基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積 2025年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)專項復(fù)習(xí)

第七章立體幾何與空間向量2025年高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)第一節(jié)基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積目錄基本立體圖形空間幾何體的表面積空間幾何體的體積壹貳叁基本立體圖形壹教材知識萃取（1）多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)教材知識萃取名稱棱柱棱錐棱臺底面互相①______且全等多邊形互相平行且②______側(cè)棱平行且相等相交于③______，但不一定相等延長線交于一點，但不一定相等側(cè)面形狀④____________三角形⑤______平行相似一點平行四邊形梯形教材知識萃取規(guī)律總結(jié)1.幾種特殊棱柱的結(jié)構(gòu)特征及之間的關(guān)系教材知識萃取

教材知識萃取名稱圓柱圓錐圓臺球圖形

旋轉(zhuǎn)圖形矩形⑥____________⑦__________半圓形直角三角形直角梯形（2）旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征教材知識萃取名稱圓柱圓錐圓臺球旋轉(zhuǎn)軸任一邊所在的直線任一⑧______邊所在的直線垂直于底邊的腰所在的直線⑨______所在的直線母線互相平行且相等，⑩____________相交于一點延長線交于一點軸截面全等的?______全等的?____________全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖?______?______扇環(huán)直角直徑垂直于底面

等腰三角形矩形扇形續(xù)表教材知識萃取2.立體圖形的直觀圖

（1）畫法：常用斜二測畫法.

不變一半

教材知識萃取思維拓展1.正方體的基本截面用一個平面截正方體，可以得到的截面形狀如下：橫截豎截斜截正方形正方形如圖所示教材知識萃取在這里需要給大家強調(diào)一下，正方體的斜截面不會出現(xiàn)以下幾種圖形：直角三角形、鈍角三角形、直角梯形、正五邊形.教材知識萃取2.圓柱體的基本截面用一個平面截圓柱，可以得到的截面形狀如下：橫截豎截斜截圓形，如圖1矩形，如圖2如圖3，4，5所示教材知識萃取方法技巧求解截面的面積（或面積的最值）問題，關(guān)鍵是準確判斷截面的形狀.（1）如果截面的幾何圖形確定，那么可以利用平面幾何知識求出其面積的大??；（2）如果截面的幾何圖形不確定，那么可以討論截面幾何圖形面積的最大、最小值，此時求解需要根據(jù)題意設(shè)立相關(guān)點的位置參量，建立截面面積的目標函數(shù)，然后利用函數(shù)知識求解.注意

在求解截面面積的最值時，需要根據(jù)幾何體和截面的變化來確定相關(guān)參量的取值范圍.教材知識萃取方法技巧1.作截面的三種常用方法一是直接法，解題關(guān)鍵是截面上的點在幾何體的棱上，且兩兩在一個平面內(nèi)，可以直接借助基本事實2作出截面.二是作平行線法，解題關(guān)鍵是截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某一個面平行，可借助線面平行的性質(zhì)定理和面面平行的性質(zhì)定理作出截面.三是延長交線得交點，解題關(guān)鍵是截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一個面上，可通過由作延長線得到的交點輔助得出截面與立體幾何圖形的交點，進而得交線和截面圖形.教材知識萃取2.求解截面的交線長度問題，關(guān)鍵是準確找到截面與幾何體相交的軌跡形狀，突破口是找到截面與幾何體的公共點的位置和變化軌跡.常見的軌跡形狀為特殊四邊形（正方形、平行四邊形、菱形、梯形）的組合圖形、圓周或圓弧、圓錐曲線的部分等.教材素材變式1.［人A必修二P105習(xí)題8.1第4題變式］下面四個幾何體中，是棱臺的是(

)

BA.&1&

B.&2&

C.&3&

D.&4&

【解析】選項A中幾何體是圓臺，選項C中幾何體的四條側(cè)棱的延長線沒有相交于一點，不是棱臺，選項D中幾何體是棱錐，易知選項B中幾何體是棱臺，故選B．2.［多選］［蘇教必修二P156例3變式］對如圖所示的組合體的結(jié)構(gòu)特征有以下幾種說法，其中正確的是(

)

ABA.由一個長方體割去一個四棱柱所構(gòu)成

B.由一個長方體與兩個四棱柱組合而成C.由一個長方體挖去一個四棱臺所構(gòu)成

D.由一個長方體與兩個四棱臺組合而成

菱形

4.［多選］［人A必修二P104練習(xí)第3題變式］下列說法正確的是(

)

BCA.以直角梯形的一腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺B.以等腰三角形的底邊上的高線所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐C.用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面D.圓錐的軸截面是所有過頂點的截面中，面積最大的一個【解析】選項正誤原因A如果旋轉(zhuǎn)軸不是垂直于底邊的腰所在直線，則旋轉(zhuǎn)體不是圓臺B√根據(jù)圓錐的定義可知，該說法正確C√由球的幾何性質(zhì)可知，用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面D圓錐的母線長一定，根據(jù)三角形面積公式知，過圓錐頂點的截面中，兩條母線的夾角的正弦值越大，截面面積就越大，所以當軸截面中兩條母線的夾角為鈍角時，軸截面的面積就不是最大的

C

D

空間幾何體的表面積貳教材知識萃取（1）圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖

側(cè)面積公式

教材知識萃?。?）簡單幾何體的表面積表面積柱體（棱柱和圓柱）錐體（棱錐和圓錐）臺體（棱臺和圓臺）球

教材知識萃取方法技巧求空間幾何體的表面積的常見類型及解題思路求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積.求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清旋轉(zhuǎn)體的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系.求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割或補形成柱體、錐體、臺體，先求出這些柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積.

教材素材變式

4

2.［人A必修二P116練習(xí)第1題變式］已知正四棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為4，高為3，則其表面積為(

)

B

3.［人A必修二P116練習(xí)第3題變式］魯班鎖起源于中國古代建筑的榫卯結(jié)構(gòu).這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙.魯班鎖類玩具比較多，形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同，一般都是易拆難裝，如圖1，這是一種常見的魯班鎖類玩具，圖2是該魯班鎖類玩具的直觀圖.已知該魯班鎖類玩具每條棱的長均為1，則該魯班鎖類玩具的表面積為(

)

A圖1圖2

方法總結(jié)求幾何體的表面積的方法（1）求幾何體的表面積問題的基本思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，即空間圖形平面化；（2）求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體等，通過求和或作差得到不規(guī)則幾何體的表面積．特別提醒：求組合體的表面積時，要注意銜接部分的處理，防止漏算或多算.

C

B

6.［人B必修四P82練習(xí)A第5題變式］已知一個圓錐的母線長為10，高為8，則該圓錐內(nèi)切球的表面積與圓錐的表面積的比值為(

)

B

B

空間幾何體的體積叁教材知識萃取簡單幾何體的體積體積柱體（棱柱和圓柱）錐體（棱錐和圓錐）臺體（棱臺和圓臺）球

教材知識萃取方法技巧求空間幾何體體積的常用方法直接法對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計算.割補法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算.等體積法通過轉(zhuǎn)換底面和高來求幾何體的體積，即通過將原來不容易求面積的底面轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉聿蝗菀卓闯龅母咿D(zhuǎn)換為容易看出并容易求解的高進行求解.常用于求三棱錐的體積.

教材知識萃取方法技巧求解體積的最值問題的方法（1）幾何法：根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，先確定體積表達式中的常量與變量，然后利用幾何知識判斷變量什么情況下取得最值，從而確定體積的最值.（2）代數(shù)法：先設(shè)變量，求出幾何體的體積表達式，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題或利用不等式求解即可.教材知識萃取方法技巧解決外接球問題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．求幾何體外接球半徑的思路如下：

教材知識萃?。?）將幾何體補形成長方體（或正方體），利用幾何體與長方體（或正方體）共有外接球的特征，由外接球的直徑等于長方體（或正方體）的體對角線長求解.如三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐，當側(cè)棱長相等時可補形成正方體，當側(cè)棱長不相等時可補形成長方體.

教材知識萃取方法技巧求解常見幾何體的內(nèi)切球半徑的方法幾何體教材知識萃取幾何體