新疆某中學2025屆高三一輪摸底數(shù)學試題（含解析）

新疆兵團第二師華山中學2025屆高三一輪摸底數(shù)學試題

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.函數(shù)/（x）=x的圖象大致是（）

e8sd

出十%+a6=9,則1。8工（。3+4+%）的值是（）

2.已知數(shù)列｛a“｝滿足log3a?+1=log34+i（"wN*）,且

9

A.5B.-3C.4D.—

91

3.中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標準量器一商鞅銅方升，其三視圖如圖所

示（單位：寸），若〃取3,當該量器口密閉時其表面積為42.2（平方寸），則圖中*的值為（）

俯視圖

A.3B.3.4C.3.8D.4

4.AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“,仇c,已知a=代/=1,8=30。，則4為（）

A.60°B.120°C.60?；?50°D.60?；?20°

5.已知復數(shù)z滿足目=1,則|z+2—z［的最大值為（)

A.2+3B.1+75C.2+75D.6

6.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是R上的單調(diào)函數(shù)的是（

A./(x)=ln(|x|+l)B./(%)=/

2\x<0)

%2+2x,(x>0)

c.〃x)=,D.〃x)=,0,(x=0)

-x2+2x,(x<0)

I,(x>0)

I

2-i

7.設復數(shù)z=--,--則--|zl=()

l+3z

1￡D,正

A.C.

322

z=4_(i為虛數(shù)單位),

8.若復數(shù)則z=（)

2-i

A.2+iB.2-iC.l+2zD.l-2z

9.已知三棱錐P-ABC,AC=6,BC=1,ACJ_BC且=總，平面ABC,其外接球體積為（）

4%3271

A.——B.4%C.D.4岳

3亍

10.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示,則針對2019年這一年的收支情況，下列說法中錯誤的是（）

9。

SO

：0

60

50

-)0

30

20

10

°1234456789I0III2；|

A.月收入的極差為60B.7月份的利潤最大

C.這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30D.這一年的總利潤超過400萬元

11.已知正四面體ABC。的棱長為1,。是該正四面體外接球球心，且市5=+x,y,zeR,則

x+y+z=（）

12.記S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和.若&=-5,$4=—16,則以=()

A.5B.3C.-12D.-13

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2I1

13.已知x>。，y>0,且一H■—=1,若%+2y>加92+2加恒成立，則實數(shù)加的取值范圍是.

^y

14.兩光滑的曲線相切，那么它們在公共點處的切線方向相同.如圖所示，一列圓C“：無2+(y-%)2=今2(曲>0,r?>0,

2

n=l,2…)逐個外切，且均與曲線產(chǎn)I相切，若,尸1,貝！J〃尸,rn=

15.在△ARM,為定長，回+2罔=3岡，若AABC的面積的最大值為2,則邊的長為

16.直線3-“y-1=0(m>0,">0)過圓。：必+丁2一2》+2丁—1=0的圓心，則工+工的最小值是.

mn

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在平面直角坐標系xQy中，橢圓。：5+/=1(。〉?！?)的離心率為：，且過點倒,也).

(1)求橢圓C的方程;

（2）已知ABMN是橢圓C的內(nèi)接三角形，

①若點3為橢圓C的上頂點，原點。為△5AW的垂心，求線段的長；

②若原點。為ABMN的重心，求原點。到直線MN距離的最小值.

18.（12分）在極坐標系中，直線/的極坐標方程為9=以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直

x=3cos。，

角坐標系，曲線C的參數(shù)方程為「（戊為參數(shù)），求直線/與曲線。的交點尸的直角坐標.

y=11+cos2a

19.（12分）某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，從流水線上隨機抽取1。。件產(chǎn)品，統(tǒng)計其質(zhì)量指標值并繪制頻率分布直方圖（如

圖1）：規(guī)定產(chǎn)品的質(zhì)量指標值在［65,85）的為劣質(zhì)品，在［85,105）的為優(yōu)等品，在［105,115］的為特優(yōu)品，銷售時劣

質(zhì)品每件虧損0.8元，優(yōu)等品每件盈利4元，特優(yōu)品每件盈利6元，以這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于各區(qū)間的頻率代

替產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于該區(qū)間的概率.

01（）2030405060

年者的費用寮萬元）

圖2

（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤;

（2）該企業(yè)主管部門為了解企業(yè)年營銷費用X（單位：萬元）對年銷售量y（單位：萬件）的影響，對該企業(yè)近5年

的年營銷費用占和年銷售量%,（7=1,2,3,4,5）數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點圖（如圖2）及一些統(tǒng)計量的值.

5555

Z（%-方）（匕-可

1=1i=li=lZ=1

16.3523.40.541.62

[5]5

表中的=ln匕，匕=lny,u=-^ui,.

5i=i5，=i

根據(jù)散點圖判斷，y=可以作為年銷售量y（萬件）關于年營銷費用x（萬元）的回歸方程.

①求y關于x的回歸方程；

②用所求的回歸方程估計該企業(yè)每年應投入多少營銷費，才能使得該企業(yè)的年收益的預報值達到最大？（收益=銷售

利潤—營銷費用，取e359=36）

附：對于一組數(shù)據(jù)（的,匕），（%,%），…，（"”，""），其回歸直線￡=應+/“的斜率和截距的最小二乘估計分別為

5

/=----------------，a=v-pu.

Z=1

20.（12分）如圖，在四棱錐尸—A6CD中，側(cè)棱底面ABC。，ADUBC,ABC=90°，AD=1,

PA=AB—BC=2>"是棱PB中點.

（1）已知點E在棱BC上，且平面AME//平面PC。，試確定點E的位置并說明理由；

（2）設點N是線段CD上的動點，當點N在何處時，直線與平面R45所成角最大？并求最大角的正弦值.

21.（12分）已知橢圓G:￡+[=l（a〉6〉0）,上頂點為以。,1）,離心率為正，直線/：丁=丘一2交y軸于C點，

a'b'2

交橢圓于P,。兩點，直線BP,3Q分別交x軸于點w,N.

（I）求橢圓G的方程；

（II）求證：S&B0M-SABCN為定值.

22.（10分）隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”的證件之一.若某人報名參加了駕駛證考試，要順利

地拿到駕駛證，他需要通過四個科目的考試，其中科目二為場地考試.在一次報名中，每個學員有5次參加科目二考試

的機會（這5次考試機會中任何一次通過考試，就算順利通過，即進入下一科目考試；若5次都沒有通過，則需重新

報名），其中前2次參加科目二考試免費，若前2次都沒有通過，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補考費.

某駕校對以往2000個學員第1次參加科目二考試進行了統(tǒng)計，得到下表：

考試情況男學員女學員

第1次考科目二人數(shù)1200800

第1次通過科目二人數(shù)960600

第1次未通過科目二人數(shù)240200

若以上表得到的男、女學員第1次通過科目二考試的頻率分別作為此駕校男、女學員每次通過科目二考試的概率，且

每人每次是否通過科目二考試相互獨立.現(xiàn)有一對夫妻同時在此駕校報名參加了駕駛證考試，在本次報名中，若這對夫

妻參加科目二考試的原則為：通過科目二考試或者用完所有機會為止.

(1)求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費的概率；

(2)若這對夫妻前2次參加科目二考試均沒有通過，記這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產(chǎn)生的補考費用之和為

X元，求X的分布列與數(shù)學期望.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減以及采用排除法，可得結(jié)果.

【詳解】

當x>l時，/（x）=ln（x--）,

由y=一L，y=%在（L+8）遞增，

x.

所以1二%-工在。,+8）遞增

X

又y=ln%是增函數(shù)，

所以〃x）=ln（x」）在。,+8）遞增，故排除B、C

X-

當時/（XHeSSG,若X40,1）,則

所以/=COS77%在（0,1）遞減，而>=6’是增函數(shù)

所以〃x）=e8SG在（0,1）遞減，所以A正確，D錯誤

故選：A

本題考查具體函數(shù)的大致圖象的判斷，關鍵在于對復合函數(shù)單調(diào)性的理解，記住常用的結(jié)論：增+增=增，增-減=增，

減+減=減，復合函數(shù)單調(diào)性同增異減，屬中檔題.

2.B

【解析】

由現(xiàn)3%+1=1唱％,可得%=3%,所以數(shù)列｛4｝是公比為3的等比數(shù)列，

9

所以。2+。4+。6=。2+94+81%=914=9,則。2=元，

貝pog］（。3+%+%）—l°gi（3g+27%+243%）=logi3。=—3,故選p

333

點睛：本題考查了等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應用，試題有一定的技巧，屬于中檔試

題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，等比數(shù)列的性質(zhì)和在

使用等比數(shù)列的前〃項和公式時，應該要分類討論，有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程.

3.D

【解析】

根據(jù)三視圖即可求得幾何體表面積，即可解得未知數(shù).

【詳解】

由圖可知，該幾何體是由一個長寬高分別為X,3,1和

一個底面半徑為工，高為5.4-x的圓柱組合而成.

2

該幾何體的表面積為

2(x+3x+3)+^■?(5.4-%)=42.2,

解得x=4,

故選：D.

本題考查由三視圖還原幾何體，以及圓柱和長方體表面積的求解，屬綜合基礎題.

4.D

【解析】

由正弦定理可求得sinA=@,再由角A的范圍可求得角A.

2

【詳解】

由正弦定理可知，一=—也，所以芭-=^^,解得sinA=無，又0°<A<180。，S.a>b,所以A=60°或

sinAsin8sinAsin30°2

1200=

故選：D.

本題主要考查正弦定理，注意角的范圍，是否有兩解的情況，屬于基礎題.

5.B

【解析】

設2=。+歷,。36尺，|z+2—z]=J(a+2)2+(匕—1)2,利用復數(shù)幾何意義計算.

【詳解】

i^：z=a+bi,a,b^R,由已知，a2+b2-1>所以點(a,〃)在單位圓上，

而|z+2-i|=|(a+2)+(6-l)i|=^(?+2)2+(Z?-1)2，-J(a+2)~+(b-1)2表示點(a，b)

到(—2,1)的距離，故|z+2—心J(—2)2+仔+i=i+&.

故選：B.

本題考查求復數(shù)模的最大值,其實本題可以利用不等式\z+2-i\<\z\+\2-i\來解決.

6.C

【解析】

對選項逐個驗證即得答案.

【詳解】

對于4，/(一尤)=lnQT+l)=ln(W+l)=/(x),.?./■(%)是偶函數(shù)，故選項A錯誤；

對于3,/(x)=x-'=-,定義域為{X|XHO},在R上不是單調(diào)函數(shù)，故選項3錯誤；

X

對于C,當尤〉0時，一x<0,x)=—(―尤)~+2(—x)=—x~—2x=—(尤？+2x)=—/(%)；

當尤<0時，一%>0,;./(―x)=(―x)~+2(—x)=x"—2x=—(—廠+2x)=—/；

又x=0時，/(-0)=-/(0)=0.

綜上,對xeR,都有/'(一%)=—/(%),，/(x)是奇函數(shù).

又轉(zhuǎn)0時，/a)=/+2x=(x+l)2—1是開口向上的拋物線，對稱軸x=—1,.??/(九)在［0,+<?)上單調(diào)遞增，

??"(X)是奇函數(shù)，.??/(九)在E上是單調(diào)遞增函數(shù)，故選項C正確；

對于D,/(%)在(—8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+“)上單調(diào)遞增，但/(—l)=g>/⑴=—j.../(可在R上不是單

調(diào)函數(shù)，故選項。錯誤.

故選：C.

本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎題.

7.D

【解析】

先用復數(shù)的除法運算將復數(shù)z化簡，然后用模長公式求z模長.

【詳解】

到2-i(2-z)(l-3z)-1-7/17.

ffl/E.Z—■--------------------------------1

1+3，(l+3z)(l-3z)101010'

本題考查復數(shù)的基本概念和基本運算,屬于基礎題.

8.B

【解析】

根據(jù)復數(shù)的除法法則計算Z,由共朝復數(shù)的概念寫出J

【詳解】

55(2+z)10+5zc.

z=---=---------=-----=2+i

2-i(2-z)(2+z)5

■-z=2-i,

故選：B

本題主要考查了復數(shù)的除法計算，共輾復數(shù)的概念，屬于容易題.

9.A

【解析】

由AC_L3C,P3，平面ABC,可將三棱錐P-ABC還原成長方體，則三棱錐P-ABC的外接球即為長方體的外接球,

進而求解.

【詳解】

由題，因為AC=J5,BC=1,4。，3。,所以.=54。2+8。2=省,

設Pfi=則由PA=2PB,可得后方=2加解得h=l,

可將三棱錐P-A5C還原成如圖所示的長方體，

則三棱錐尸-A3C的外接球即為長方體的外接球，設外接球的半徑為R,則2R=712+(V2)2+12=2，所以R=1，

所以外接球的體積V=

33

故選:A

本題考查三棱錐的外接球體積,考查空間想象能力.

10.D

【解析】

直接根據(jù)折線圖依次判斷每個選項得到答案.

【詳解】

由圖可知月收入的極差為90—30=60,故選項A正確；

1至12月份的利潤分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利潤最高，故選項B正確；

易求得總利潤為380萬元，眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項C正確，選項D錯誤.

故選：D.

本題考查了折線圖，意在考查學生的理解能力和應用能力.

11.A

【解析】

3

如圖設"_L平面5CD,球心。在AF上，根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得AO=—AP,根據(jù)平面向量的加法的幾何意義,

4

重心的性質(zhì)，結(jié)合已知求出x+y+z的值.

【詳解】

如圖設平面5CD,球心。在AE上，由正四面體的性質(zhì)可得：三角形5CD是正三角形，

5F=jx^l2-(1)2=^~,Ap=JF—(#)2=半，在直角三角形尸08中，

OB-=OF-+BF2nOA2=(--—AO)2+

AO=-AF,AF^AB+BF>AF=AD+DF-AF=AC+CF-因為歹為重心，因此EB+EC+FD=6，則

^AB+AC+AD^,因此x=y=z=a，則x+y+z=a，故選A.

本題考查了正四面體的性質(zhì)，考查了平面向量加法的幾何意義，考查了重心的性質(zhì)，屬于中檔題.

12.B

【解析】

4x3

由題得q+d=-5,4^+-^-d=-16,解得。1=-7,d=2,計算可得4.

【詳解】

Oj=-5,S4=-16,q+d=-5,4al■)■――<7=-16,解得％=-7,d=2,

0=%+5d—3.

故選：B

本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，前九項和公式，考查了學生運算求解能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(-4,2)

【解析】

試題分析：因為x+2y=(x+2y)(2+4)=4+勺+'24+2/曳x±=8當且僅當x=2y時取等號，所以

xyxyyxy

nr+2m<8=Y<m<2

考點：基本不等式求最值

5

14.-n

4

【解析】

第一空：將圓G：x2+(y—q)2=l與>=必聯(lián)立，利用△=()計算即可；

第二空：找到兩外切的圓的圓心與半徑的關系4=a,i+*i+),再將。“：為2+(,一4)2=今2與〉=必聯(lián)立，得到

a?=r^+-,與%=*+*+rn結(jié)合可得rn為等差數(shù)列,進而可得rn.

【詳解】

當八=1時，圓G:爐+(y-q)~=1,

與y=必聯(lián)立消去y得V一(20—1)丁+q2-1=。，

則A=(2a]_l)2_4(ar_l)=0,解得q=；；

由圖可知當〃22時，=4-l+7l+G①，

將C“：/+(y—=公與>=x2聯(lián)立消去y得

則A=(2a"—1)2—4(42—眉=0,

整理得,代入①得Y+：=*2+：+*+小

整理得rn-h=1,

則rn="+(〃T)=〃.

故答案為：一；n-

4

本題是拋物線與圓的關系背景下的數(shù)列題，關鍵是找到圓心和半徑的關系，建立遞推式，由遞推式求通項公式，綜合

性較強，是一道難度較大的題目.

15.2

【解析】

設=以3為原點，為工軸建系，則3(0,0),C(?,0),設A(x,y),ywO,

|AB+2AC|=|(2a-3x,-3y)|=3a,利用求向量模的公式，可得卜-g1+y2=a2(y*0),根據(jù)三角形面積公式

進一步求出。的值即為所求.

【詳解】

解：設BC=a,以5為原點，為工軸建系，則3(0,0),C(?,0),設A(羽y),y*0,

i2

由乂板=不5。3,可得馬丁區(qū)+=2.

則BC=a二2.

故答案為：2.

本題考查向量模的計算，建系是關鍵，屬于難題.

16.4

【解析】

直線mx-町-1=0(加>0,孔>0)經(jīng)過圓N+V-2x+2y-1=0的圓心(1,-1),可得機+〃=1,再利用“乘1法”和基

本不等式的性質(zhì)即可得出.

【詳解】

\*mx-ny-1=0(m>0,n>0)經(jīng)過圓N+儼-2x+2y-1=0的圓心(1,-1),

.\m+n-1=0,即m+〃=1.

]|11THnI

/.——k—=(----F—)(m+n)=2H------1---->2+2=4,當且僅當機=九=一時取等號.

mnmnnm2

**?則1—的最小值是4.

mn

故答案為：4.

本題考查了圓的標準方程、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)^+￡=1；(2)①WH；②1

【解析】

(1)根據(jù)題意列出方程組求解即可；

(2)①由原點。為的垂心可得30,"N,MN//X軸，設M(x,y),則N(—x,y),f=4一gy,根據(jù)

麗.西=0求出線段MN的長；

②設A/N中點為D，直線。。與橢圓交于A,B兩點，0為AEMN的重心，則BO=2OD=OA,設MN：y=kx+m,

/(/%),N(%2，%)，則A(玉+%2，乂+%)，當MN斜率不存在時，則O到直線的距離為1,

y=kx+m

（44之+3）玉9+4根化（玉+x）+4m2+6=0,則（4左之+3）/+8/nAx+4m2-12=0,

2田131+4/=12

-Smk4m2-12/日E，,,一旬的）\m\14k2+3

再+x,=———-,x,x=7-----，付出477r2=4匕2+3>根據(jù)d=/求解即可.

一4H+31-24/+3JF7T\4k2+4

【詳解】

b=6a2=4

解:(1)設焦距為2c,由題意知：■b?=a1-c2,<b2=3

clC=1

、

2

22

因此，橢圓C的方程為：—+^=1；

43

（2）①由題意知：BO±MN,故兒W//x軸，設M（x,y）,則N（—x,y）,x2=4-1y2,

BM-ON=—x2+V—yfiy=—y2——4=0,解得：y=y/3或_4^/^,

B,〃不重合，故＞=一生8,X2=—,故MN=2|x|=生恒；

②設中點為。，直線OD與橢圓交于A，3兩點，

。為的重心，則5O=2OD=Q4,

當MN斜率不存在時，則。到直線MN的距離為1；

沒MN：y=kx+m,N（x2,y2）,則A（/+%2，%+%）

看+支=反+21=包*1+5土置=>3x^+43V2=一6

434343

3%%+4（@+m）（Ax2+m）=-6

2

（4左之+3）玉%2+4相化（玉+x2）+4m+6=0

y=kx+m

則（4左2+3）X2+8mAx+4毋-12=0

13/+4/=12

4左2+3—蘇

A=48（4左2+3—加2）>o,-4mk±

x=

4左2+3

-8mk4m2-12

則：%；+X=代入式子得:

24左2+34k~+3

8〃/-6-3"'：卜=Q,4根2=4左2+3

4左2+3

\m\4左2+3

設。到直線MN的距離為d,則〃=^^

jF+l4左2+4

左=0時,%=手;

綜上，原點。到直線距離的最小值為走.

2

本題考查橢圓的方程的知識點，結(jié)合運用向量，韋達定理和點到直線的距離的知識，屬于難題.

18.（0,0）

【解析】

將直線/的極坐標方程和曲線C的參數(shù)方程分別化為直角坐標方程，聯(lián)立直角坐標方程求出交點坐標，結(jié)合X的取值范圍

進行取舍即可.

【詳解】

因為直線I的極坐標方程為8=§(夕eR),

所以直線I的普通方程為y=瓜,

x=2coscif

又因為曲線C的參數(shù)方程為《?、(。為參數(shù))，

y=1+cos2a

所以曲線C的直角坐標方程為y=gx2(xe[-2,2]),

)=瓜rx=0年=2后

聯(lián)立方程41,，解得<八或4,

y=-x2b=0[y=6

因為-2WxW2,所以卜=2石舍去，

y=6

故P點的直角坐標為(0,0).

本題考查極坐標方程、參數(shù)方程與直角坐標方程的互化;考查運算求解能力;熟練掌握極坐標方程、參數(shù)方程與直角坐標

方程的互化公式是求解本題的關鍵;屬于中檔題、?？碱}型.

19.(1)3元.(2)①>=361②216萬元

【解析】

(1)每件產(chǎn)品的銷售利潤為X,由已知可得X的取值，由頻率分布直方圖可得劣質(zhì)品、優(yōu)等品、特優(yōu)品的概率，從

而可得X的概率分布列，依期望公式計算出期望即為平均銷售利潤；

(2)①對y=—取自然對數(shù)，得lny=ln(a?尤")=lna+Z?lnx,

令“=lnx,v=lny,c=lna,則丫=。+/^,這就是線性回歸方程，由所給公式數(shù)據(jù)計算出系數(shù)，得線性回歸方程,

從而可求得y=

111

②求出收益z=3y-x=3x36%^-x=108x^—x,可設/=戶換兀后用導數(shù)求出取大值，

【詳解】

解：(1)設每件產(chǎn)品的銷售利潤為X,則X的可能取值為-0.8,4,6.由頻率分布直方圖可得產(chǎn)品為劣質(zhì)品、優(yōu)

等品、特優(yōu)品的概率分別為0.25、0.65、0.1.

所以P(X=-0.8)=0.25；P(X=4)=0.65；P(X=6)=0.1.所以X的分布列為

X-0.846

P0.250.650.1

所以E(X)=(—0.8)x0.25+4x0.65+6x0.1=3(元).

即每件產(chǎn)品的平均銷售利潤為3元.

(2)①由得Iny=ln(〃,x")=ln〃+blnx,

令"=ln%,v=iny,c=lna,則？=。+力〃，

5

0.541

由表中數(shù)據(jù)可得3=±H----------------

用(均-萬)2L623

1=1

八23411635

則2="—=———=4.68-1.09=3.59,

535

11「.D

所以￡=3.59+-M,即lng=3.59+—lnx=lne3'59-x3,

33

因為取e359=36,所以公=36)，故所求的回歸方程為＞=36；J.

、一11

②設年收益為z萬兀，則z=3y—x=3x36戶-x=108#-x

令r=，＞0，貝1Jz=108f—兒z'=108-3,2=-3(『一36),當0＜『＜6時，z'＞0,

當/＞6時，z'＜0,所以當。=6,即x=216時，z有最大值432.

即該企業(yè)每年應該投入216萬元營銷費，能使得該企業(yè)的年收益的預報值達到最大，最大收益為432萬元.

本題考查頻率分布直方圖，考查隨機變量概率分布列與期望，考查求線性回歸直線方程，及回歸方程的應用.在求指

數(shù)型回歸方程時，可通過取對數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為求線性回歸直線方程，然后再求出指數(shù)型回歸方程.

20.(1)E為8C中點，理由見解析；(2)當點N在線段。C靠近。的三等分點時，直線與平面R45所成角最

大，最大角的正弦值且.

7

【解析】

(1)E為中點，可利用中位線與平行四邊形性質(zhì)證明VE//PC,AE//DC,從而證明平面AME//平面PCD；

(2)以A為原點，分別以AD，AB，AP所在直線為x、V、z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求出當點N在

線段。C靠近。的三等分點時，直線與平面R43所成角最大，并可求出最大角的正弦值.

【詳解】

(1)E為中點，證明如下：

???M.￡分別為中點，

：.ME//PC

又,：MEu平面PDC,PC<=平面PDC

/平面PDC

又?：EC/1AD,且EC=AZ)...四邊形及1Z>C為平行四邊形，

:.AE//DC

同理，AE//平面PDC,又；AEcME=E

二平面AWE//平面PDC

(2)以A為原點，分別以AD，AB，AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系

則A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),￡>(1,0,0),P(0,0,2),M(0,1,1)

設直線MN與平面R鉆所成角為。，麗=/1比則

MN=MA+AD+DN=(2+1,22-1,-1)

取平面PAB的法向量為7=(1,0,0)則

4+1(4+1)2

sin。=cos<MN,n>

J(X+1)2+(22-1)2+15Z2-22+3

(4+1)2=/_]<5

22

令A+l=te[l,2],則52-22+3-5t-2t+3—tn4A210l.一7

所以sin。（且

7

52

當/=—02=—時，等號成立

33

即當點N在線段。?？拷?。的三等分點時，直線與平面PA5所成角最大，最大角的正弦值叵.

7

本題主要考查了平面與平面的平行，直線與平面所成角的求解，考查了學生的直觀想象與運算求解能力.

f1

21.(I)++/=1；(II)S^0M.S^CN=~,證明見解析.

【解析】

（I）根據(jù)題意列出關于。，b,c的方程組，解出a,b,。的值，即可得到橢圓G的方程;

V1—1v

(II)設點尸（%，%）,點。（尤2，%），易求直線的方程為：y—1=」一X,令y=0得，xM=-^,同理可得

石1-%

尤N=Jj，所以

「%

[]3XtX

^?^=-><lxl^l><-><3x|x|=-x|——一|,聯(lián)立直線/與橢圓方程，利用韋達定理代入上式，化

22;v49-3左（玉+%2）+左％%2

簡即可得到%

【詳解】

b-X

a=^2

c_41解得“=1

（I）解：由題意可知:~a~^2

〃2=,2+02c=1

二橢圓G的方程為：-+/=1；

（II）證：設點尸（X],%）,點。（9，%），

y=kx-2

聯(lián)立方程代,消去，得：（1+2嚴）/一8爪+6=0,

8k6

--------7

X,+X7=①,

121+2421+2左2

■.,點尸(%，％),5(0,1),

,%一1八Xx,

，直線8?的方程為：y-i=-一％,令y=0得，x=0）,

石1一%1一%

同理可得陽丁一，0),

113

3xX||

???SMOM。爾.XIXIXM|X-X3X|^|=-X|X.z

MX7VIf172

七聲3王工2

=-x\____2T2_____?=-X\

2I,

4(3-kx1)(3-kx2)49—3k(x1+x2)+kxxx2

6

3