《兩個平面平行的判定和性質(zhì)》課堂教學(xué)實錄

第11頁共12頁《兩個平面平行的判定和性質(zhì)》課堂教學(xué)實錄（一）一、素質(zhì)教育目標(biāo)（一）知識教學(xué)點1．兩個平面平行的定義．2．兩個平面的位置關(guān)系及畫法．3．兩個平面平行的判定．（二）能力訓(xùn)練點1．理解并掌握兩個平面平行的定義．2．掌握兩個平面的位置關(guān)系應(yīng)用了類比的方法，體現(xiàn)了分類的數(shù)學(xué)思維方法．3．會畫平行或相交平面的空間圖形，并用字母或符號表示，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力．4．掌握兩個平面的判定定理的證明，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力．（三）德育滲透點讓學(xué)生認(rèn)識研究兩個平面的位置關(guān)系以及掌握和應(yīng)用兩個平面平行的判定是實際生產(chǎn)的需要，體現(xiàn)了理論聯(lián)系實踐的原則，并更好地培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力．二、教學(xué)重點、難點、疑點及解決方法1．教學(xué)重點：掌握兩個平面的位置關(guān)系；掌握兩個平面平行的判定．2．教學(xué)難點：掌握兩個平面平行的判定定理的證明及其應(yīng)用．3．教學(xué)疑點：正確理解并應(yīng)用兩個平面平行的判定定理時，要注意定理中的關(guān)鍵詞：相交．三、課時安排1．12兩個平面的位置關(guān)系及1．13兩個平面平行的判定和性質(zhì)這兩個課題調(diào)整安排為2課時．本節(jié)課為第一課時，主要講解兩個平面的位置關(guān)系及兩個平面平行的判定．四、教與學(xué)過程設(shè)計（一）兩個平面的位置關(guān)系師：讓我們一起來觀察：教室的正面和背面、左面和右面的墻面有沒有公共點？教室的正面和側(cè)面的墻面呢？思考問題：兩個平面的位置關(guān)系可分為幾種情況？學(xué)生通過直觀觀察得出結(jié)論：兩種，平行或相交．師：什么是平行的平面？生：兩個平面沒有公共點叫做兩個平面互相平行．師：能否再舉出一些兩個平面平行和相交的實例？（P．35中練習(xí)1．）學(xué)生自由回答，教師點評．師：從上面的例子，我們知道：兩個平面的位置關(guān)系同平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系相類似，可從有無公共點來區(qū)分．若兩個平面有不共線的兩個公共點，則由公理3可知這兩個平面必然重合為一個平面；若兩個平面有一個公共點，則由公理2可知這兩個平面相交于過這個點的一條直線；若兩個平面沒有公共點，則這兩個平面互相平行．由此得出不重合的兩個平面的位置關(guān)系：兩個平面平行——沒有公共點；兩個平面相交——有一條公共直線（至少有一個公共點）．師：那么如何畫出并表示兩個平行平面和兩個相交平面呢？師邊畫邊答：畫兩個平行平面的要點是：表示平面的平行四邊形的對應(yīng)邊相互平行．如圖1—102．畫兩個相交平面的要點是：先畫表示兩個平面的平行四邊形的相交兩邊，再畫表示兩個平面交線的線段．成圖時注意不相交的直線相互平行且等長，不可見的部分畫虛線或不畫．如圖1—103．學(xué)生練習(xí)（P．35中練習(xí)2）：畫兩個平行平面和分別在這兩個平面內(nèi)的兩條平行直線，再畫一個經(jīng)過這兩條平行直線的平面．如圖1—104，α∥β，a∥b，a＜α，b＜β，a＜γ，b＜γ．（二）兩個平面平行的判定師：根據(jù)前一小節(jié)平面平行的定義，我們來判斷兩個互逆命題的正誤，并說明理由（幻燈顯示）．命題1．如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的所有直線一定都和另一個平面平行．命題2．如果一個平面內(nèi)的所有直線都和另一個平面平行，那么這兩個平面平行．生：命題1是正確的．因為在這些直線中如果有一條和另一個平面有公共點，這點也必是這兩個平面的公共點．那么這兩個平面就不可能平行了．命題2也是正確的．因為如果這兩個平面有公共點，那么在另一個平面內(nèi)通過這點的直線就不可能平行于另一個平面．師：通過上面的討論我們知道：兩個平面平行的問題可轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)直線和另一個平面平行的問題．實際上判定兩個平面平行的條件不需要一個平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個平面，只需要在一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面．兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．師：我們知道，一個定理只有經(jīng)過證明才能說明它的正確性并直接應(yīng)用，下面我們來證明這個定理．已知：在平面β內(nèi)，有兩條相交直線a、b和平面α平行．求證：β∥α．師分析：要證明這個定理，先思考幾個問題（提出問題并啟發(fā)學(xué)生得出結(jié)論）（幻燈顯示）．問題1：如果平面α與平面β不平行，那么它們的位置關(guān)系怎樣？（相交）．問題2：若平面α與平面β相交，那么交線與平行于平面α的直線a和b各有什么關(guān)系？（平行）．問題3：相交直線a和b都與交線平行合理嗎？（不合理，與平行公理矛盾）．師：總結(jié)得出證明定理應(yīng)該根據(jù)定義，利用反證法，讓學(xué)生寫出它的證明過程．證明：假設(shè)α∩β＝c．a(chǎn)∥α，a∩β，a∥c，同理b∥c．a(chǎn)∥b，這與題設(shè)a與b相交矛盾α∥β．師：在實際生活中，也經(jīng)常利用這個判定定理判斷兩個平面平行．如在判斷一個平面是否水平時，把水準(zhǔn)器放在這個平面上交叉放兩次，如果水準(zhǔn)器的氣泡都是居中的，就可以判定這個平面和水平面平行．下面請同學(xué)們完成例1和練習(xí)．（三）練習(xí)例1垂直于同一直線的兩個平面平行．已知：α⊥AA＇，β⊥AA＇，求證：α∥β．師提示：要證明兩個平面平行，有兩種方法：一是利用定義；二是利用判定定理，也是較常用的一種方法．因此利用判定定理證明例1的關(guān)鍵是：如何構(gòu)造一個平面內(nèi)的兩相交直線都平行于另一個平面？證明：設(shè)經(jīng)過直線AA＇的兩個平面γ，δ分別與平面α、β交于直線a，a＇和b，b＇．∵AA＇⊥α，AA＇⊥β，∴AA⊥a，AA＇⊥a＇，∴a‖a＇，則a＇∥α．同理，b＇∥α．又∵a＇∩b＇＝A＇∴α∥β．師：這個例題的結(jié)論可與定理“垂直于同一平面的兩條直線平行”聯(lián)系起來記憶，也可作為判定兩個平面平行的一種方法．練習(xí)：判斷下列命題的正誤（幻燈顯示）．1．垂直于同一直線的兩直線平行．2．分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線都平行（P．37中練習(xí)1）．3．如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（P．38中練習(xí)2<1>）．4．如果一個平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（P．38中練習(xí)2<2>）．答：1．錯，這兩條直線還可能相交或異面．2．錯，這兩條直線還可能異面，但不會相交．3．錯，反例如圖1—107．4．對．（四）總結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩個平面平行的定義；兩個平面的位置關(guān)系：平行或相交；兩個平面平行的判定．掌握兩個平面平行的判定的研究可以轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行的研究．五、作業(yè)P．38中習(xí)題五1、2、3．補充：1．a(chǎn)、b為異面直線，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β．求證：α∥β．θ2，∠AOD＝θ3．求證：cos·θ3＝cosθ1·cosθ2．《兩個平面平行的判定和性質(zhì)》課堂教學(xué)實錄（二）一、素質(zhì)教育目標(biāo)（一）知識教學(xué)點1．兩個平面平行的性質(zhì)．2．兩個平行平面的公垂線、公垂線段、距離的定義．（二）能力訓(xùn)練點1．利用轉(zhuǎn)化的思維方法掌握和應(yīng)用兩個平面平行的性質(zhì)．2．應(yīng)用類比的方法理解并掌握兩個平行平面的公垂線、公垂線段、距離的定義．二、教學(xué)重點、難點、疑點及解決方法1．教學(xué)重點：掌握兩個平面平行的性質(zhì)及其應(yīng)用；掌握兩平行平面間的距離的概念，會求兩個平行平面間的距離．2．教學(xué)難點：掌握兩個平行平面的性質(zhì)及其應(yīng)用．3．教學(xué)疑點：正確掌握如何將兩個平面平行的性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行、線面垂直的研究．三、課時安排1．12兩個平面的位置關(guān)系及1．13兩個平面平行的判定和性質(zhì)這兩個課題調(diào)整安排為2課時．本節(jié)課為第二課時，主要講解兩個平面平行的性質(zhì)．四、教與學(xué)過程設(shè)計（一）復(fù)習(xí)兩個平面的位置關(guān)系及兩個平面平行的判定（一）復(fù)習(xí)兩個平面的位置關(guān)系及兩個平面平行的判定師：兩個平面的位置關(guān)系有哪幾種？生：平行或相交．師：兩個平面平行的判定方法有哪幾種？生：第一種可根據(jù)定義（一般用反證法）．b＝0，a∥β，b∥β，則α∥β．第三種可根據(jù)例1的結(jié)論，即：如圖1－110，若α⊥AA＇，β⊥AA＇，則α∥β．（二）兩個平面平行的性質(zhì)師：今天我們研究兩個平面平行的性質(zhì)．根據(jù)兩個平面平行直線和平面平行的定義可知：兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面．因此，在解決實際問題時，常常把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行或線線平行．這個結(jié)論可作為兩個平面平行的性質(zhì)1：若α∥1．兩個平面平行的性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行．已知：α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b．求證：a∥b．師：要證明這個定理，有兩種證法：直接證法和間接證法（即反證法）．下面請同學(xué)們書寫直接證法，口述反證法．生：（直接證法．）∵α∥β，∴α與β沒有公共點．∴a∥b．（反證法．）假設(shè)直線a不平行于直線b，因為直線a、b在同一個平面γ內(nèi)，公共點P，即α，β相交，這與“α∥β”矛盾，所以假設(shè)不成立，即a∥b．師：這個結(jié)論可作為性質(zhì)2：若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，則a∥b．下面我們再看一個例題．2．例題例2一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面．已知：α∥β，l⊥α，l∩α＝A．求證：l⊥β．師提問：證明直線與平面垂直的方法有幾種？師與生共同回憶：方法一，證明直線與平面內(nèi)的任何一條直線都垂直；方法二，證明直線與平面內(nèi)兩條相交的直線垂直；方法三，證明直線的一條平行線與平面垂直．比較幾種方法，我們可以試著用第一種方法來證明．證明：在平面β內(nèi)任取一條直線b，平面γ是經(jīng)過點A與直線b的平面，設(shè)γ∩α＝a．因為直線b是平面β內(nèi)的任意一條直線，所以l⊥β．師：這個例題的結(jié)論可與定理“一個平面垂直于兩條平行直線中的一條直線，它也垂直于另一條直線．”聯(lián)系起來記憶，它也可作為性質(zhì)3：若α∥β，l⊥α，則l⊥β．3．兩個平行平面的公垂線、公垂線段和距離師：象性質(zhì)3這樣的，和兩個平行平面α，β同時垂直的直線l，叫做這兩個平行平面α，β的公垂線，它夾在這兩個平行平面間的部分叫做這兩個平行平面的公垂線段．如圖1—113，α∥β．如果AA＇、BB＇都是它們的公垂線段，那么AA＇∥BB＇，根據(jù)兩個平面平行的性質(zhì)定理有A＇B＇∥AB，所以四邊形ABB＇A＇是平行四邊形，AA＇＝BB＇．由此，我們得到，兩個平行平面的公垂線段都相等，公垂線段的長度具有唯一性．與兩平行線間的距離定義相類似，我們把公垂線段的長度叫做兩個平行平面的距離．兩個平行平面間距離實質(zhì)上也是點到面或兩點間的距離，求值最后也是通過解三角形求得4．練習(xí)（幻燈顯示）（1）如圖1—114，平面α∥β，△ABC在β內(nèi)，P是α、β間的一點，線段PA、PB、PC分別交α于A＇、B＇、C＇，若BC=12cm，AC＝50cm，AB＝13cm，且PA＇∶PA=2∶3，則△師提示：△ABC∽△A＇B＇C＇，且相似比為3∶2．BB＇⊥β于B＇，若AC⊥AB，AC與β成60°角，AC＝8cm，B＇師提示：可求A＇C＝4cm，又可證AB⊥平面AA＇C，且四邊形AA＇B＇B為矩形，∴AB＝A＇B＇，AB∥A＇B＇．∴A＇B＇⊥平面AA＇C，從而A＇B＇⊥A＇C．在Rt△A＇B＇C中，（3）（P．38中練習(xí)3）夾在兩個平行平面間的平行線段相等．已知：如圖1—116，α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求證：AB＝CD．證明：∵AB∥CD，∴過AB、CD的平面γ與平面α和β分別交于AC＇和BD．∵α∥β，∴BD∥AC．∴四邊形