《兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)》課堂教學(xué)實(shí)錄

第10頁(yè)共11頁(yè)《兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)》課堂教學(xué)實(shí)錄(一)一、素質(zhì)教育目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)1．兩個(gè)平面垂直的定義、畫法．2．兩個(gè)平面垂直的判定定理．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)1．應(yīng)用演繹的數(shù)學(xué)方法理解并掌握兩個(gè)平面垂直的定義．2．掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理的證明過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格的邏輯推理，增強(qiáng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力．3．利用轉(zhuǎn)化的方法掌握和應(yīng)用兩個(gè)平面垂直的判定定理．(三)德育滲透點(diǎn)1．理解并掌握兩個(gè)平面垂直定義的過(guò)程是培養(yǎng)學(xué)生從一般到特殊的思維方法的過(guò)程．2．讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理是人類生產(chǎn)實(shí)踐的需要，并且應(yīng)用于實(shí)踐，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生理論與實(shí)踐相結(jié)合的觀點(diǎn)．二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法1．教學(xué)重點(diǎn)：掌握兩個(gè)平面垂直的判定．2．教學(xué)難點(diǎn)：掌握兩個(gè)平面垂直的判定及應(yīng)用．三、課時(shí)安排本課題安排2課時(shí)．本節(jié)課為第一課時(shí)：主要講解兩個(gè)平面垂直的判定．四、教與學(xué)的過(guò)程設(shè)計(jì)(一)復(fù)習(xí)平面角的有關(guān)知識(shí)師：什么是二面角的平面角？生：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．師：一般地，作二面角的平面角有哪幾種方法？生：三種．一是利用定義；二是利用三垂線(逆)定理；三是利用棱的垂面．師：下面我們來(lái)做道練習(xí)(幻燈顯示)．已知：二面角α-AB-β等于45°，CD＜α，D∈AB，∠CDB＝45°．求：CD與平面β所成的角．生證明：作CO⊥β交β于點(diǎn)O，連結(jié)DO，則∠CDO為DC與β所成的角．過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于E，連結(jié)CE，則CE⊥AB，∴∠CEO為二面角α-AB-β的平面角，即∠CEO=45°．∵CO⊥OE，OC＝OE，∴∠CDO=30°．即DC與β成30°角．師點(diǎn)評(píng)：本題涉及到直線與平面所成角的范圍[0°，90°]以及利用三垂線定理尋找二面角的平面角．事實(shí)上，利用三垂線定理作二面角的平面角是最常用，也是最有效的一種方法．(二)兩個(gè)平面垂直的定義、畫法師：兩個(gè)平面垂直是兩個(gè)平面相交的特殊情況，日常我們見(jiàn)到的墻面和地面、以及一個(gè)長(zhǎng)方體中，相鄰的兩個(gè)面都是互相垂直的．那么，什么是兩個(gè)平面互相垂直呢？生：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．師：回答得很好．這個(gè)定義與平面幾何里的兩條直線互相垂直的定義相類似，也是用它們所成的角是直角來(lái)定義．知道了兩個(gè)平面互相垂直的概念．如何畫它們呢？生：如圖1-128，把直立平面的豎邊畫成和水平平面的橫邊垂直．記作α⊥β．練習(xí)：(P.45中練習(xí)1)畫互相垂直的兩個(gè)平面、兩兩垂直的三個(gè)平面．如圖1-129．(三)兩個(gè)平面垂直的判定師：判定兩個(gè)平面互相垂直，除了定義外，還有下面的判定定理．兩個(gè)平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直．求證：α⊥β．師提示：要證明兩個(gè)平面互相垂直，只有根據(jù)兩個(gè)平面互相垂直的定義，證明由它們組成的二面角是直二面角，因此必須作出它的一個(gè)平面角，并證明這個(gè)平面角是直角．如何作平面角呢？根據(jù)平面角的定義，可以作BE⊥CD，使∠ABE為二面角α-CD-β的平面角．讓學(xué)生獨(dú)自寫出證明過(guò)程．證明：設(shè)a∩β=CD，則B∈CD．∴AB⊥CD．在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作直線BE⊥CD，則∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．∴α⊥β．師：兩個(gè)平面垂直的判定定理，不僅是判定兩個(gè)平面互相垂直的依據(jù)，而且是找出垂直于一個(gè)平面的另一個(gè)平面的依據(jù)．如：建筑工人在砌墻時(shí)，常用一端系有鉛錘的線來(lái)檢查所砌的墻面是否和水平面垂直(圖見(jiàn)課本P.43中圖1-49)，實(shí)際上，就是依據(jù)這個(gè)原理．另外，這個(gè)定理說(shuō)明要證明面面垂直，實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為線面垂直來(lái)證明．下面我們來(lái)做一道練習(xí)．練習(xí)：(P.45中練習(xí)2)如圖1-131，檢查工件的相鄰兩個(gè)面是否垂直時(shí)，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個(gè)面上，另一邊在工件的另一個(gè)面上轉(zhuǎn)動(dòng)一下，觀察尺邊是否和這個(gè)面密合就可以了．為什么？如果不轉(zhuǎn)動(dòng)呢？如果不轉(zhuǎn)動(dòng)，只能確定兩條直線OA⊥OB，無(wú)法確定OA⊥β，從而無(wú)法確定α⊥β．(四)練習(xí)例：⊙O在平面α內(nèi)，AB是⊙O的直徑，PA⊥α，C為圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)．求證：平面PAC⊥平面PBC．證明：在θO內(nèi)．∵AB為θO的直徑，∴BC⊥AC．又PA⊥BC，∴BC⊥平面PAC．∴平面PAC⊥平面PBC．(五)總結(jié)本節(jié)課我們講解了兩個(gè)平面垂直的定義、畫法及判定方法．判定方法有兩種，一是利用定義，二是利用判定定理．如何應(yīng)用兩個(gè)平面垂直的判定定理，把面面垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直的問(wèn)題是本節(jié)課學(xué)習(xí)的關(guān)鍵．五、作業(yè)P．46中習(xí)題六．6、7、8、10(1)，《兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)》課堂教學(xué)實(shí)錄(二)一、素質(zhì)教育目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)1．兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理．2．異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)1．弄清反證法與同一法之間的關(guān)系，并會(huì)應(yīng)用同一法證題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力．2．掌握兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，理解面面垂直問(wèn)題可能化為線面垂直的問(wèn)題．3．異面直線上任意兩點(diǎn)間的距離公式不僅可用于求其值，還可以證明兩條異面直線的距離是異面直線上兩點(diǎn)的距離中最小的．另外，還可解決分別在二面角的面內(nèi)兩點(diǎn)的距離問(wèn)題．二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法1．教學(xué)重點(diǎn)：掌握兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式．2．教學(xué)難點(diǎn)：異面直線上兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用．3．教學(xué)疑點(diǎn)：(1)弄清反證法與同一法的聯(lián)系與區(qū)別．(2)正確理解、應(yīng)用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式：EF＝三、課時(shí)安排本課題安排2課時(shí)．本節(jié)課為第二課時(shí)，主要講解兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)及異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式．四、教與學(xué)的過(guò)程設(shè)計(jì)(一)復(fù)習(xí)兩個(gè)平面垂直的定義，判定師：什么是兩個(gè)平面互相垂直？生：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．師：如何判定兩個(gè)平面互相垂直？生：第一種方法根據(jù)定義，判定兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角；第二種方法是根據(jù)判定定理，判定其中一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于另一個(gè)平面．(二)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)師：今天我們接著研究?jī)蓚€(gè)平面垂直的性質(zhì)．兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面．已知：平面α⊥β，α∩β=CD，ABα且AB⊥CD于B．求證：AB⊥β．證明：在平面β內(nèi)引直線BE⊥CD，則∠ABE是二面角α-CD-β的平面角．∵α⊥β，∴AB⊥BE．又∵AB⊥CD，∴AB⊥β．師：從性質(zhì)定理可以得出，把面面垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直的問(wèn)題．例1如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi)．已知：α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β．求證：aα．師提示：要證明aα，一般用反證法，即否定結(jié)論→推出矛盾→肯定結(jié)論．下面請(qǐng)同學(xué)們寫出它的證明過(guò)程．其中c為α與β的交線．∵α⊥β，∴b⊥β．又∵P∈α，P∈a，a⊥β，這與“過(guò)一點(diǎn)P有且只有一條直線與已知平面垂直”矛盾．∴aα．師：現(xiàn)在我們來(lái)看課本P．44的證明，這種方法叫同一法．什么是同一法呢？(幻燈顯示)一個(gè)命題，如果它的題設(shè)和結(jié)論所指的事物都是唯一的，那么原命題和它的逆命題中，只要有一個(gè)成立，另一個(gè)就一定成立，這個(gè)道理叫做同一法則．在符合同一法則的前提下，代替證明原命題而證明它的逆命題成立的一種方法叫做同一法．同一法的一般步驟是什么？(幻燈顯示)1．不從已知條件入手，而另作圖形使它具有求證的結(jié)論中所提的特性；2．證明所作的圖形的特性，與已知條件符合；3．因?yàn)橐阎獥l件和求證的結(jié)論所指的事物都是唯一的，從而推出所作的圖形與已知條件要求的是一個(gè)東西，由此斷定原命題成立．證明(同一法)：設(shè)α∩β＝c，過(guò)點(diǎn)P在平面α內(nèi)作直線b⊥c，根據(jù)上面的定理有b⊥β．因?yàn)榻?jīng)過(guò)一點(diǎn)只能有一條直線與平面β垂直，所以直線a應(yīng)與直線b重合．即aα．師：比較反證法與同一法，我們可以知道：凡可用同一法證明的命題也可用反證法來(lái)證；反證法可適用于各種命題，同一法只適用于符合同一法則的命題．另外，例1的結(jié)論也可作為兩個(gè)平面垂直的另一個(gè)性質(zhì)，可直接應(yīng)用．下面請(qǐng)同學(xué)們一齊完成例2．(三)異面直線上兩點(diǎn)間的距離例2已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA'的長(zhǎng)度為d．在直線a、b上分別取點(diǎn)E、F，設(shè)，A'E＝m，AF＝n，求EF．解：設(shè)經(jīng)過(guò)b與a平行的平面為α，經(jīng)過(guò)a和AA'的平面為β，α∩β＝c，則c∥a，因而b、c所成的角等于θ，且AA'⊥C．又∵AA'⊥b，∴AA'⊥α．根據(jù)兩個(gè)平面垂直的判定定理，β⊥α，在平面β內(nèi)作EG⊥C，則EG＝AA'．并且根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，EG⊥α．連結(jié)FG，則EG⊥FG．在Rt△FEG中．EF2＝EG2+FG2∵AG＝m，∴在△AFG中．FG2＝m2+n2-2mncosθ．又∵EG2=d2∴EF2=dw+m2+n2-2mncosθ．如果點(diǎn)F(或E)在點(diǎn)A(或A')的另一側(cè)，則EF2＝d2+m2+n2+2mncosθ．師：例2不僅求出兩條異面直線上任意兩點(diǎn)間的距離公式，還解決了下面的三個(gè)問(wèn)題：(1)證明了兩條異面直線公垂線的存在性．(2)證明兩條異面直線的距離是異面直線上兩點(diǎn)的距離最小的．∵AA'＝EG，且AA'，EG是平面α的垂線，而EF是斜線，∴AA'＜EF．如在實(shí)際中，兩條交叉的高壓電線如果放電時(shí)，火花正是通過(guò)它們的最短距離．(3)也可以解決分別在二面角的面內(nèi)兩點(diǎn)的距離問(wèn)題，請(qǐng)看下面練習(xí)．(四)練習(xí)在60°二面角的枝上，有兩個(gè)點(diǎn)A、B，AC、BD分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)垂直于AB的線段．已知：AB＝4cm，AC=6cm，BD＝8cm，利用異面直線上兩點(diǎn)距離公式求CD．(P．45中練習(xí)3)∴AC與BD是異面直線．∵AB⊥AC交于點(diǎn)A，AB⊥BD交于點(diǎn)B，∴AB是AC、B