人教版九年級數(shù)學(xué)下冊知識點

九年級下冊（人教版數(shù)學(xué)）知識點匯總

目錄

反比例函數(shù)....................................................................................1

26.1反比例函數(shù)..........................................................................1

?反比例函數(shù)的定義..................................................................1

?反比例函數(shù)的圖像..................................................................1

?反比例函數(shù)圖像的對稱性...........................................................1

?反比例函數(shù)的性質(zhì)..................................................................1

?反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.......................................................2

?反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征.....................................................2

?待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式.....................................................2

?反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題...................................................3

26.2實際問題與反比例函數(shù)...............................................................3

?根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)關(guān)系式...................................................3

?反比例函數(shù)的應(yīng)用..................................................................3

相似..........................................................................................5

27.1圖形的相似..........................................................................5

?相似圖形...........................................................................5

27.2相似三角形..........................................................................5

?相似三角形的判定.................................................................5

?相似三角形的應(yīng)用.................................................................5

?相似多邊形的性質(zhì).................................................................5

?相似三角形的性質(zhì).................................................................6

?相似三角形的判定與性質(zhì)...........................................................6

?作圖一相似變換.....................................................................6

?射影定理..........................................................................6

27.3位似................................................................................7

?位似變換...........................................................................7

?作圖-位似變換......................................................................7

銳角三角函數(shù).................................................................................7

28.1銳角三角函數(shù)........................................................................8

?銳角三角函數(shù)的定義...............................................................8

?銳角三角函數(shù)的增減性.............................................................8

?同角三角函數(shù)的關(guān)系................................................................8

?互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系...........................................................8

?特殊角的三角函數(shù)值...............................................................9

28.2解直角三角形及其應(yīng)用...............................................................9

?解直角三角形......................................................................9

?解直角三角形的應(yīng)用...............................................................9

?解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問題..................................................9

?解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題.................................................10

?解直角三角形的應(yīng)用一方向角問題...................................................10

投影與視圖...................................................................................10

29.1投影...............................................................................11

?平行投影..........................................................................11

?中心投影..........................................................................11

?視點、視角和盲區(qū).................................................................11

29.2三視圖.............................................................................11

?簡單幾何體的三視圖..............................................................11

?簡單組合體的三視圖..............................................................12

?由三視圖判定幾何體...............................................................12

?作圖一三視圖......................................................................12

29.3課題學(xué)習(xí)、制作立體模型............................................................12

?課題學(xué)習(xí)制作立體模型............................................................13

II

反比例函數(shù)

26.1反比例函數(shù)

?反比例函數(shù)的定義

【反比例函數(shù)的概念】

形如回的函數(shù)稱為反比例函數(shù).其中是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于的一切實數(shù).

【反比例函數(shù)的判斷】

?判斷一個函數(shù)是否是反比例函數(shù)，首先看看兩個變量是否具有反比例關(guān)系，然后根據(jù)反比例函數(shù)的意

義去判斷，其形式為團或回.

?反比例函數(shù)的圖像

【反比例函數(shù)的圖象】

反比例函數(shù)國的圖象是由兩條曲線組成的，這兩條曲線通常稱為雙曲線

①當k>0時，兩個分支分別位于第一、三象限內(nèi)；當k<0時，兩個分支分別位于第二、四象限

②k>0

?反比例函數(shù)圖像的對稱性

【反比例函數(shù)圖象的對稱性】

1.反比例函數(shù)圖象本身既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，

對稱軸分別是：①二、四象限的角平分線y=-x；一、三象限的角平分線y=x；

對稱中心是：坐標原點.

?2.若經(jīng)過原點的直線與反比例函數(shù)交于兩點，則這兩點關(guān)于原點對稱；

?3、反比例函數(shù)國與團的圖象關(guān)于x軸,y軸對稱.

?反比例函數(shù)的性質(zhì)

1

斤的符號圖像所過象限性質(zhì)

二

在每個象限內(nèi)，

左〉0第一、三象限

V隨X的增大而減小

4

在每個象限內(nèi)，

左VO第二、四象限

工F隨x的增大而增大

0

?反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義

【反比例系數(shù)的幾何意義】

1.在反比例函數(shù)國圖象中任取一點，過這一個點向X軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定

值固

?2.在反比例函數(shù)的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構(gòu)成的三角形的面

積是回，且保持不變.

?反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征

【反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征】

1.若點在反比例函數(shù)圖象上，則點的橫縱坐標滿足反比例函數(shù)解析式

?2.若點回在反比例函數(shù)圖象上，貝岫也一定在反比例函數(shù)圖象上

?3.若點A(x,y)在反比例函數(shù)團的圖像上，則xy=k

?待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式

【待定系數(shù)求反比例函數(shù)解析式的一般步驟】

k

⑴設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解析式,一，伏為常數(shù)，k盧0)；

(2)把已知條件(自變量與函數(shù)的對應(yīng)值)帶入解析式，得到待定系數(shù)的方程；

⑶解方程，求出待定系數(shù)；

⑷寫出解析式.

2

?反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

【反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點】

1.(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標時，先把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解，則

兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點；

(2)已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把點的坐標帶入函數(shù)解析式可求得函數(shù)關(guān)系式或系數(shù)間的等

量關(guān)系.

2.判斷正比例函數(shù)回和反比例函數(shù)團在同一直角坐標系中的交點個數(shù)可總結(jié)為：

⑴當kl與k2同號時，正比例函數(shù)國和反比例函數(shù)團在同一直角坐標系中有2個交點；

(2)當kl與k2異號時，正比例函數(shù)目和反比例函數(shù)團在同一直角坐標系中有0個交點.

26.2實際問題與反比例函數(shù)

?根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)關(guān)系式

【列反比例函數(shù)關(guān)系式的一般解題思路】

根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)關(guān)系式，注意分析問題中變量之間的聯(lián)系，建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，在實

際問題中，往往要結(jié)合題目的實際意義去分析.首先弄清題意，找出等量關(guān)系，再進行等式變形即可得到

反比例函數(shù)關(guān)系式.

根據(jù)圖象去求反比例函數(shù)的解析式，或是知道一組自變量與函數(shù)值去求解析式，都是利用待定系數(shù)法去完

成的.

注意：要根據(jù)實際意義確定自變量的取值范圍.

【根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)的步驟】

步驟1：審：審清題意,找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關(guān)系。

?步驟2：設(shè)：根據(jù)常量與變量之間的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示。

?步驟3：歹!］：由題目的已知條件列出方程，求出待定系數(shù)。

?反比例函數(shù)的應(yīng)用

【利用反比例函數(shù)解決實際問題的步驟】

審：審清題意,找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關(guān)系。

設(shè)：根據(jù)常量與變量之間的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示。

列：由題目的已知條件列出方程，求出待定系數(shù)。

寫：寫出函數(shù)解析式,并注意解析式中變量的取值范圍。

解：用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實際問題。

3

［由題意畫圖象?----------

______________________建立反比例_

，實際、一應(yīng)用現(xiàn)實生舌中函數(shù)模型_,由圖象榴析式

I問題廠〉的反比例關(guān)系------------------)----------------

運用反比例函數(shù)的性質(zhì)

4

相似

27.1圖形的相似

?相似圖形

【相似圖形的定義】

相似圖形：我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形.

兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到；

全等圖形可以看成是一種特殊的相似圖形，即不僅形狀相同，大小也相同；

判斷兩個圖形是否相似，就是看兩個圖形是不是形狀相同，與圖形的大小、位置無關(guān)，這也是相似圖形的

本質(zhì).

27.2相似三角形

?相似三角形的判定

【相似三角形的判定定理】

1.平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

這是判定三角形相似的一種基本方法.相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應(yīng)用時

要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形.

2.三邊法：三邊成比例的兩個三角形相似；

?3.兩邊及其夾角法：兩組成比例且夾角相等的兩個三角形相似；

?4、兩角法：有兩角相等的兩個三角形相似.

?相似三角形的應(yīng)用

【相似三角形的應(yīng)用】

用相似解決實際生活中的問題，可依據(jù)實際問題的背景抽象出三角形，構(gòu)建相似的模型，運用相似的性質(zhì)

和判定得出數(shù)學(xué)問題的答案，從而求得實際問題的結(jié)果

1.利用影長測量物體的高度.其測量原理為：測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性

質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決.

?2、利用相似測量河的寬度（測量距離）.其測量原理為：測量不能直接到達的兩點間的距離，常常構(gòu)

造“A”型或“X”型相似圖，三點應(yīng)在一條直線上.必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量

構(gòu)造直角三角形.

?3、借助標桿或直尺測量物體的高度.

?相似多邊形的性質(zhì)

【相似多邊形定義】

如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形.相似多邊形

對應(yīng)邊的比叫做相似比.

【相似多邊形的性質(zhì)】

5

①對應(yīng)角相等；

?②對應(yīng)邊的比相等.

?相似三角形的性質(zhì)

【相似三角形的定義】

如果兩個三角形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似.

【相似三角形的性質(zhì)】

（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.

（2）相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；

相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比.

?（3）相似三角形的面積的比等于相似比的平方.

?相似三角形的判定與性質(zhì)

【相似三角形的判定】

1.平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

這是判定三角形相似的一種基本方法.相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應(yīng)用時

要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形.

2.三邊法：三邊成比例的兩個三角形相似；

3.兩邊及其夾角法：兩組成比例且夾角相等的兩個三角形相似；

4、兩角法：有兩角相等的兩個三角形相似.

【相似三角形的性質(zhì)】

1.相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.

2.相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；

相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比.

?3、相似三角形的面積的比等于相似比的平方.

?作圖-相似變換

【相似變換的作圖】

1.相似圖形的作圖在沒有明確規(guī)定的情況下，我們可以利用相似的基本圖形“A”型和“X”型進行簡單的

相似變換作圖.如圖所示：

?2.如果題目有條件限制，可根據(jù)相似三角形的判定條件作為作圖的依據(jù).比較簡單的是把原三角形的

三邊對應(yīng)的縮小或放大一定的比例即可得到對應(yīng)的相似圖形.

?射影定理

6

【射影定理內(nèi)容】

1.直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項.

2、每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項.

【射影定理數(shù)學(xué)語言】

團中,EI,AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：

①AD2=BD?DC

（2）AB2=BDBC

AC2=CDBC

A

BDC

27.3位似

?位似變換

【位似圖形的定義】

兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位

似中心.

注意：

①兩個圖形必須是相似圖形；

②對應(yīng)點的連線都經(jīng)過同一點；

③對應(yīng)邊平行或者位于同一條直線上.

④位似圖形上任意一對對應(yīng)點,到位似中心的距離之比等于相似比

【位似圖形與坐標】

?在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的

比等于k或-k.

?作圖-位似變換

【畫位似圖形的一般步驟】

1.確定位似中心；

2.分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點并延長；

3.根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點；

4、順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形.

借助橡皮筋、方格紙、格點圖等簡易工具可將圖形放大或縮小，借助計算機也很好地將一個圖形放大或縮

小.

7

銳角三角函數(shù)

28.1銳角三角函數(shù)

?銳角三角函數(shù)的定義

【正弦、余弦、正切的概念】

在團中，固

1、正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做團的正弦，記作回.

即斜邊c

2.余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做回的余弦，記作回.

3.正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做回的正切，記作畫

N-4的對邊a

tanA=

即乙4的鄰邊=石

【銳角三角函數(shù)的定義】

?銳角A的正弦、余弦、正切都叫做回的銳角三角函數(shù).

?銳角三角函數(shù)的增減性

【增減規(guī)律】

1.當角度在團間變化時，

（1）正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；

（2）余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?/p>

（3）正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?

?2.當角度在團間變化時，團同tanA>0.

?注：銳角三角函數(shù)值都是正值.

?同角三角函數(shù)的關(guān)系

【平方關(guān)系】

sin2A-\-cos2A=1

【積的關(guān)系（正余弦與正切之間的關(guān)系）】

?一個角的正切值等于這個角的正弦與余弦的比，即回或固

?互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系

【正余弦之間關(guān)系】

在直角三角形中,團時，正余弦之間的關(guān)系為：

①一個角的正弦值等于這個角的余角的余弦值，即回;

②一個角的余弦值等于這個角的余角的正弦值，即回;

也可以理解成若回，那么回或固

【互余兩角正切之間關(guān)系】

8

?在直角三角形中,回時，一個角的正切值乘以其余角的正切值積為1,即回

?特殊角的三角函數(shù)值

30°,45。、60。角的三角函數(shù)值

30°45°60°

1

sina或正

222

1

cosa在立

222

taila也1后

3

28.2解直角三角形及其應(yīng)用

?解直角三角形

【解直角三角形的概念】

一般地，在直角三角形中，除直角外，共有5個元素，即3條邊和2個銳角.由直角三角形中除直角外的已

知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形.

【解直角三角形的類型與解法】

已知條件解法步驟圖示

由tanA=7,求NA;

兩直角邊（如a,b）b

22

兩zB=90°-zA,c=yja+bRt^ABC

邊由sinA=-,求NA;

cB

斜邊，一直角邊（如）2

c,azB=90°-zA,b=Vc—a2一

一直角銳角，鄰邊（如NA,b）zB=90°-zA,a=b*tanA,c='一

cosAa

邊邊和

銳角，對邊（如N）zB-90-zA,b------c-.......A

T兌角A,atanAsinAbc

角

斜邊，銳角（如c,NA）zB=90°-zA,a=c*sinA,b=c*cosA

?解直角三角形的應(yīng)用

【解三角函數(shù)應(yīng)用題的一般過程】

1.將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）.

?2、根據(jù)題目已知特點選用適當銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)

化得到實際問題的答案

?解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題

【坡度和坡角的定義】

坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作團；

坡度：坡面的鉛垂高度和水平長度的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作，

【坡度與坡角的關(guān)系】

坡度等于坡角的正切值，即固坡角越大，坡度也就越大.

9

?解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題

【概念】

仰角和俯角：它們都是視線與水平線所成的角，如圖，視線在水平線上方的角叫做仰角；視線在水平線下

方的角叫做俯角

?解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題

【方向角的定義】

指北或指南方向線與目標方向所成的小于90。的角叫做方向角.

【方向角的表示形式】

方向角是指北或指南方向線與目標方向線所成的角，所以方向角都寫成“北偏……?‘南偏……”的形式，而

一般不寫成“西偏……東偏……”的形式.例如：北偏東30。，南偏東45。，其中南偏45。東習(xí)慣上又叫做

東南方向，北偏東45。習(xí)慣上又叫東北方向，北偏西45。習(xí)慣上又叫做西北方向，南偏西45。習(xí)慣上又叫西南

方向.

10

投影與視圖

29.1投影

?平行投影

【平行投影的概念】

由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影.

【平行投影的特征】

1.等高的物體垂直于地面放置時，在太陽光下，它們的影子一樣長；

2.等長的物體平行于地面放置時，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度；

3、兩個物體豎直放在地面上，兩個物體及它們各自的影子及光線構(gòu)成的兩個直角三角形相似，相似三角形

對應(yīng)邊成比例.

【平行投影的變化規(guī)律】

1.太陽光線下物體影子的長短不僅與物體的高度有關(guān)，