《幾類不同增長函數(shù)模型》教學(xué)設(shè)計(jì)

《幾類不同增長的函數(shù)模型》教學(xué)設(shè)計(jì)一．內(nèi)容和內(nèi)容解析本節(jié)是高中數(shù)學(xué)必修1（人教A版）第三章《函數(shù)的應(yīng)用》的起始課．該課將經(jīng)歷運(yùn)用和選擇函數(shù)模型解決實(shí)際問題的過程，從而認(rèn)識(shí)在同為增函數(shù)的函數(shù)模型中，各種函數(shù)存在增長的差異；理解直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長的含義；認(rèn)識(shí)研究函數(shù)增長（衰減）差異的方法；感受數(shù)學(xué)建模的思想．對(duì)不同函數(shù)模型在增長差異上的研究，教材圍繞函數(shù)模型的應(yīng)用這一核心，結(jié)合具體實(shí)例展開討論，讓學(xué)生在應(yīng)用函數(shù)模型的過程中，體驗(yàn)到指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型在描述客觀世界變化規(guī)律時(shí)各自的特點(diǎn)．教材運(yùn)用自選投資方案和制定獎(jiǎng)勵(lì)方案這兩個(gè)問題，引出函數(shù)模型增長情況比較的問題，接著運(yùn)用信息技術(shù)從數(shù)值和圖象兩個(gè)角度比較了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長情況的差異，說明不同函數(shù)類型增長的含義．在必修1前兩章，教材安排了函數(shù)的性質(zhì)以及基本初等函數(shù)．本節(jié)內(nèi)容是幾類不同增長的函數(shù)模型，在此之后是研究函數(shù)模型的應(yīng)用，因此，從內(nèi)容上看，本節(jié)課是對(duì)前面所學(xué)習(xí)的幾種基本初等函數(shù)以及函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，從思想方法上講，是對(duì)研究函數(shù)的方法的進(jìn)一步鞏固和深化，同時(shí)，也在為后面繼續(xù)學(xué)習(xí)各種不同的函數(shù)模型的應(yīng)用舉例奠定基礎(chǔ)，．因此本節(jié)內(nèi)容，既是第二章基本初等函數(shù)知識(shí)的延續(xù)，又是函數(shù)模型應(yīng)用學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，起著承前啟后的作用.本節(jié)內(nèi)容所涉及的數(shù)學(xué)思想方法主要包括：由實(shí)際問題抽象為函數(shù)模型這一過程中蘊(yùn)涵的符號(hào)化、模型化的思想；在解決問題過程中函數(shù)與方程的思想．二．目標(biāo)和目標(biāo)解析本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)為：（1）創(chuàng)設(shè)一個(gè)投資方案的問題情境，讓學(xué)生通過函數(shù)建模、列數(shù)據(jù)表、研究函數(shù)圖象和性質(zhì)，體會(huì)直線上升和指數(shù)爆炸；（2）創(chuàng)設(shè)一個(gè)選擇獎(jiǎng)勵(lì)模型的問題情境，讓學(xué)生在觀察和探究的過程中，體會(huì)對(duì)數(shù)增長模型的特點(diǎn)；（3）通過建立和運(yùn)用函數(shù)基本模型，讓學(xué)生初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的基本思想，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).根據(jù)內(nèi)容解析和教學(xué)任務(wù)，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：（1）通過實(shí)例的解決，運(yùn)用函數(shù)表格、圖象，比較一次函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)模型等的增長，認(rèn)識(shí)它們的增長差異，體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型的意義；（2）通過恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用函數(shù)的三種表示方法（解析法、列表法、圖象法），表達(dá)實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系的操作，認(rèn)識(shí)函數(shù)問題的研究方法：觀察—?dú)w納—猜想—證明；（3）經(jīng)歷建立和運(yùn)用函數(shù)基本模型的過程，初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的基本思想，體會(huì)數(shù)學(xué)的作用與價(jià)值，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.這部分內(nèi)容教科書在處理上，以函數(shù)模型的應(yīng)用這一內(nèi)容為主線，以幾個(gè)重要的函數(shù)模型為對(duì)象，將前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過的內(nèi)容以及處理問題的思想方法緊密結(jié)合起來，使之成為一個(gè)整體．因此教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意貫徹教材的設(shè)計(jì)意圖，讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)模型應(yīng)用的全過程，能在這一過程中認(rèn)識(shí)不同增長的差異，認(rèn)識(shí)知曉函數(shù)增長差異的作用，認(rèn)識(shí)研究差異的思想方法．結(jié)合以上分析本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，在比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型增長差異的過程中，體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長等不同類型函數(shù)增長的含義．三．教學(xué)問題診斷學(xué)生在前面已學(xué)過函數(shù)概念、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，但由于指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長變化復(fù)雜，這就使得學(xué)生在研究過程中可能遇到困難．因此本節(jié)課教學(xué)難點(diǎn)確定為：如何結(jié)合實(shí)際問題讓學(xué)生體會(huì)不同函數(shù)模型的增長差異，以及如何利用這種增長差異來解決一些實(shí)際問題．為了解決這一難點(diǎn)，教科書分三個(gè)步驟，創(chuàng)設(shè)問題情境，并通過恰點(diǎn)恰時(shí)而又層層遞進(jìn)的問題串，讓學(xué)生在不斷的觀察、思考和探究的過程中，弄清幾個(gè)函數(shù)間的增長差異，并培養(yǎng)分析問題解決問題的能力．第一步，教科書先創(chuàng)設(shè)了一個(gè)選擇投資方案的問題情境，在解決問題的過程中給出了解析式、數(shù)表和圖象三種表示，然后提出了三個(gè)思考問題，讓學(xué)生一方面從中體會(huì)直線上升和指數(shù)爆炸，另一方面也學(xué)會(huì)如何選擇恰當(dāng)?shù)谋硎拘问綄?duì)問題進(jìn)行分析．第二步，教科書又創(chuàng)設(shè)了一個(gè)選擇公司獎(jiǎng)勵(lì)模型的問題情境，讓學(xué)生在觀察和探究的過程中，體會(huì)到對(duì)數(shù)增長模型的特點(diǎn)．第三步，教科書提出了三種函數(shù)存在怎樣的增長差異的問題．先讓學(xué)生從不同角度觀察指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長圖象，從中體會(huì)二者的差異；再通過兩個(gè)探究問題，讓學(xué)生對(duì)冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的增長差異，以及三種函數(shù)的衰減情況進(jìn)行自主探究．這樣的安排內(nèi)容上層次分明，可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的方面積極地開展觀察、思考和探究活動(dòng)，對(duì)典型的問題，多視點(diǎn)寬角度地進(jìn)行了研究．對(duì)學(xué)生分析問題、解決問題能力的培養(yǎng)將有積極的推動(dòng)．由于本節(jié)內(nèi)容比較豐富，而且研究問題的方法和途徑也比較多，所以本節(jié)課我們只能重點(diǎn)解決其中的前兩個(gè)問題．四．教學(xué)支持條件分析要讓學(xué)生較為全面地體會(huì)函數(shù)模型的思想，特別是本節(jié)例題中用函數(shù)模型研究實(shí)際問題有許多數(shù)據(jù)、圖象等方面處理上的困難，而利用信息技術(shù)工具，就可以在不同的范圍觀察到指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長差異．這樣，就使學(xué)生有機(jī)會(huì)接觸到一些過去難以接觸到的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法．因此在本節(jié)內(nèi)容教學(xué)的處理上，通過學(xué)生收集數(shù)據(jù)并建立函數(shù)模型，利用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)，比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)間的增長差異；結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義．五．教學(xué)過程設(shè)計(jì)一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題1.介紹第三章章頭圖，提出問題．問題1：澳大利亞的兔子為什么能在短短的幾十年中由5只發(fā)展到5億只？澳大利亞兔子的急劇增長反映了自然界中一種增長現(xiàn)象：指數(shù)增長.問題2：在生活中，你還能舉出其它增長的例子嗎？2.在學(xué)生回答問題的基礎(chǔ)上引出各種不同類型的函數(shù)增長模型．3.揭示課題：幾類不同增長的函數(shù)模型．【設(shè)計(jì)意圖】運(yùn)用章頭圖，形成問題情境，產(chǎn)生應(yīng)用函數(shù)的需要，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愿望．二、分析問題，建立模型（一）提出問題例1．假如你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番．請(qǐng)問：你會(huì)選擇哪種投資方式？（二）分析問題1.引導(dǎo)審題，抓住關(guān)鍵詞“回報(bào)”問題3：你選擇的是什么樣的回報(bào)？怎樣比較回報(bào)資金的大?。繌慕鉀Q問題的角度看：（1）比較三種方案的每日回報(bào)；（2）比較三種方案在若干天內(nèi)的累計(jì)回報(bào).2.引導(dǎo)分析數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)模型僅從日回報(bào)的角度引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)量關(guān)系，歸納概括出相應(yīng)的函數(shù)模型，寫出每個(gè)方案的函數(shù)解析式.【設(shè)計(jì)意圖】引發(fā)學(xué)生思考，經(jīng)歷建立函數(shù)基本模型的過程．【備注】累計(jì)回報(bào)的本質(zhì)是數(shù)列求和問題，由于學(xué)生目前的知識(shí)儲(chǔ)備還不夠，現(xiàn)在僅限于通過對(duì)函數(shù)模型通過列表計(jì)算、圖象觀察來作出判斷和選擇.三、組織探究，感性體驗(yàn)1.教師提出問題問題4：你會(huì)選擇哪種投資方案？請(qǐng)用數(shù)學(xué)語言呈現(xiàn)你的理由．2.學(xué)生分組操作，比較不同增長從解決問題的方式上：（1）用列表方法來比較；（2）畫出函數(shù)圖象來分析.【設(shè)計(jì)意圖】保成學(xué)生合作探究、動(dòng)手實(shí)踐，能借助計(jì)算器，利用數(shù)據(jù)表格、函數(shù)圖象對(duì)三種模型進(jìn)行比較、分析，初步感受直線上升和指數(shù)爆炸的意義，初步體驗(yàn)研究函數(shù)增長差異的方法．四、成果交流，階段小結(jié)（一）學(xué)生交流讓學(xué)生交流小組探究的成果（表格、圖象、結(jié)論）（二）師生互動(dòng)1.閱讀教材上例題解答中的數(shù)據(jù)表格與圖象（突出散點(diǎn)圖），引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注增長量，感受增長差異．2.通過教師多媒體動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)增長差異．在不同的函數(shù)模型下，雖然都有增長，但增長態(tài)勢各具特點(diǎn)．他們的增長不在同一個(gè)“檔次”上，當(dāng)自變量變得很大時(shí)，指數(shù)型函數(shù)比一次函數(shù)增長的速度要快得多．（三）歸納小結(jié)1.通過教師的小結(jié)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)增長差異的認(rèn)識(shí)．常數(shù)函數(shù)（沒有增長），直線上升（勻速增長），指數(shù)爆炸（急劇增長）．2.上述問題的解決，是通過考慮其中的數(shù)量關(guān)系，把它抽象概括成一個(gè)函數(shù)問題，用解析式、數(shù)據(jù)表格、圖象這三種函數(shù)的表達(dá)形式來研究的．【設(shè)計(jì)意圖】分享學(xué)生成果，達(dá)到生生互動(dòng)、師生互動(dòng)；借助多媒體展示，幫助學(xué)生理解不同增長的函數(shù)模型的增長差異，并且初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的基本思想，認(rèn)識(shí)函數(shù)問題的研究方法．五、深入探究，理性分析（一）提出問題例2．某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金（單位：萬元）隨銷售利潤（單位：萬元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的25%．現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：．其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？（二）引導(dǎo)分析問題5：你能立刻做出選擇嗎？選擇的依據(jù)是什么？問題6：公司的要求到底意味著怎樣的數(shù)學(xué)關(guān)系？問題7：我們提供的三個(gè)增長型函數(shù)哪一個(gè)符合限制條件？（三）解決問題1.通過多媒體演示，發(fā)現(xiàn)增長差異；2.結(jié)合限制條件，初步作出選擇；3.通過計(jì)算，進(jìn)一步確認(rèn)，驗(yàn)證所得結(jié)論；4.體會(huì)對(duì)數(shù)增長模型的增長特征：當(dāng)自變量變得很大時(shí)平緩增長；5.揭示函數(shù)問題的研究方法（觀察—?dú)w納—猜想—證明）．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在觀察和探究的過程中，學(xué)會(huì)理性分析，體會(huì)對(duì)數(shù)增長模型的特點(diǎn)．【備注】對(duì)判斷模型二是否滿足限制條件“”，考慮到學(xué)生現(xiàn)在知識(shí)儲(chǔ)備和接受水平，只能采用了直觀教學(xué)，通過構(gòu)造新函數(shù)，觀察新函數(shù)的圖象來解決（因?yàn)樵摵瘮?shù)單調(diào)性的判定，必須運(yùn)用高二數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)知識(shí)與方法才能解決）．六、拓展延伸，創(chuàng)新設(shè)計(jì)這個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)方案實(shí)施以后，立刻調(diào)動(dòng)了員工的積極性，企業(yè)發(fā)展蒸蒸日上，但隨著時(shí)間的推移，又出現(xiàn)了新的問題，員工缺乏創(chuàng)造高銷售額的積極性.問題8：我們的獎(jiǎng)勵(lì)方案有什么弊端？問題9：你能否設(shè)計(jì)出更合理的獎(jiǎng)勵(lì)模型？【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬元)隨著銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加,要求如下：10萬～50萬，獎(jiǎng)金不超過2萬；50萬～200萬，獎(jiǎng)金不超過4萬；200萬～1000萬，獎(jiǎng)金不超過20萬．請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，用圖象表達(dá)你的設(shè)計(jì)方案．（四人一組，合作完成）【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)開放性問題對(duì)例2拓展延伸，既檢測了學(xué)生對(duì)幾類不同模型增長差異的掌握情況，又鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)以致用，用以致優(yōu)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程．七、歸納總結(jié)，提煉升華問題10：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？請(qǐng)你從知識(shí)、方法、思想方面作一個(gè)小結(jié)．1.知識(shí)：對(duì)函數(shù)的性質(zhì)有了進(jìn)一步的了解，我們體會(huì)到同是增長型函數(shù)，但其增長差異卻很大：常數(shù)函數(shù)（沒有增長）；一次函數(shù)（直線上升）；指數(shù)函數(shù)（爆炸增長）；對(duì)數(shù)函數(shù)（平緩增長）．2.方法：函數(shù)有三種表示方法（解析法、列表法、圖象法）；函數(shù)問題的一般研究方法（觀察—?dú)w納—猜想—證明）3.思想：兩個(gè)例題都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想，即把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化：面對(duì)實(shí)際問題，我們要讀懂問題，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，