與數(shù)列相結(jié)合的概率綜合問題-2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)之大題專練（解析版）

第四篇概率與統(tǒng)計(jì)

專題05與數(shù)列相結(jié)合的概率綜合問題

常見考點(diǎn)

考點(diǎn)一與數(shù)列相結(jié)合問題

典例1.某商場(chǎng)擬在年末進(jìn)行促銷活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券

"的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（形狀為正方體，六

個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6）,若向上點(diǎn)數(shù)不超2點(diǎn)，獲得1分，否則獲

得2分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計(jì)得分為19分，則游戲結(jié)束，可得到200元禮券，

若累計(jì)得分為20分，則游戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多進(jìn)行20輪游戲.

（1）當(dāng)進(jìn)行完3輪游戲時(shí)，總分為X,求X的期望；

（2）若累計(jì)得分為，的概率為P,,（初始得分為0分，P0=l）.

①證明數(shù)列｛p廠P-｝,（i=l,2,19）是等比數(shù)列；

②求活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率.

【答案】（1）5；（2）①證明見解析；②|x1+[|].

【解析】

【分析】

（1）由題意可知每輪游戲獲得1分的概率為1"獲得2分的概率為,o，而每輪游戲

的結(jié)果互相獨(dú)立，設(shè)進(jìn)行完3輪游戲時(shí)，得1分的次數(shù)為F,所以Y~B13，T，X=6-V,

即可求出X的期望；

（2）①根據(jù)累計(jì)得分為，的概率為P,,分兩種情形討論得分情況，從而得到遞推式

71

￡=§七+飛％?=2,3,…,19）,再根據(jù)構(gòu)造法即可證出數(shù)列出-k｝是等比數(shù)列；

②根據(jù)①可求出P,「PT=（T，再根據(jù)累加法即可求出2,3,…,19）,然后由

2

鳥0=§耳8從而解出.

【詳解】

（1）由題意可知每輪游戲獲得1分的概率為1"獲得2分的概率為：o，設(shè)進(jìn)行完3

-k

輪游戲時(shí)，得1分的次數(shù)為y,所以丫?8得,仆上唱11），左=0,1,2,3,

fflnx=y+2(3-y)=6-y,即隨機(jī)變量x可能取值為3,4,5,6,

[8

P(X=5)=C；

"27,

...X的分布列為：

X3456

1248

P

279927

i948

E（X）=3x——+4x—+5x—+6x——=5.

279927

（2）①證明：n=\,即累計(jì)得分為1分，是第1次擲骰子，向上點(diǎn)數(shù)不超過2點(diǎn),

12

4=2,則《-4=-;，累計(jì)得分為，分的情況有兩種：

2

（1）/=（z-2）+2,即累計(jì)得，-2分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)超過2點(diǎn)，其概率為§匕2,

（II）累計(jì)得分為i-1分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)沒超過2點(diǎn)，得1分，其概率為:匕「

219

"=”+”心2,3,...』9）,“田一（—（—3,19）,

數(shù)列出-小}，M=1，2,…，19）是首項(xiàng)為-g,公比為-g的等比數(shù)列.

②二.數(shù)列出-PT},（，=1,2,19）是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，

Pi_Pi-i=（-?’>

A-ft=-|-，“?'Pi~Pi-\；

各式相加，得：Pi-Po=~^xI—[—：[]'

"J+X訃（1]（，j2,…,19）,

.??活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率為:

【點(diǎn)睛】

本題第一問解題關(guān)鍵是明確得1分的次數(shù)為y服從二項(xiàng)分布，從而找到所求變量x

與y的關(guān)系，列出分布列，求得期望；第二問①主要是遞推式的建立，分析判斷如

何得至Ui分的情況，進(jìn)而得到￡筆2+：4T，利用數(shù)列知識(shí)即可證出，②借由①的

2

結(jié)論，求出口。=2,3,…,19）,分析可知鳥0=§幾，從而解出.

變式1-1.某商場(chǎng)調(diào)研了一年來日銷售額的情況，日銷售額（萬元）服從正態(tài)分布

N（10,4）.為了增加營業(yè)收入，該商場(chǎng)開展“游戲贏獎(jiǎng)券”促銷活動(dòng)，購物滿300元可

以參加1次游戲，游戲規(guī)則如下：有一張共10格的方格子圖，依次編號(hào)為第1格、

第2格、第3格......第10格，游戲開始時(shí)“跳子”在第1格，顧客拋擲一枚均勻

的硬幣，若出現(xiàn)正面，則“跳子”前進(jìn)2格（從第人格到第k+2格），若出現(xiàn)反面，則

“跳子”前進(jìn)1格（從第人格到第左+1格），當(dāng)“跳子”前進(jìn)到第9格或者第10格時(shí)，

游戲結(jié)束.“跳子”落在第9格可以得到20元獎(jiǎng)券，“跳子”落在第10格可以得到50

元獎(jiǎng)券.

（1）根據(jù)調(diào)研情況計(jì)算該商場(chǎng)日銷售額在8萬元到14萬元之間的概率;（參考數(shù)據(jù)：

若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則P（〃-b<J<〃+b）。0.6827,

P（"-2bv〃+2b）h0.9545,PR—3b<^<JLI+3b）?0.9973.）

（2）記“跳子”前進(jìn)到第〃格（上〃W10）的概率為尸“，證明：花，-窄J（2<?<9）是

等比數(shù)列；

（3）求某一位顧客參加一次這樣的游戲獲得獎(jiǎng)券金額的期望.

【答案】（1）0.8186；（2）證明見解析；（3）期望為鴛元.

IZo

【解析】

（1）由自服從正態(tài)分布陽10,4）可得

P（8<§<14工尸（〃一2b<〃+2。）一尸（〃-2b<〃+2工——）；

（2）計(jì)算出［=1、8=g,“跳子”前進(jìn)到第九（3釉9）格的情況得到

匕=3匕一2+；%可得匕-匕2）化簡可得答案；

（3）設(shè)某一位顧客參加一次這樣的游戲獲得獎(jiǎng)券金額為X元，則X的值可取20和

50,

求出對(duì)應(yīng)的概率可列出分布列求出期望.

【詳解】

（1）由」服從正態(tài)分布M10,4）可得:

0.9545-0.6827

P(8<€<14)~0.9545-=0.8186.

2

（2）“跳子”開始在第1格為必然事件，［=1.第一次擲硬幣出現(xiàn)反面，“跳子”移

到第2格，其概率為3，即心=；,

N2

“跳子”前進(jìn)到第,（3別I9）格的情況是下面兩種，而且只有兩種:

①“跳子”先到第〃-2格，又?jǐn)S出正面，其概率為;之2,

②“跳子”先到第”-1格，又?jǐn)S出反面，其概率為:如，

??.《=/"配，

?.?與一小尸0(2剿!9),

(3制9),

:.當(dāng)瑜9時(shí)，數(shù)列匕-加｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為￡-《=4,公比為

（3）設(shè)某一位顧客參加一次這樣的游戲獲得獎(jiǎng)券金額為X元，則X的值可取20和

50,

由（2）可知2（2釉9）,

1-

=|1-（2釉9）,《=1也適合,

1-1

I1+Q}=簽，^o=^=1x|[l-(-l)8

X的分布列為:

X2050

17185

P

256256

r-t.iV廿口十日,17185__76703835/一、

^J^W1lW*￡（X）=—X20+—X5O=—=—（兀）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正態(tài)分布、隨機(jī)變量的分布列，關(guān)鍵點(diǎn)是證明數(shù)列優(yōu)-是等比數(shù)列、

求出X所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率.，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，是一道

綜合題.

變式122020年春天隨著疫情的有效控制，高三學(xué)生開始返校復(fù)課學(xué)習(xí).為了減少

學(xué)生就餐時(shí)的聚集排隊(duì)時(shí)間，學(xué)校食堂從復(fù)課之日起，每天中午都會(huì)提供A、8兩

種套餐（每人每次只能選擇其中一種），經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇A類套

餐的概率為：、選擇3類套餐的概率為，而前一天選擇了A類套餐第二天選擇A類

套餐的概率為了、選擇B套餐的概率為:；前一天選擇8類套餐第二天選擇A類套餐

44

的概率為3、選擇B類套餐的概率也是如此往復(fù).記某同學(xué)第"天選擇A類套餐

的概率為P-

（1）證明數(shù)列［匕-才是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛e｝的通項(xiàng)公式；

（2）記高三某宿舍的3名同學(xué)在復(fù)課第二天選擇A類套餐的人數(shù)為X,求X的分布

列并求E（X）；

（3）為了貫徹五育并舉的教育方針，培養(yǎng)學(xué)生的勞動(dòng)意識(shí)，一個(gè)月后學(xué)校組織學(xué)生

利用課余時(shí)間參加志愿者服務(wù)活動(dòng)，其中有20位學(xué)生負(fù)責(zé)為全體同學(xué)分發(fā)套餐.如

果你是組長，如何安排分發(fā)A、B套餐的同學(xué)的人數(shù)呢，說明理由.

【答案】⑴證明見解析，匕=|-（2）分布列見解析，1；（3）A套餐

的8人，B套餐的12人；理由見解析.

【解析】

【分析】

（1）依題意得CM=CX［+（1一C）xg,根據(jù)遞推關(guān)系即可證明［匕-1，是等比數(shù)列，

利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得［匕-1，的通項(xiàng)，即可求得花｝的通項(xiàng)公式；

（2）依題意求得第二天選擇A、8類套餐的概率，列出X的可能取值，結(jié)合二項(xiàng)分

布求得分布列與數(shù)學(xué)期望；

（3）由｛尺｝的通項(xiàng)公式得根據(jù)總?cè)藬?shù)即可求得分發(fā)A、3套餐的同學(xué)的人

數(shù).

【詳解】

（1）依題意，”叫+（1_匕）4,

24

當(dāng)”=1時(shí)，可得百，

...數(shù)列［e-1）是首項(xiàng)為△公比為-;的等比數(shù)列.

〃515I4）

（2）第二天選擇A類套餐的概率2=|x；+；x；=\

23112

第二天選擇8類套餐的概率?=

A3人在第二天的有X個(gè)人選擇A套餐，

X的所有可能取值為0、1、2、3,

有P(X=A)=cd/J(左=0,1,2,3),

X的分布列為

X0123

8421

p

279927

Q421

故石(X)=0xk+lx-+2x-+3x—=1.

9927

（3）由（1）知：|,

〃51514）

22

???Px?~,即第30次以后購買A套餐的概率約為不

則20x：=8,20-8=12

負(fù)責(zé)A套餐的8人，負(fù)責(zé)B套餐的12人.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：

求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：

（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；

（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；

（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是

否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及

期望計(jì)算公式，簡化計(jì)算）

變式1-3.安慶市某學(xué)校高三年級(jí)開學(xué)之初增加晚自習(xí)，晚飯?jiān)谛Ｊ程镁筒腿藬?shù)增多，

為了緩解就餐壓力，學(xué)校在原有一個(gè)餐廳的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)餐廳，分別記做餐廳

甲和餐廳乙，經(jīng)過一周左右統(tǒng)計(jì)調(diào)研分析：前一天選擇餐廳甲就餐第二天選擇餐廳

甲就餐的概率是25%、選擇餐廳乙就餐的概率為75%,前一天選擇餐廳乙就餐第二

天選擇餐廳乙就餐的概率是50%、選擇餐廳甲就餐的概率也為50%,如此往復(fù).假設(shè)

學(xué)生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是g,擇餐廳乙就餐的概率是:，記某同學(xué)第〃

天選擇甲餐廳就餐的概率為

（1）記某班級(jí)的3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為X,求X的分布列，并求E（X）；

（2）請(qǐng)寫出A.與匕（〃eN*）的遞推關(guān)系;

（3）求數(shù)列｛匕｝的通項(xiàng)公式并幫助學(xué)校解決以下問題：為提高學(xué)生服務(wù)意識(shí)和團(tuán)隊(duì)

合作精神，學(xué)校每天從20個(gè)班級(jí)中每班抽調(diào)一名學(xué)生志愿者為全體學(xué)生提供就餐服

務(wù)工作，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，如何合理分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)？請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）分布列答案見解析，E（X）=I；

（2）匕M=匕+；（〃eN*）；

（3）分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)8人和12人，理由見解析.

【解析】

【分析】

（1）依題意可得X?進(jìn)而可得分布列和期望；

（2）由*1=月'［+（1-勺）xg可得結(jié)果；

2

（3）由（2）求得?，且匕由此可得分配方案.

【詳解】

（1）某同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的概率2=|x；+；x；=；,

某同學(xué)第二天選擇餐廳乙就餐的概率心23112

二3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的人數(shù)為X,則X?8m

23=/）=璘1］（|）化=0,1,2,3）,

；.X的分布列為

X0123

8421

P

279927

故E（X）=3x；=l.

（2）依題意，P“M=P,X,D4即匕「一;匕+：（”"）.

⑶由⑵知心|=-：匕+；（"€N*）,則q+i-p-U匕-!■］（〃€"*）當(dāng)”=1時(shí),

22_2_

可得丁

83"5-15

二數(shù)列，只-才是首項(xiàng)為2公比為廿的等比數(shù)列.

2

匕-g5f+8）,

2

所以，分配到餐廳甲的志愿者人數(shù)為20x^=8,分配到餐廳乙的志愿者人數(shù)為

20—8=12.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（1）問的關(guān)鍵點(diǎn)是：探究得到X?2（3,￡|；后兩問的關(guān)鍵點(diǎn)是得到

遞推關(guān)系月包=-；匕+；（女1）.

典例2.為落實(shí)《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時(shí)代學(xué)校體育工作的意見》，完善學(xué)校體育

“健康知識(shí)+基本運(yùn)動(dòng)技能+專項(xiàng)運(yùn)動(dòng)技能”教學(xué)模式，建立“校內(nèi)競(jìng)賽一校級(jí)聯(lián)賽一

選拔性競(jìng)賽一國際交流比賽”為一體的競(jìng)賽體系，構(gòu)建校、縣（區(qū)）、地（市）、省、

國家五級(jí)學(xué)校體育競(jìng)賽制度.某校開展“陽光體育節(jié)”活動(dòng)，其中傳統(tǒng)項(xiàng)目“定點(diǎn)踢足

球”深受同學(xué)們喜愛.其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行足球定點(diǎn)踢球比賽（每人各踢一次為

一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩

人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；兩人都命中或都未命中，兩人均

得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為5，乙每次踢球命中的概率為I，且各次踢球

互不影響.

（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為X,求X的數(shù)學(xué)期望；

（2）若經(jīng)過九輪踢球，用P，表示經(jīng)過第i輪踢球累計(jì)得分后甲得分高于乙得分的概

率.

①求Pl，Pl）。3；

②規(guī)定A>=。，且有P產(chǎn),請(qǐng)根據(jù)①中P1，P1，。3的值求出A、B,并求

出數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式.

【答案】⑴;⑵①P1=1，=2，。3=；^；②4=:，B=；,匕=*-.

663621677八6）

【解析】

【分析】

（1）X的可能取值為-1,0,1,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列與

期望；

（2）①經(jīng)過2輪投球甲的累計(jì)得分高有兩種情況：一是2輪甲各得1分，

二是2輪中有1輪甲得0分，有1輪甲得1分，由此能求出外.經(jīng)過3輪投球，甲

累計(jì)得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0

分；甲3輪中有1輪得1分,2輪各得0分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得-1分.由

此能求出外.

②推導(dǎo)出Pi=Api+l+Bpi_l，將）。=0,R=]0=《,0=熹，代入得，p,.=JpM+1PT，

63621677

推導(dǎo)出｛P“-P"-J是首項(xiàng)與公比都是!的等比數(shù)列，由此能求出結(jié)果.

O

【詳解】

（1）記一輪踢球，甲命中為事件A,乙命中為事件8,A,8相互獨(dú)立.

17

由題意尸（A）=jP⑻=；甲的得分X的可能取值為T，0,1.

尸（X=T）=P（M）=P0）P（B）=11.￡|X|=:，

P（X=0）=P（A8）+P（而）=P網(wǎng)尸⑻+尸（可P⑻=3|+11-；411一'=；.

P（X=l）=P（AB）=P（A）xP（B）=1x^l-|^=i,

X的分布列為：

X-101

11

P

326

E（X）=-lx—+0x—+lx—=

3266

（2）①由⑴P1=4，

o

P2=P（X=O）?P（X=1）+P（X=1"（X=O）+P（X=1））

經(jīng)過三輪踢球，甲累計(jì)得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪

各得1分，1輪得0分；甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分；甲3輪中有2輪各

得1分，1輪得-1分.

143

x—二---

3216

②\?規(guī)定區(qū)=°,且有Pi=Ap+i+珈I,

,6

A=—

A=A0+Bp。61

;代入得:+

p=Ap+BpPi=-Pi+i~Pi-^

23iB=-

7

?**A+i-P,=|（A-A-i），，數(shù)列｛%是等比數(shù)列,

公比為4=；,首項(xiàng)為口-A>=:，.

oo16J

，4=(P,一%T)+(P“T_P,-2)+…+(8_4)=[,[+…+g=g[l_g

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用待定系數(shù)法得到后，緊扣等比數(shù)列定義是解決問題

的關(guān)鍵.

變式2-1.為迎接2020年國慶節(jié)的到來，某電視臺(tái)舉辦愛國知識(shí)問答競(jìng)賽，每個(gè)人

隨機(jī)抽取五個(gè)問題依次回答，回答每個(gè)問題相互獨(dú)立.若答對(duì)一題可以上升兩個(gè)等級(jí),

回答錯(cuò)誤可以上升一個(gè)等級(jí)，最后看哪位選手的等級(jí)高即可獲勝.甲答對(duì)每個(gè)問題的

1o

概率為“答錯(cuò)的概率為

（1）若甲回答完5個(gè)問題后，甲上的臺(tái)階等級(jí)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）若甲在回答過程中出現(xiàn)在第近22）個(gè)等級(jí)的概率為4，證明：仍-匕）為等比

數(shù)列.

【答案】（1）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：y;（2）證明見解析.

【解析】

【分析】

（1）首先確定X的所有可能取值X=5,6,7,8,9,10,根據(jù)概率公式分別求出對(duì)應(yīng)發(fā)生

的概率，列出分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望；

91

（2）根據(jù)已知的關(guān)系，求出&與《，&的關(guān)系式塔=；月+3電，再通過化簡和

等比數(shù)列的定義求解即可.

【詳解】

解：⑴依題意可得，X=5,6,7,8,9,10,

180

X—=--------

3243

"=7）臼|閭嘿,「國=8）=喏噎,

尸（X=＞需Mg]嘿,尸（X=10）=4+看,

則X的分布列如表所示.

X5678910

32808040101

P

243243243243243243

…、u32/80r80°40c10s120

E(X)=5x-----F6x-------F7x------F8x------F9x------1-10x-----=—

2432432432432432433

（2）處于第，+1個(gè)等級(jí)有兩種情況:

2

由第i等級(jí)到第，+1等級(jí)，其概率為§牛

由第等級(jí)到第，+1等級(jí)，其概率為:電；

711

所以匕1=]4+耳47,所以%「々=-§（￡一4一）,

即4一%3-

所以數(shù)列仍-當(dāng)｝為等比數(shù)列.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率公式、隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能

力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng).其中第二問解題的關(guān)鍵在于尋找匕「與4,九

71

的關(guān)系式，即：膜=”+"心2）,進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的定義證明.

變式2-2.為搶占市場(chǎng)，特斯拉電動(dòng)車近期進(jìn)行了一系列優(yōu)惠促銷方案.要保證品質(zhì)

兼優(yōu),特斯拉上海工廠在車輛出廠前抽取1。0輛Models型汽車作為樣本進(jìn)行了單次

最大續(xù)航里程的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（I）估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間

的中點(diǎn)值代替）.

（2）根據(jù)大量的測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為Mode/3這款汽車的單次最大續(xù)航里程X近似

地服從正態(tài)分布N（〃Q2）,經(jīng)計(jì)算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為50用樣本平

均數(shù)［作為〃的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，現(xiàn)從生產(chǎn)線下任取一輛汽

車，求它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米到400千米之間的概率.

（3）為迅速搶占市場(chǎng)舉行促銷活動(dòng)，特斯拉銷售公司現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，

贏大獎(jiǎng)，送車?！被顒?dòng)，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，指揮車模在方格圖上行進(jìn)，若

車模最終停在“幸運(yùn)之神”方格，則可獲得購車優(yōu)惠券6萬元；若最終停在“贈(zèng)送車?！?/p>

方格時(shí)，則可獲得車模一個(gè).已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是05方格圖上標(biāo)有第

。格、第1格、第2格.....第20格.車模開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，車模向

前移動(dòng)一次.若擲出正面，車模向前移動(dòng)一格（從左到k+1），若擲出反面，車模向前

移動(dòng)兩格（從k到k+2）,直到移到第19格（幸運(yùn)之神）或第20格（贈(zèng)送車模）時(shí)游戲結(jié)

束.設(shè)車模移到第格的概率為月，試證明優(yōu)-只_},（〃22）是等比數(shù)列；若

有6人玩游戲，每人參與一次，求這6人獲得優(yōu)惠券總金額的期望值（結(jié)果精確到1

萬元）.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（〃,4）,則P（〃-。<代〃+0卜0.6827

P（〃一2cr<自V〃+2b）a0.9544,P（/z-3cr<^<//+3cr）?0.9973

【答案】（1）300（千米）；（2）0.8186；（3）證明見解析，優(yōu)惠券總金額的期望24萬

元.

【解析】

（1）利用頻率分布直方圖能估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值.

（2）X服從正態(tài)分布N（300,502）,由此能求出它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米

到400千米之間的概率.

（3）遙控車開始在第0格為必然事件，4=1,第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車移

到第一格，其概率為J，即6=:.遙控車移到第〃（2W〃W19）格的情況是下列兩種，

而且也只有兩種.①遙控車先到第2格，又?jǐn)S出反面，其概率為：只.2,②遙控車

先到第〃-1格，又?jǐn)S出正面，其概率為9-從而匕-肥=-，*-比2），進(jìn)而能

證明當(dāng)2W〃W19時(shí)，數(shù)歹必匕-匕―｝是公比為的等比數(shù)列，由此能求出結(jié)果.

【詳解】

（1）x=0.002x50x205+0.004x50x255+0.009x50x305

-+0.004x50x355+0.001x50x405=300（千米）

（2）因?yàn)閄服從正態(tài)分布N（300,502）

所以P（250<X<400）。0.9544-0,9544~0,6827=0.8186

（3）第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，車模從第0格移到第一格，其概率為g,即移動(dòng)

1113

到第二格有兩類情況+]=.車模移到第〃（3<〃419）格的情況是下列兩種，

而且也只有兩種.

①車模先到第〃一2格，又?jǐn)S出反面，其概率為:匕_2

②車模先到第”-1格，又?jǐn)S出正面，其概率為

所以《=11-2，,P?-

.?.當(dāng)34〃<19時(shí)，數(shù)列代-匕―｝是公比為的等比數(shù)列.

?..《=g，6一勺=卜；：,6_鳥=J,經(jīng)驗(yàn)證n=2也滿足.；?｛匕-匕-｝是公比為彳的

等比數(shù)列.

.*4-卜J'…憶/=13

以上各式相加，得[一[=[一￡|+[-g]+,"+[_￡!

即4-1=

（孔=2,…/9）,經(jīng)檢驗(yàn)〃=1時(shí)也符合.

2

「?獲得優(yōu)惠券的概率%

獲得車模的概率與=g4=g1+[1

1、

2

設(shè)參與游戲的6人獲得優(yōu)惠券的有X人，由題可知X?26卷

J7

2「(1Y°1

???X的期望E(X)=6X§=41-

設(shè)優(yōu)惠卷總金額為y萬元，；1=6丫

優(yōu)惠券總金額的期望EC）=E（6X）=4合24萬元

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：由于頻率分布直方圖中是沒有樣本數(shù)據(jù)的，平均值等于每個(gè)小長方形面

積乘每組橫坐標(biāo)的中點(diǎn)，然后相加求和，且所有矩形的面積之和為L

變式2-3.某校園格局呈現(xiàn)四排八棟分布，學(xué)生從高一入學(xué)到高三畢業(yè)需踏著層層臺(tái)

階登攀，這其中寓意著學(xué)校對(duì)學(xué)生的期盼與激勵(lì).現(xiàn)假設(shè)臺(tái)階標(biāo)有第0,1,2,

50級(jí)，有一位同學(xué)拋擲一枚均勻質(zhì)地的骰子進(jìn)行登攀臺(tái)階游戲，這位同學(xué)開始時(shí)位

于第。級(jí)，若擲出偶數(shù)點(diǎn)，則向上一步登一級(jí)臺(tái)階，若擲出奇數(shù)點(diǎn)，則向上一步登

兩級(jí)臺(tái)階，直到登上第49級(jí)（成功）或第50級(jí)（失?。?，游戲結(jié)束.設(shè)X（〃）為登

攀至第〃級(jí)的步數(shù)（1W〃W5O）,這位同學(xué)登到第〃級(jí)的概率為P,.

（I）求X⑶的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（II）證明：仍-勺7｝（2<〃<49）為等比數(shù)列.

【答案】（I）分布列見解析，y;（II）證明見解析.

【解析】

【分析】

(I)由題意，X⑶登至第3級(jí)的基本事件｛3次偶數(shù)，1次奇數(shù)1次偶數(shù)｝,即x⑶

可能取值為2,3,每次擲奇數(shù)、偶數(shù)的概率都為根據(jù)二項(xiàng)分布，并結(jié)合古典概

型求概率，寫出分布列并出求期望；

(II)從第〃-2級(jí)登至第〃級(jí)的概率為從第1級(jí)登至第〃級(jí)的概率為5，由條

件概率及概率加法公式得匕=；仍7+匕2)并整理，又4=1/=：即可證等比數(shù)列.

【詳解】

(I)由定義知，X⑶可能取值為2,3.

j_

21

根據(jù)條件概率計(jì)算公式得：P(X⑶=2)==

55

8

???X⑶的分布列為

4111

???E(X(3))=2x-+3x-=y.

(II)證明：由題意，匕=1%+%)，則匕-*=-3(射-匕_2)(2"449)；

又i=—

數(shù)歹K只-aT｝(1<"<49)是首項(xiàng)、公比均為-;的等比數(shù)列.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

(1)由登至第〃級(jí)的各個(gè)基本事件都是獨(dú)立試驗(yàn)，應(yīng)用二項(xiàng)分布公式求概率，再由

概率加法公式，結(jié)合古典概率求登至第”級(jí)概率；

(2)理解登至第"級(jí)可以從第"-2級(jí)或第"-1級(jí)一次性完成，結(jié)合概率加法公式確

定A，A-%2的關(guān)系式.

鞏固練習(xí)

練習(xí)一與數(shù)列相結(jié)合問題

1.某景點(diǎn)上山共有999級(jí)臺(tái)階，寓意長長久久.甲上臺(tái)階時(shí)，可以一步上一個(gè)臺(tái)階，

也可以一步上兩個(gè)臺(tái)階，若甲每步上一個(gè)臺(tái)階的概率為g,每步上兩個(gè)臺(tái)階的概率

為：，為了簡便描述問題，我們約定，甲從0級(jí)臺(tái)階開始向上走，一步走一個(gè)臺(tái)階

記1分，一步走兩個(gè)臺(tái)階記2分，記甲登上第〃個(gè)臺(tái)階的概率為匕，其中“eN*,且

?<998.

⑴若甲走3步時(shí)所得分?jǐn)?shù)為X,求X的概率分布；

(2)證明：數(shù)列花+「〃｝是等比數(shù)列;

⑶求甲在登山過程中，恰好登上第99級(jí)臺(tái)階的概率.

【答案】(1)分布列見解析

(2)證明見解析

34(2『

⑶二十日

【解析】

【分析】

(1)考慮甲走3步時(shí)，是一步上一個(gè)臺(tái)階還是一步上兩個(gè)臺(tái)階，從而寫出X的所有可

能取值，求出每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，即可得X的分布列；

(2)由題意可得到遞推式以2=(之|+；匕，構(gòu)造數(shù)列，從而證明結(jié)論；

(3)利用(2)的結(jié)論，采用累加求和，結(jié)合等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，求得答案.

(1)

由題意可得X的所有可能取值為3,4,5,6,

尸(X=3)=0V，尸(X=4)=C；x|d

P(X=5)=C；x]|"=。尸—6)=4*,

，X的分布列為:

(3)

由(2)可得&=(&->)+(&一>)+…+(上-4)+4

2.近年來，新能源汽車產(chǎn)業(yè)大規(guī)模發(fā)展，某汽車產(chǎn)品自生產(chǎn)并投人市場(chǎng)以來，受到

多位消費(fèi)者質(zhì)疑其電池產(chǎn)品質(zhì)量，汽車廠家提供甲、乙兩家第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)

行質(zhì)量檢測(cè)，邀請(qǐng)多位車主進(jìn)行選擇，每位車主只能挑選一家.若選擇甲機(jī)構(gòu)記1分，

若選擇乙機(jī)構(gòu)記2分，每位車主選擇兩個(gè)機(jī)構(gòu)的概率相等，且相互獨(dú)立.

(1)若參加的車主有3人，記總得分為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)若有位車主，記總得分恰好為〃分的概率為｛%｝,求數(shù)列位,｝的通項(xiàng)公

式；

⑶在(2)的條件下，汽車廠商決定總得分為99分或100分時(shí)就停止計(jì)分，若總得

為99分就選甲機(jī)構(gòu)，總得分為100分就選乙機(jī)構(gòu)，請(qǐng)分析這種方案是否合理.

【答案】(1)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：

⑶這方案不合理，分析答案見解析.

【解析】

【分析】

(1)由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有3,4,5,6.分別求得隨機(jī)變量取每一

值時(shí)的概率得其分布列，由數(shù)學(xué)期望公式可求得答案；

(2)依題意，總得分恰好為九分時(shí)，得不到〃分的情況是先得(〃-1)分，再得,

1I

概率為即有1-4=5〃,7，由此可求得答案;

(3)由(2)求得〃99，"100,比較可得結(jié)論.

(1)

解：由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有3,4,5,6.

p(X=3)=I|=gP(X=5)=C|-Ihr

P(X=6)=

?,?隨機(jī)變量X的分布列如下表所示:

13319

，E(X)=3x—+4x—+5x—+6x—=—

88882

(2)

解：依題意，總得分恰好為〃分時(shí)，得不到〃分的情況是先得(〃-1)分，再得2

分，概率為:q

n-\，

21

a

/.l-a=~n,-\，即見%

n32I-

21211n-1211n-1

又％=p

3662362

(3)

］、98

212_21n"2

解：因?yàn)?。券〈?0,00=〉一，“100>"99，

36233-623

???選擇乙機(jī)構(gòu)的概率大于甲機(jī)構(gòu)，這方案不合理.

3.武漢又稱江城，它不僅有深厚的歷史積淀與豐富的民俗文化，還有眾多名勝古跡

與旅游景點(diǎn)，其中黃鶴樓與東湖被稱為武漢的兩張名片.為合理配置旅游資源，現(xiàn)對(duì)

某日已游覽黃鶴樓景點(diǎn)的游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查，若不繼續(xù)游玩東湖記1分，繼續(xù)

游玩東湖記2分，每位游客游玩東湖的概率均為游客是否游玩東湖相互獨(dú)立.

（1）若從游客中隨機(jī)抽取加人，記總分恰為加分的概率為求數(shù)列｛4｝的前10

項(xiàng)和；

（2）在對(duì)所有游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查過程中，記已調(diào)查過的游客的累計(jì)得分恰為〃

分的概率為紇，探討紇與紇-之間的關(guān)系，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

【答案】⑴黑；⑵紇=一那+1,紇=尹.3?

【解析】

【分析】

（1）由題意求出4,利用等比數(shù)列求和即可；

（2）根據(jù)概率關(guān)系可得紇=-：紇-+1,構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式即可.

【詳解】

（1）總分恰為加分的概率為4=（［，

...數(shù)歹K4｝是首項(xiàng)為公比為3的等比數(shù)列，

貝U其前10項(xiàng)和S10==黑.

1024

2

（2）已調(diào)查過的游客的累計(jì)得分恰為〃分的概率為紇，得不到〃分的情況只有先得

"-1分，再得2分，概率為:紇一用=；.

：A-B,=^Bnl,即打=一gqi+l,

.??數(shù)列［紇-幺是首項(xiàng)為-1，公比為的等比數(shù)列，

〔力62

4.某植物學(xué)家培養(yǎng)出一種觀賞性植物，會(huì)開出紅花或黃花，已知該植物第一代開紅

花和黃花的概率都是從第二代開始，若上一代開紅花，則這一代開紅花的概率

1o3

是:，開黃花的概率是:，若上一代開黃花，則這一代開紅花的概率是g,開黃花的

概率是:2，記第"代開紅花的概率是P",第”代開黃花的概率為縱，

(1)求。2；

(2)試求數(shù)列｛2｝(“€2)的通項(xiàng)公式；

(3)第,(女心會(huì)2)代開哪種顏色的花的概率更大.

【答案】(1)必=(；(2)Pn=~pn_l；(3)第〃代開黃花的概率更大.

【解析】

【分析】

13

(1)由。2=§0+/計(jì)算；

(2)由關(guān)系式瞑=乩+*1-外)可得卜"-"是等比數(shù)列，從而求得P.；

(3)由P,的表達(dá)式可得從而%=l-p,N；,從而可得結(jié)論.

【詳解】

解(1)第二代開紅花包含兩個(gè)互斥事件，即第一代開紅花后第二代也開紅花，第一

代開黃花而第二代開紅花，

故由網(wǎng)=；，得：

1人\37

P2=A--+(I-A)--=—?

(2)由題意可知，第九代開紅花的概率與第〃-1代的開花的情況相關(guān)，故有

_1rl、3_43

PnPn-l+Pn-\),~^=~~^Pn-\+

94(9)

貝解。"一歷=-"-一歷｝

上十9191

FHJPi==，

11921938

所以數(shù)列［外-得］是以4為首項(xiàng)，-白為公比的等比數(shù)列.

〔iyJ3o1J

n-\

所以。"一，1

二——XI,所以必=

38

2±r±T%2±i

(3)由(2)+x+=

1938I15)19382

故有當(dāng)〃eN+時(shí)，P"Vg,因此第〃代開黃花的概率更大.

5.有一對(duì)夫妻打算購房，對(duì)本城市30個(gè)樓盤的均價(jià)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下頻數(shù)分

布表：

均價(jià)X（單位：千元）[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)[8⑼[910]

頻數(shù)22111041

（1）若同一組中的數(shù)才居用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，年樣本平均數(shù)最作為〃的近似

值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為b的估計(jì)值，現(xiàn)任取一個(gè)樓盤的均價(jià)X,假定x?，

求均價(jià)恰在8.12千元到9.24千元之間的概率；

（2）經(jīng)過一番比較，這對(duì)夫妻選定了一個(gè)自己滿意的樓盤，恰巧該樓盤推出了趣味

蹦臺(tái)階送憂惠活動(dòng)，由兩個(gè)客戶配合完成該活動(dòng)，在一個(gè)口袋中有大小材質(zhì)均相同

的紅球40個(gè)，黑球20個(gè)，客戶甲可隨機(jī)從口袋中取出一個(gè)球，取后放回，若取出

的是紅球，則客戶乙向上蹦兩個(gè)臺(tái)階，若取出的是黑球，則客戶乙向上蹦一個(gè)臺(tái)階，

直到客戶乙蹦上第5個(gè)臺(tái)階（每平方米優(yōu)惠0.3千元）或第6個(gè)臺(tái)階（每平方米優(yōu)

惠3千元）時(shí)（活動(dòng)開始時(shí)的位置記為第0個(gè)臺(tái)階），游戲結(jié)束.

①設(shè)客戶乙站到第”（OWwV6,〃eN）個(gè)臺(tái)階的概率為匕，證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列

花-晶｝是等比數(shù)列;

②若不參加蹦臺(tái)階活動(dòng)，則直接每平方米優(yōu)惠1.4千元，為了獲得更大的優(yōu)惠幅度,

請(qǐng)問該對(duì)夫妻是否應(yīng)參與蹦臺(tái)階活動(dòng).

參考數(shù)據(jù)：取<^=1.12,[g]=0.13.若X?則尸（〃一b<jW〃+b）=0.68,

P"-2b<&W〃+2。卜0.95,P（/z-3cr<^<〃+3cr）a0.997.

【答案】（1）0.135；（2）①證明見解析；②應(yīng)參與.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算均值與方差，得X?N（7,L25）,然后由對(duì)稱性和特定區(qū)間

的概率得出結(jié)論；

（2）①由已知此=1,耳=；,而“22時(shí)，即客戶到第"人臺(tái)階分為兩種情況：一是

從第1個(gè)臺(tái)階跳一級(jí)過來，另一個(gè)是從第〃-2個(gè)臺(tái)階跳2級(jí)過來，由此可得月遞

推關(guān)系，變形后可證題設(shè)結(jié)論;

②利用①求得P,,，計(jì)算參加活動(dòng)的期望值。-38+3及與1.4比較可得.

【詳解】

x=4.5x—+5.5x—+6.5xH7.5x—+8.5x—+9.5x—=7

(1)+

3030303030

77iiin

/=(4.5—7>x—+(5.5—7yx—+(6.5-7)2x—+(7.5-7)2x—

30303030

41

+(8.5-7)29x—+(9.5-7)92x—=1.25.

3030

因?yàn)?=%=7,S2=1.25,(J=s=1.12,所以X?N(7,L25).

0.95-0.68

所以P(8.12vXW9.24)=Q13

2

（2）①證明：客戶開始游戲時(shí)在第0個(gè)臺(tái)階為必然事件，故4=1,客戶甲第一次

摸得黑球，客戶乙邁上第一個(gè)臺(tái)階，其概率為，故

客戶乙邁入第n（2<"W5）個(gè)臺(tái)階的情況為下列兩種，而且也只有兩種.

2

一是客戶乙先到第〃-2格，客戶甲又摸出紅球，其概率為§匕2；

二是客戶乙先到第1格，客戶甲又摸出黑球，其概率為;

122

所以匕=§匕―+§Pn2，則P?~匕T=一§（尺T一匕一2）.

所以當(dāng)1VK5時(shí)，數(shù)列憶-加｝是首項(xiàng)為片-E=J,公比為的等比數(shù)歹U.

2

②由①知，當(dāng)時(shí)，P"一

3

所以匕-用=仍-4）+（2-幻+…+（只-匕-J

23

22222

+++-??+1-

33353

整理得匕=

且《亭=：|[|[=。452.

設(shè)這對(duì)夫妻參與游戲獲得優(yōu)惠的期望為每平方米丫千元,

貝|J￡(Y)=034+3e=0.3x0.548+3x0.452=1.5204(千元).

因?yàn)?.5204>1.4,所以參與游戲比較劃算.

6.根據(jù)各方達(dá)成的共識(shí)，軍運(yùn)會(huì)于2019年10月18日至27日在武漢舉行，賽期

10天，共設(shè)置射擊、游泳、田徑、籃球等27個(gè)大項(xiàng)、329個(gè)小項(xiàng).其中，空軍五項(xiàng)、

軍事五項(xiàng)、海軍五項(xiàng)、定向越野和跳傘5個(gè)項(xiàng)