ,純滾動(dòng),于彈簧原長處無初速釋放.求：重物下降h時(shí),v、a及滾輪與地面的摩擦力.

解:(1)用動(dòng)能定理求運(yùn)動(dòng)mghFk將式（a）對(duì)t

求導(dǎo)（a）得其中取C輪研究，受力如圖例:已知輪I:r,

m1;輪III:r,m3;輪II:R=2r,m2;壓力角（即齒輪間作用力與圖中兩圓切線間的夾角）為20度,物塊:mA;摩擦力不計(jì).求:O1

O2處的約束力.其中解:利用其中研究I輪

壓力角為研究物塊A研究II輪例9：已知,m,R,k,CA=2R為彈簧原長,M為常力偶.求:圓心C無初速度由最低點(diǎn)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí),O處約束力解:得例均質(zhì)桿AB,l,

m,初始鉛直靜止,無摩擦求：1.B端未脫離墻時(shí),擺至θ角位置時(shí)的

,,FBx

,FBy2.B端脫