《兩個平面垂直的判定和性質(zhì)》課堂教學實錄

第10頁共11頁《兩個平面垂直的判定和性質(zhì)》課堂教學實錄(一)一、素質(zhì)教育目標(一)知識教學點1．兩個平面垂直的定義、畫法．2．兩個平面垂直的判定定理．(二)能力訓練點1．應(yīng)用演繹的數(shù)學方法理解并掌握兩個平面垂直的定義．2．掌握兩個平面垂直的判定定理的證明過程，培養(yǎng)學生嚴格的邏輯推理，增強學生分析、解決問題的能力．3．利用轉(zhuǎn)化的方法掌握和應(yīng)用兩個平面垂直的判定定理．(三)德育滲透點1．理解并掌握兩個平面垂直定義的過程是培養(yǎng)學生從一般到特殊的思維方法的過程．2．讓學生認識到掌握兩個平面垂直的判定定理是人類生產(chǎn)實踐的需要，并且應(yīng)用于實踐，進一步培養(yǎng)學生理論與實踐相結(jié)合的觀點．二、教學重點、難點、疑點及解決方法1．教學重點：掌握兩個平面垂直的判定．2．教學難點：掌握兩個平面垂直的判定及應(yīng)用．三、課時安排本課題安排2課時．本節(jié)課為第一課時：主要講解兩個平面垂直的判定．四、教與學的過程設(shè)計(一)復習平面角的有關(guān)知識師：什么是二面角的平面角？生：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．師：一般地，作二面角的平面角有哪幾種方法？生：三種．一是利用定義；二是利用三垂線(逆)定理；三是利用棱的垂面．師：下面我們來做道練習(幻燈顯示)．已知：二面角α-AB-β等于45°，CD＜α，D∈AB，∠CDB＝45°．求：CD與平面β所成的角．生證明：作CO⊥β交β于點O，連結(jié)DO，則∠CDO為DC與β所成的角．過點O作OE⊥AB于E，連結(jié)CE，則CE⊥AB，∴∠CEO為二面角α-AB-β的平面角，即∠CEO=45°．∵CO⊥OE，OC＝OE，∴∠CDO=30°．即DC與β成30°角．師點評：本題涉及到直線與平面所成角的范圍[0°，90°]以及利用三垂線定理尋找二面角的平面角．事實上，利用三垂線定理作二面角的平面角是最常用，也是最有效的一種方法．(二)兩個平面垂直的定義、畫法師：兩個平面垂直是兩個平面相交的特殊情況，日常我們見到的墻面和地面、以及一個長方體中，相鄰的兩個面都是互相垂直的．那么，什么是兩個平面互相垂直呢？生：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．師：回答得很好．這個定義與平面幾何里的兩條直線互相垂直的定義相類似，也是用它們所成的角是直角來定義．知道了兩個平面互相垂直的概念．如何畫它們呢？生：如圖1-128，把直立平面的豎邊畫成和水平平面的橫邊垂直．記作α⊥β．練習：(P.45中練習1)畫互相垂直的兩個平面、兩兩垂直的三個平面．如圖1-129．(三)兩個平面垂直的判定師：判定兩個平面互相垂直，除了定義外，還有下面的判定定理．兩個平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．求證：α⊥β．師提示：要證明兩個平面互相垂直，只有根據(jù)兩個平面互相垂直的定義，證明由它們組成的二面角是直二面角，因此必須作出它的一個平面角，并證明這個平面角是直角．如何作平面角呢？根據(jù)平面角的定義，可以作BE⊥CD，使∠ABE為二面角α-CD-β的平面角．讓學生獨自寫出證明過程．證明：設(shè)a∩β=CD，則B∈CD．∴AB⊥CD．在平面β內(nèi)過點B作直線BE⊥CD，則∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．∴α⊥β．師：兩個平面垂直的判定定理，不僅是判定兩個平面互相垂直的依據(jù)，而且是找出垂直于一個平面的另一個平面的依據(jù)．如：建筑工人在砌墻時，常用一端系有鉛錘的線來檢查所砌的墻面是否和水平面垂直(圖見課本P.43中圖1-49)，實際上，就是依據(jù)這個原理．另外，這個定理說明要證明面面垂直，實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為線面垂直來證明．下面我們來做一道練習．練習：(P.45中練習2)如圖1-131，檢查工件的相鄰兩個面是否垂直時，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個面上，另一邊在工件的另一個面上轉(zhuǎn)動一下，觀察尺邊是否和這個面密合就可以了．為什么？如果不轉(zhuǎn)動呢？如果不轉(zhuǎn)動，只能確定兩條直線OA⊥OB，無法確定OA⊥β，從而無法確定α⊥β．(四)練習例：⊙O在平面α內(nèi)，AB是⊙O的直徑，PA⊥α，C為圓周上不同于A、B的任意一點．求證：平面PAC⊥平面PBC．證明：在θO內(nèi)．∵AB為θO的直徑，∴BC⊥AC．又PA⊥BC，∴BC⊥平面PAC．∴平面PAC⊥平面PBC．(五)總結(jié)本節(jié)課我們講解了兩個平面垂直的定義、畫法及判定方法．判定方法有兩種，一是利用定義，二是利用判定定理．如何應(yīng)用兩個平面垂直的判定定理，把面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為線面垂直的問題是本節(jié)課學習的關(guān)鍵．五、作業(yè)P．46中習題六．6、7、8、10(1)，《兩個平面垂直的判定和性質(zhì)》課堂教學實錄(二)一、素質(zhì)教育目標(一)知識教學點1．兩個平面垂直的性質(zhì)定理．2．異面直線上兩點間的距離公式．(二)能力訓練點1．弄清反證法與同一法之間的關(guān)系，并會應(yīng)用同一法證題，進一步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力．2．掌握兩個平面垂直的性質(zhì)定理，理解面面垂直問題可能化為線面垂直的問題．3．異面直線上任意兩點間的距離公式不僅可用于求其值，還可以證明兩條異面直線的距離是異面直線上兩點的距離中最小的．另外，還可解決分別在二面角的面內(nèi)兩點的距離問題．二、教學重點、難點、疑點及解決方法1．教學重點：掌握兩個平面垂直的性質(zhì)；會運用異面直線上兩點間的距離公式．2．教學難點：異面直線上兩點間距離公式的應(yīng)用．3．教學疑點：(1)弄清反證法與同一法的聯(lián)系與區(qū)別．(2)正確理解、應(yīng)用異面直線上兩點間的距離公式：EF＝三、課時安排本課題安排2課時．本節(jié)課為第二課時，主要講解兩個平面垂直的性質(zhì)及異面直線上兩點間的距離公式．四、教與學的過程設(shè)計(一)復習兩個平面垂直的定義，判定師：什么是兩個平面互相垂直？生：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．師：如何判定兩個平面互相垂直？生：第一種方法根據(jù)定義，判定兩個平面所成的二面角是直二面角；第二種方法是根據(jù)判定定理，判定其中一個平面內(nèi)有一條直線垂直于另一個平面．(二)兩個平面垂直的性質(zhì)師：今天我們接著研究兩個平面垂直的性質(zhì)．兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．已知：平面α⊥β，α∩β=CD，ABα且AB⊥CD于B．求證：AB⊥β．證明：在平面β內(nèi)引直線BE⊥CD，則∠ABE是二面角α-CD-β的平面角．∵α⊥β，∴AB⊥BE．又∵AB⊥CD，∴AB⊥β．師：從性質(zhì)定理可以得出，把面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為線面垂直的問題．例1如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內(nèi)．已知：α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β．求證：aα．師提示：要證明aα，一般用反證法，即否定結(jié)論→推出矛盾→肯定結(jié)論．下面請同學們寫出它的證明過程．其中c為α與β的交線．∵α⊥β，∴b⊥β．又∵P∈α，P∈a，a⊥β，這與“過一點P有且只有一條直線與已知平面垂直”矛盾．∴aα．師：現(xiàn)在我們來看課本P．44的證明，這種方法叫同一法．什么是同一法呢？(幻燈顯示)一個命題，如果它的題設(shè)和結(jié)論所指的事物都是唯一的，那么原命題和它的逆命題中，只要有一個成立，另一個就一定成立，這個道理叫做同一法則．在符合同一法則的前提下，代替證明原命題而證明它的逆命題成立的一種方法叫做同一法．同一法的一般步驟是什么？(幻燈顯示)1．不從已知條件入手，而另作圖形使它具有求證的結(jié)論中所提的特性；2．證明所作的圖形的特性，與已知條件符合；3．因為已知條件和求證的結(jié)論所指的事物都是唯一的，從而推出所作的圖形與已知條件要求的是一個東西，由此斷定原命題成立．證明(同一法)：設(shè)α∩β＝c，過點P在平面α內(nèi)作直線b⊥c，根據(jù)上面的定理有b⊥β．因為經(jīng)過一點只能有一條直線與平面β垂直，所以直線a應(yīng)與直線b重合．即aα．師：比較反證法與同一法，我們可以知道：凡可用同一法證明的命題也可用反證法來證；反證法可適用于各種命題，同一法只適用于符合同一法則的命題．另外，例1的結(jié)論也可作為兩個平面垂直的另一個性質(zhì)，可直接應(yīng)用．下面請同學們一齊完成例2．(三)異面直線上兩點間的距離例2已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA'的長度為d．在直線a、b上分別取點E、F，設(shè)，A'E＝m，AF＝n，求EF．解：設(shè)經(jīng)過b與a平行的平面為α，經(jīng)過a和AA'的平面為β，α∩β＝c，則c∥a，因而b、c所成的角等于θ，且AA'⊥C．又∵AA'⊥b，∴AA'⊥α．根據(jù)兩個平面垂直的判定定理，β⊥α，在平面β內(nèi)作EG⊥C，則EG＝AA'．并且根據(jù)兩個平面垂直的性質(zhì)定理，EG⊥α．連結(jié)FG，則EG⊥FG．在Rt△FEG中．EF2＝EG2+FG2∵AG＝m，∴在△AFG中．FG2＝m2+n2-2mncosθ．又∵EG2=d2∴EF2=dw+m2+n2-2mncosθ．如果點F(或E)在點A(或A')的另一側(cè)，則EF2＝d2+m2+n2+2mncosθ．師：例2不僅求出兩條異面直線上任意兩點間的距離公式，還解決了下面的三個問題：(1)證明了兩條異面直線公垂線的存在性．(2)證明兩條異面直線的距離是異面直線上兩點的距離最小的．∵AA'＝EG，且AA'，EG是平面α的垂線，而EF是斜線，∴AA'＜EF．如在實際中，兩條交叉的高壓電線如果放電時，火花正是通過它們的最短距離．(3)也可以解決分別在二面角的面內(nèi)兩點的距離問題，請看下面練習．(四)練習在60°二面角的枝上，有兩個點A、B，AC、BD分別是在這個二面角的兩個面內(nèi)垂直于AB的線段．已知：AB＝4cm，AC=6cm，BD＝8cm，利用異面直線上兩點距離公式求CD．(P．45中練習3)∴AC與BD是異面直線．∵AB⊥AC交于點A，AB⊥BD交于點B，∴AB是AC、B