數(shù)學(xué)平行四邊形的專項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題及解析

數(shù)學(xué)平行四邊形的專項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題(及解析一、選擇題1．如圖，在邊長為5的正方形ABCD中，以A為一個(gè)頂點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在正方形ABCD的邊上，且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．62．在邊長為2的正方形中，為上的一動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，交延長線于，過作交的延長線于，則下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，；④若為的中點(diǎn)，當(dāng)從移動(dòng)到時(shí)，線段掃過的面積為，其中正確的是（）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③3．如圖，已知正方形的邊長為8，點(diǎn)，分別在邊、上，．當(dāng)時(shí)，的面積是（）．A．8 B．16 C．24 D．324．如圖，在菱形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，AB＝4，BD＝4，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，則EP+BP的最小值為（）A．4 B．2 C．2 D．85．如圖，銳角△ABC中，AD是高，E,F分別是AB,AC中點(diǎn),EF交AD于G,已知GF=1,AC=6,△DEG的周長為10，則△ABC的周長為（

）A．27-3 B．28-3 C．28-4 D．29-56．如圖，在中，，是的中線，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接，若要使得四邊形是正方形，則需要滿足條件（）A． B．C．且 D．且7．如圖，在矩形中，把矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到矩形，且點(diǎn)落在上，連接，，交于點(diǎn)，連接，若平分，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．如圖，在正方形中，，是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，以為邊作正方形，是的中點(diǎn)，連接，則的最小值為（）A． B． C．2 D．9．矩形紙片ABCD中，AB＝5，AD＝4，將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊CD上的點(diǎn)處，折痕為AE．延長交AB的延長線于點(diǎn)M，折痕AE上有點(diǎn)P，下列結(jié)論中：①；②；③AE＝；④；⑤若，則．正確的有（??）個(gè)A．2 B．3 C．4 D．510．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在邊AD上從點(diǎn)A到點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，作PF⊥BD于點(diǎn)F，已知AB=3，AD=4，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，關(guān)于PE+PF的值，下面說法正確的是（）A．先增大，后減小 B．先減小，后增大 C．始終等于2.4 D．始終等于3二、填空題11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊CO、OA分別在x軸、y軸上，點(diǎn)E在邊BC上，將該矩形沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在邊OC上的F處．若OA＝8，CF＝4，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是_____．12．如圖，是邊長為的等邊三角形，取邊中點(diǎn)，作，，得到四邊形，它的周長記作；取中點(diǎn)，作，，得到四邊形，它的周長記作．照此規(guī)律作下去，則______．13．如圖所示，菱形ABCD，在邊AB上有一動(dòng)點(diǎn)E，過菱形對(duì)角線交點(diǎn)O作射線EO與CD邊交于點(diǎn)F，線段EF的垂直平分線分別交BC、AD邊于點(diǎn)G、H，得到四邊形EGFH，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中，有如下結(jié)論：①可以得到無數(shù)個(gè)平行四邊形EGFH；②可以得到無數(shù)個(gè)矩形EGFH；③可以得到無數(shù)個(gè)菱形EGFH；④至少得到一個(gè)正方形EGFH．所有正確結(jié)論的序號(hào)是__．14．如圖，四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于H，連接OH，則∠DHO＝_____度．15．如圖,長方形紙片ABCD中,AB＝6cm,BC＝8cm點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE并將△AEB沿AE折疊,得到△AEB′，以C，E，B′為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),BE的長為___________cm.16．如圖，中，,將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到過作交的延長線于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①平分；②；③；④；⑤是的中點(diǎn)，其中正確的是___________17．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC⊥AB，AC與BD相交于點(diǎn)O，在同一平面內(nèi)將△ABC沿AC翻折，得到△AB’C，若四邊形ABCD的面積為24cm2，則翻折后重疊部分（即S△ACE)的面積為________cm2．18．如圖，在菱形ABCD中，AC交BD于P，E為BC上一點(diǎn)，AE交BD于F，若AB=AE，，則下列結(jié)論：①AF=AP；②AE=FD；③BE=AF．正確的是______（填序號(hào)）．19．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，BF與AC交于點(diǎn)E，若∠CBF=20°，則∠AED等于__度．20．如圖，在四邊形中，是的中點(diǎn)．點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng);點(diǎn)同時(shí)以每秒3個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則的值等于_______．三、解答題21．如圖，在中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)（1）求證：四邊形是菱形（2）若，求菱形的面積22．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在對(duì)角線BD上（不與點(diǎn)B，D重合），GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，連結(jié)AG．（1）寫出線段AG，GE，GF長度之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若正方形ABCD的邊長為1，∠AGF=105°，求線段BG的長．23．如圖，在RtABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)．同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是ts（0＜t≤15）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF．（1）求證：AE＝DF；（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值，如果不能，說明理由；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，DEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由．24．在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明對(duì)對(duì)角線互相垂直的四邊形進(jìn)行了探究，得出了如下結(jié)論：如圖1，四邊形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，則．（1）請(qǐng)幫助小明證明這一結(jié)論；（2）根據(jù)小明的探究，老師又給出了如下的問題：如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正和正方形，連結(jié)、、.已知，，求的長，請(qǐng)你幫助小明解決這一問題．25．綜合與實(shí)踐．問題情境：如圖①，在紙片中，，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，沿剪下，將它平移至的位置，拼成四邊形．獨(dú)立思考：（1）試探究四邊形的形狀．深入探究：（2）如圖②，在（1）中的四邊形紙片中，在．上取一點(diǎn)，使，剪下，將它平移至的位置，拼成四邊形，試探究四邊形的形狀；拓展延伸：（3）在（2）的條件下，求出四邊形的兩條對(duì)角線長；（4）若四邊形為正方形，請(qǐng)仿照上述操作，進(jìn)行一次平移，在圖③中畫出圖形，標(biāo)明字母，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論，直接寫出你的結(jié)論．26．已知在平行四邊形中，，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)盡處，與相交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，如果，，，求的面積；（3）如果，，當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的長．27．如圖①，已知正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)Q是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于直線BQ的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)P，連接QP、DP、CP、BP，設(shè)AQ=x．（1）BP＋DP的最小值是_______，此時(shí)x的值是_______；（2）如圖②，若QP的延長線交CD邊于點(diǎn)M，并且∠CPD=90°．①求證：點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)；②求x的值．（3）若點(diǎn)Q是射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出當(dāng)△CDP為等腰三角形時(shí)x的值．28．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AC的一點(diǎn)，連接EB，過點(diǎn)A做AM⊥BE，垂足為M，AM與BD相交于點(diǎn)F．（1）猜想：如圖（1）線段OE與線段OF的數(shù)量關(guān)系為；（2）拓展：如圖（2），若點(diǎn)E在AC的延長線上，AM⊥BE于點(diǎn)M，AM、DB的延長線相交于點(diǎn)F，其他條件不變，（1）的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)僅就圖（2）給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．29．如圖，在等腰中，，點(diǎn)E在AC上且不與點(diǎn)A、C重合，在的外部作等腰，使，連接AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．請(qǐng)直接寫出線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系；將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，如圖，連接AE，請(qǐng)判斷線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；若，，在圖的基礎(chǔ)上將繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)平行四邊形ABFD為菱形時(shí)，直接寫出線段AE的長度．30．已知，矩形中，，的垂直平分線分別交于點(diǎn)，垂足為．（1）如圖1，連接，求證：四邊形為菱形；（2）如圖2，動(dòng)點(diǎn)分別從兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿和各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周，即點(diǎn)自停止，點(diǎn)自停止．在運(yùn)動(dòng)過程中，①已知點(diǎn)的速度為每秒，點(diǎn)的速度為每秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，則____________．②若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程分別為（單位:），已知四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則與滿足的數(shù)量關(guān)系式為____________．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．C解析：C【分析】分別以3為底和以3為腰構(gòu)造等腰三角形即可.注意等腰三角形的大小不同.【詳解】①以A為圓心，以3為半徑作弧，交AD、AB兩點(diǎn)，連接即可,此時(shí)三角形為腰為3的等腰三角形；②連接AC，在AC上，以A為端點(diǎn)，截取1.5個(gè)單位，過這個(gè)點(diǎn)作AC的垂線，交AD、AB兩點(diǎn)，連接即可理由如下：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°，∵EF⊥AC∴△AEH與△AHF為等腰直角三角形∴EF=EH+FH=AH+AH=3.且AE=AF=故△AEF為底為3的等腰三角形；③以A為端點(diǎn)在AB上截取3個(gè)單位，以截取的點(diǎn)為圓心，以3個(gè)單位為半徑畫弧，交BC一個(gè)點(diǎn)，連接即可，此時(shí)三角形為腰為3的等腰三角形；④連接AC，在AC上，以C為端點(diǎn)，截取1.5個(gè)單位，過這個(gè)點(diǎn)作AC的垂線，交BC、DC兩點(diǎn)，然后連接A與這兩個(gè)點(diǎn)即可；理由如下：與②同理可證EF=3，且EC=FC，在△DEC和△DFC中，∵AC=AC,∠ACE=∠ACF，EC=FC∴△DEC≌△DFC∴AE=AF,故△AEF為底為3的等腰三角形.⑤以A為端點(diǎn)在AB上截取3個(gè)單位，再作著個(gè)線段的垂直平分線交CD一點(diǎn)，連接即可根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等，三角形為底為3的等腰三角形．故滿足條件的所有圖形如圖所示：故選C.【點(diǎn)睛】本題考查作圖——應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖,等腰三角形的性質(zhì)與判定,勾股定理,正方形的性質(zhì).明確等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.2．B解析：B【分析】利用正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)依次判斷即可；【詳解】解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=90°，∵∠A=∠EDQ，∠AEP=∠QED，AE=ED，∴△AEP≌△DEQ，故①正確，②作PG⊥CD于G，EM⊥BC于M，∴∠PGQ=∠EMF=90°，∵EF⊥PQ，∴∠PEF=90°，∴∠PEN+∠NEF=90°，∵∠NPE+∠NEP=90°，∴∠NPE=∠NEF，∵PG=EM，∴△EFM≌△PQG，∴EF=PQ，故②正確，③連接QF．則QF=PF，PB2+BF2=QC2+CF2，設(shè)CF=x，則（2+x）2+12=32+x2，∴x=1，故③錯(cuò)誤，④當(dāng)P在A點(diǎn)時(shí)，Q與D重合，QC的中點(diǎn)H在DC的中點(diǎn)S處，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，QC的中點(diǎn)H與D重合，故EH掃過的面積為△ESD的面積=，故④正確，則正確的是①②④，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，難度較大．3．D解析：D【分析】如圖：△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABH，可得AH=AF，∠BAH=∠DAF，進(jìn)一步求出∠EAH=∠EAF=45°，再利用"邊角邊"證明△AEF和△AEH全等，再根據(jù)全等三角形的面積相等，即可解答.【詳解】解：如圖，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABH，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AH=AF，∠BAH=∠DAF，∵∠EAF=45°，∠BAD=90°∴∠EAH=∠EAF=45°在△AEF和△AEH中AF=Aн∠EAH=∠EAF=45°，AE=AE∴△AEF≌△AEH（SAS），∴EH=EF=8，∴SAFE=S△AEH=-×8×8=32.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形和全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記并靈活應(yīng)用它們的性質(zhì)并利用旋轉(zhuǎn)作輔助線、構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.4．C解析：C【解析】【分析】連結(jié)DE交AC于點(diǎn)P，連結(jié)BP，根據(jù)菱形的性質(zhì)推出AO是BD的垂直平分線，推出PE+PB=PE+PD=DE且值最小，根據(jù)勾股定理求出DE的長即可．【詳解】如圖，設(shè)AC，BD相交于O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD＝2，∵AB＝4，∴AO＝2，連結(jié)DE交AC于點(diǎn)P，連結(jié)BP，作EM⊥BD于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且DO＝BO，即AO是BD的垂直平分線，∴PD＝PB，∴PE+PB＝PE+PD＝DE且值最小，∵E是AB的中點(diǎn)，EM⊥BD，∴EM＝AO＝1，BM＝BO＝，∴DM＝DO+OM＝BO＝3，∴DE＝，故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的判定和三角函數(shù)解答．5．C解析：C【解析】【分析】由中點(diǎn)性質(zhì)先得AF＝3，再用勾股定理求出AG＝2，然后由中位線性質(zhì)得DG＝AG＝2，已知△DEG的周長為10，所以求得EG+DE的值，進(jìn)一步證得AB=2DE,BD=2EG,從而求得△ABC的周長.【詳解】∵E,F分別是AB,AC中點(diǎn),EF交AD于G,∴EF∥BC，∵AD是高∴∠ADC=∠AGF=90°在Rt△AGF中∵EF∥BC∴∴FG是△ADC的中位線∴DC=2GF=2∴DG=AG=2∵△DEG的周長為10，∴EG+DE=10-2在Rt△ADB中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，∴AB=2DE，BD=2EG∴AB+BD=2（EG+DE）=20-4∴△ABC的周長為：AB+BD+DC+AC=20-4+2+6=28-4故答案為C【點(diǎn)睛】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、中位線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．6．D解析：D【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到，，，，得到四邊形為平行四邊形，根據(jù)正方形的判定定理解答即可．【詳解】解：點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，，，四邊形為平行四邊形，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，，，當(dāng)，即時(shí)平行四邊形為菱形，當(dāng)時(shí)，，，，四邊形為正方形，則當(dāng)且時(shí)，四邊形是正方形，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、正方形的判定，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．7．C解析：C【分析】如圖，作BM⊥EC于M．證明△BEA≌△BEM（AAS），△BMH≌△GCH（AAS），利用全等三角形的性質(zhì)即可一一判斷．【詳解】解：如圖，作BM⊥EC于M．∵CB=CE，∴∠CBE=∠CEB，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠AEB=∠MEB，∵∠A=∠BME=90°，BE=BE，∴△BEA≌△BEM（AAS），∴AE=EM，AB=BM．∵∠BMH=∠GCH=90°，∠BHM=∠GHC，BM=AB=CG，∴△BMH≌△GCH（AAS），∴MH=CH，BH=HG，∴EH=EM+MH=AE+CH，故①③正確，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴2∠AEB+2∠ABE=180°，∵∠DEC+∠AEC=180°，∠AEC=2∠AEB，∴∠DEC+2∠AEB=180°，∴∠DEC=2∠ABE，故②正確，∵FH平分∠EFG，∴∠EFH=45°，∵∠FEH=90°，∴AB=EF=EH，∵EH＞HM=CH，∴CH＜AB，故④錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查性質(zhì)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．8．A解析：A【分析】取AD中點(diǎn)O，連接OE，得到△ODE≌△HDG，得到OE=HG,當(dāng)OE⊥AC時(shí)，OE有最小值，此時(shí)△AOE是等腰直角三角形，OE=AE，再根據(jù)正方形及勾股定理求出OE，即可得到GH的長．【詳解】取AD中點(diǎn)O，連接OE，得到△ODE≌△HDG，得到OE=HG,當(dāng)OE⊥AC時(shí)，OE有最小值，此時(shí)△AOE是等腰直角三角形，OE=AE，∵AD=AB=4,∴AO=AB=2在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2+AE2=AO2=4,即2OE2=4解得OE=∴GH的最小值為故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì),根據(jù)題意確定E點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵．9．C解析：C【分析】①由翻折知∠ABE=∠AB'E=90o，再證∠M=∠CB'E=∠B'AD即可；②借助軸對(duì)稱可知；③利用計(jì)算，勾股定理求B′D，構(gòu)造方程，求EB，在構(gòu)造勾股定理求MB′=；④由相似CB'：BM=CE：BE，BM=，在計(jì)算B'M>5；⑤證△BEG≌△B′PG得BE=B′P，再證菱形即可．【詳解】①由折疊性質(zhì)知∠ABE=∠AB'E=90o，∴∠CB'E+∠AB'D=90o∵∠D=90o∴∠B'AD+∠AB'D=90o∴∠CB'E=∠B'AD，∵CD∥MB，∴∠M=∠CB'E=∠B'AD；②點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，則B'P=BP；③由翻折，AB=AB'=5，AD=4，由勾股定理DB'=3，∴CB'=5-3=2，設(shè)BE=x=B'E，CE=4-x，在Rt△B′CE中，∠C=90o，由勾股定理（4-x）2+22=x2，解得x=，∴CE=4-=，在Rt△ABE中，∠ABE=90o，AE=；④由BM∥CB′∴△ECB′∽△EBM，∴CB'：BM=CE：BE，∴2：BM=：，∴BM=，則B'M=>5=CD；⑤連接BB′，由對(duì)稱性可知，BG=B′G，EP⊥BB′，BE∥B′P，∴△BEG≌△B′PG，∴BE=B′P，∴四邊形BPB′E為平行四邊形，又BE=EB′，所以四邊形BPB′E是菱形，所以PB′=B'E．故選擇：C．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、圖形的翻折變換以及相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)的應(yīng)用，此題的關(guān)鍵是能夠發(fā)現(xiàn)△BEG≌△B′PG．10．C解析：C【分析】在矩形ABCD中，由矩形邊長，可得矩形面積是12，進(jìn)而得，由矩形對(duì)角線相等且互相平分得，，，利用勾股定理可解得,則，，即可求出PE+PF的值．【詳解】解：連接PO，如下圖：∵在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，∴,，，，，∴,，，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，利用等積法間接求三角形的高線長及用勾股定理求直角三角形的斜邊；利用面積法求解，是本題的解題突破點(diǎn)．二、填空題11．(-10，3)【解析】試題分析：根據(jù)題意可知△CEF∽△OFA，可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例，可求得OF=2CE，設(shè)CE=x，則BE=8-x，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得EF=8-x，根據(jù)勾股定理可得，解得x=3，則OF=6，所以O(shè)C=10，由此可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-10，3）.故答案為：（-10，3）12．【分析】根據(jù)幾何圖形特征，先求出、、，根據(jù)求出的結(jié)果，找出規(guī)律，從而得出．【詳解】∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，ED∥AB，EF∥AC∴DE、EF是△ABC的中位線∵等邊△ABC的邊長為1∴AD=DE=EF=AF=則=同理可求得：=，=發(fā)現(xiàn)規(guī)律：規(guī)律為依次縮小為原來的∴=故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查找規(guī)律和中位線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是求解出幾組數(shù)據(jù)，根據(jù)求解的數(shù)據(jù)尋找規(guī)律．13．①③④【分析】由“AAS”可證△AOE≌△COF，△AHO≌△CGO，可得OE=OF，HO=GO，可證四邊形EGFH是平行四邊形，由EF⊥GH，可得四邊形EGFH是菱形，可判斷①③正確，若四邊形ABCD是正方形，由“ASA”可證△BOG≌△COF，可得OG=OF，可證四邊形EGFH是正方形，可判斷④正確，即可求解．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∵線段EF的垂直平分線分別交BC、AD邊于點(diǎn)G、H，∴GH過點(diǎn)O，GH⊥EF，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，∴△AHO≌△CGO（AAS），∴HO＝GO，∴四邊形EGFH是平行四邊形，∵EF⊥GH，∴四邊形EGFH是菱形，∵點(diǎn)E是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴隨著點(diǎn)E的移動(dòng)可以得到無數(shù)個(gè)平行四邊形EGFH，隨著點(diǎn)E的移動(dòng)可以得到無數(shù)個(gè)菱形EGFH，故①③正確；若四邊形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°；∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°，∴∠BOG＝∠COF；在△BOG和△COF中，∵，∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG＝OF，同理可得：EO＝OH，∴GH＝EF；∴四邊形EGFH是正方形，∵點(diǎn)E是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴至少得到一個(gè)正方形EGFH，故④正確，故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是關(guān)鍵．14．24【分析】由菱形的性質(zhì)可得OD＝OB，∠COD＝90°，由直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半，可得OH＝BD＝OB，可得∠OHB＝∠OBH，由余角的性質(zhì)可得∠DHO＝∠DCO，即可求解．【詳解】【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°，∠DAB＝∠DCB＝48°，∵DH⊥AB，∴OH＝BD＝OB，∴∠OHB＝∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO＝90°，在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO＝∠DCB＝24°，故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，是幾何綜合題，判斷出OH是BD的一半，和∠DHO＝∠DCO是解決本題的關(guān)鍵．15．3或6【詳解】①∠B′EC=90°時(shí)，如圖1，∠BEB′=90°，由翻折的性質(zhì)得∠AEB=∠AEB′=×90°=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE=AB=6cm；②∠EB′C=90°時(shí)，如圖2，由翻折的性質(zhì)∠AB′E=∠B=90°，∴A、B′、C在同一直線上，AB′=AB，BE=B′E，由勾股定理得，AC==10cm，∴B′C=10-6=4cm，設(shè)BE=B′E=x，則EC=8-x，在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，即x2+42=（8-x）2，解得x=3，即BE=3cm，綜上所述，BE的長為3或6cm．故答案為3或6．16．①②④⑤【分析】根據(jù)∠B=90°，AB=BE，△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△AHD，可得△ABE?△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，可證AD//BC，根據(jù)DC⊥BC，可得∠HDE=∠CDE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得∠HDE=∠CDE，即DE平分∠HDC，所以①正確；利用∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，得到四邊形ABCD是矩形，有∠ADC=90°，∠HDC=45°，由①有DE平分∠HDC，得∠HDO=22.5°，可得∠AHB=67.5°，∠DHO=22.5°，可證OD=OH，利用AE=AD易證∠OHE=∠HEO=67.5°，則有OE=OH，OD=OE，所以②正確；利用AAS證明ΔDHE?ΔDCE，則有DH=DC，∠HDE=∠CDE=22.5°，易的∠DHF=22.5°，∠DFH=112.5°，則△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，即有：CD≠HF，所以③錯(cuò)誤；根據(jù)△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，∵J是BC的中點(diǎn)，H是BF的中點(diǎn)，得到2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，易證BC?CF=2CE，所以④正確；過H作HJ⊥BC于J，并延長HJ交AD于點(diǎn)I，得IJ⊥AD，I是AD的中點(diǎn)，J是BC的中點(diǎn)，H是BF的中點(diǎn)，所以⑤正確；【詳解】∵Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，∴∠BAE=∠BEA=45°，又∵將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△AHD，∴△ABE?△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，∴∠EAD=45°，AE=AD，∠AHD=90°，∴∠ADE=∠AED，∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=45°+45°=90°，∴AD//BC，∴∠ADE=∠DEC，∴∠AED=∠DEC，又∵DC⊥BC，∴∠DCE=∠DHE=90°∴由三角形的內(nèi)角和可得∠HDE=∠CDE，即：DE平分∠HDC，所以①正確；∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠HDC=45°，由①有DE平分∠HDC，∴∠HDO=∠HDC=×45°=22.5°，∵∠BAE=45°，AB=AH，∴∠OHE=∠AHB=(180°?∠BAE)=×(180°?45°)=67.5°，∴∠DHO=∠DHE?∠FHE=∠DHE?∠AHB=90°?67.5°=22.5°，∴OD=OH，在△AED中，AE=AD，∴∠AED=(180°?∠EAD)=×(180°?45°)=67.5°，∴∠OHE=∠HEO=67.5°，∴OE=OH，∴OD=OE，所以②正確；在△DHE和△DCE中，，∴ΔDHE?ΔDCE(AAS)，∴DH=DC，∠HDE=∠CDE=×45°=22.5°，∵OD=OH，∴∠DHF=22.5°，∴∠DFH=180°?∠HDF?∠DHF=180°?45°?22.5°=112.5°，∴△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，即有：CD≠HF，所以③不正確；如圖，過H作HJ⊥BC于J，并延長HJ交AD于點(diǎn)I，∵△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，∴JH=JE，又∵J是BC的中點(diǎn)，H是BF的中點(diǎn)，∴2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，∴2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC，即有：BC?CF=2CE，所以④正確；∵AD//BC，∴IJ⊥AD，又∵△AHD是等腰直角三角形，∴I是AD的中點(diǎn)，∵四邊形ABCD是矩形，HJ⊥BC，∴J是BC的中點(diǎn)，∴H是BF的中點(diǎn)，所以⑤正確；綜上所述，正確的有①②④⑤，故答案為：①②④⑤．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．17．6【分析】由折疊的性質(zhì)可得∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S△ABC=S△AB'C=12cm2，可證點(diǎn)B，點(diǎn)A，點(diǎn)B'三點(diǎn)共線，通過證明四邊形ACDB'是平行四邊形，可得B'E=CE，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，S△ABC==12cm2，∵在同一平面內(nèi)將△ABC沿AC翻折，得到△AB′C，∴∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S△ABC=S△AB'C=12cm2，∴∠BAB'=180°，∴點(diǎn)B，點(diǎn)A，點(diǎn)B'三點(diǎn)共線，∵AB∥CD，AB'∥CD，∴四邊形ACDB'是平行四邊形，∴B'E=CE，∴S△ACE=S△AB'C=6cm2，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，平行四邊形的判定和性質(zhì)，證明點(diǎn)B，點(diǎn)A，點(diǎn)B'三點(diǎn)共線是本題的關(guān)鍵．18．②③【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AC⊥BD，所以在Rt△AFP中，AF一定大于AP，從而判斷①；設(shè)∠BAE=x，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等表示出∠ABE，再根據(jù)菱形的鄰角互補(bǔ)求出∠ABE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出方程，求出x的值，求出∠BFE和∠BE的度數(shù)，從而判斷②③．【詳解】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴在Rt△AFP中，AF一定大于AP，故①錯(cuò)誤；∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠ABE+∠BAE+∠EAD=180°，設(shè)∠BAE=x°，則∠EAD=2x°，∠ABE=180°-x°-2x°，∵AB=AE，∠BAE=x°，∴∠ABE=∠AEB=180°-x°-2x°，由三角形內(nèi)角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180，解得：x=36，即∠BAE=36°，∠BAE=180°-36°-2×36°=70°，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAD=∠CBD=∠ABE=36°，∴∠BFE=∠ABD+∠BAE=36°+36°=72°，∴∠BEF=180°-36°-72°=72°，∴BE=BF=AF．故③正確∵∠AFD=∠BFE=72°，∠EAD=2x°=72°∴∠AFD=∠EAD∴AD=FD又∵AD=AB=AE∴AE=FD，故②正確∴正確的有②③故答案為：②③【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并列出關(guān)于∠BAE的方程是解題的關(guān)鍵，注意：菱形的對(duì)邊平行，菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角．19．65【分析】先由正方形的性質(zhì)得到∠ABF的角度，從而得到∠AEB的大小，再證△AEB≌△AED，得到∠AED的大小【詳解】∵四邊形ABCD是正方形∴∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠CAD=45°，∠ABC=90°，AB=AD∵∠FBC=20°，∴ABF=70°∴在△ABE中，∠AEB=65°在△ABE與△ADE中∴△ABE≌△ADE∴∠AED=∠AEB=65°故答案為：65°【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)和三角形全等的證明，解題關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)，推導(dǎo)出∠AEB的大小.20．2或3.5【分析】分別從當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到E和B之間、當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到E和C之間去分析求解即可求得答案．【詳解】如圖，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=CE=BC=9，①當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到E和B之間，則得：3t﹣9=5﹣t，解得：t=3.5；②當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到E和C之間，則得：9﹣3t=5﹣t，解得：t=2，∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為2秒或3.5秒時(shí)，以點(diǎn)P，Q，E，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】“點(diǎn)睛”此題考查了梯形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)．解題時(shí)注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．三、解答題21．（1）見解析（2）10【分析】（1）先證明，得到，，再證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得到，即可證明四邊形是菱形。（2）連接，證明四邊形是平行四邊形，得到，利用菱形的求面積公式即可求解?！驹斀狻浚?）證明：∵，∴，∵是的中點(diǎn)，是邊上的中線，∴，在和中，，∴，∴．∵，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴，∴四邊形是菱形；（2）如圖，連接，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵四邊形是菱形，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的應(yīng)用，菱形的判定定理以及菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的的判定定理和性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵。22．（1）AG2=GE2+GF2，理由見解析；（2）【分析】（1）結(jié)論：AG2=GE2+GF2．只要證明GA=GC，四邊形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可證明；（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一點(diǎn)M，使得AM=BM．設(shè)AN=x．易證AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，根據(jù)AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+x）2，解得x=，推出BN=，再根據(jù)BG=BN÷cos30°即可解決問題.【詳解】解：（1）結(jié)論：AG2=GE2+GF2．理由：連接CG．∵四邊形ABCD是正方形，∴A、C關(guān)于對(duì)角線BD對(duì)稱，∵點(diǎn)G在BD上，∴GA=GC，∵GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四邊形EGFC是矩形，∴CF=GE，在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，∴AG2=GF2+GE2．（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一點(diǎn)M，使得AM=BM．設(shè)AN=x．∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，∴∠AMN=30°，∴AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，∴1=x2+（2x+x）2，解得x=，∴BN=，∴BG=BN÷cos30°=．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形30度的性質(zhì)．23．（1）證明見解析；（2）能，10；（3），理由見解析；【分析】（1）利用題中所給的關(guān)系式，列出CD，DF，AE的式子，即可證明．（2）由題意知，四邊形AEFD是平行四邊形，令A(yù)D=DF，求解即可得出t值．（3）由題意可知，當(dāng)DE∥BC時(shí)，△DEF為直角三角形，利用AD+CD=AC的等量關(guān)系，代入式子求值即可．【詳解】（1）由題意知：三角形CFD是直角三角形∵∠B＝90°，∠A＝60°∴∠C=30°，CD=2DF，又∵由題意知CD=4t，AE=2t，∴CD=2AE∴AE=DF．（2）能，理由如下；由（1）知AE=DF又∵DF⊥BC，∠B＝90°∴AE∥DF∴四邊形AEFD是平行四邊形．當(dāng)AD=DF時(shí)，平行四邊形AEFD是菱形∵AC＝60cm，DF=CD，CD=4t，∴AD=60-4t，DF=2t，∴60-4t=2t∴t=10．（3）當(dāng)t為時(shí)，△DEF為直角三角形，理由如下；由題意知：四邊形AEFD是平行四邊形，DF⊥BC，AE∥DF，∴當(dāng)DE∥BC時(shí)，DF⊥DE∴∠FDE=∠DEA=90°在△AED中，∵∠DEA=90°，∠A＝60°，AE=2t∴AD=4t，又∵AC＝60cm，CD=4t，∴AD+CD=AC，8t=60，∴t=．即t=時(shí)，∠FDE=∠DEA=90°，△DEF為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形、平行四邊形及菱形的性質(zhì)，正確掌握三角形、平行四邊形及菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）由題意根據(jù)勾股定理分別表示出進(jìn)行分析求證即可；（2）根據(jù)題意連接CG、BE，證明△GAB≌△CAE，進(jìn)而得BG⊥CE，再根據(jù)（1）的結(jié)論進(jìn)行分析即可求出答案．【詳解】解：（1）∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，∴；（2）連接CG、BE，如圖2，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，由（1）得，，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4，BE=5，∴，∴GE=．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，熟練并正確理解全等三角形的判定和性質(zhì)以及靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．25．（1）矩形；（2）菱形；（3）；（4）見解析【分析】（1）由平移推出，即可證得四邊形是平行四邊形，再根據(jù)，得到即可得到結(jié)論；（2）由平移推出，證得四邊形是平行四邊形，根據(jù)得到，再根據(jù)勾股定理求出AF=5=AD，即可證得四邊形是菱形；（3）先利用勾股定理求出，再根據(jù)菱形的面積求出；（4）在BC邊上取點(diǎn)E，連接AE，平移△ABE得到△DCF，可得四邊形AEFD是平行四邊形.【詳解】(1)四邊形是矩形，在中，，，由平移可知：，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是矩形；(2)四邊形是菱形，在矩形中，，，由平移可知：，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，在，，∴，∴四邊形是菱形；(3)連接,在中，，，∴，∴；(4)在BC上取一點(diǎn)E，連接AE，平移△ABE得到△DCF，可得四邊形AEFD是平行四邊形.【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定定理，菱形的判定及性質(zhì)，平移的性質(zhì)的應(yīng)用，勾股定理.26．（1）見解析；（2）；（3）4或6【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得，，由平行四邊形的性質(zhì)得，．則，，得，證出，則，由等腰三角形的性質(zhì)得，證出，即可得出結(jié)論；（2）證四邊形是矩形，則，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得出方程，求出，由三角形面積公式即可得出答案；（3）分兩種情況：或，需要畫出圖形分類討論，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)，即可得到的長．【詳解】解：（1）證明：由折疊的性質(zhì)得：△，，，四邊形是平行四邊形，，．，，，，，，，，；（2）平行四邊形中，，四邊形是矩形，，，，由（1）得：，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，解得：，，的面積；（3）分兩種情況：①如圖3，當(dāng)時(shí)，延長交于，，，，，，，，，，，是的中點(diǎn)，在中，，；②如圖4，當(dāng)時(shí)，，，由折疊的性質(zhì)得：，，在和中，，，，，，，，，，，又，，，在同一直線上，，中，，，，；綜上所述，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長為4或6．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．（1）；；（2）①見詳解；②x=1；（3）△CDP為等腰三角形時(shí)x的值為：或或．【分析】（1）BP+DP為點(diǎn)B到D兩段折線的和．由兩點(diǎn)間線段最短可知，連接DB，若P點(diǎn)落在BD上，此時(shí)和最短，且為．考慮動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，這種情形是存在的，由AQ=x，則QD=3-x，PQ=x．又PDQ=45°，所以QD＝PQ，即3-x=x．求解可得答案；（2）由已知條件對(duì)稱分析，AB=BP=BC，則∠BCP=∠BPC，由∠BPM=∠BCM=90°，可得∠MPC=∠MCP．那么若有MP=MD，則結(jié)論可證．再分析新條件∠CPD=90°，易得①結(jié)論．②求x的值，通常都是考慮勾股定理，選擇直角三角形QDM，發(fā)現(xiàn)QM，DM，QD都可用x來表示，進(jìn)而易得方程，求解即可．（3）若△CDP為等腰三角形，則邊CD比為改等腰三角形的一腰或者底邊．又P點(diǎn)為A點(diǎn)關(guān)于QB的對(duì)稱點(diǎn)，則AB=PB，以點(diǎn)B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，則P點(diǎn)只能在弧AB上．若CD為腰，以點(diǎn)C為圓心，以CD的長為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)即為使得△CDP為等腰三角形（CD為腰）的P點(diǎn)．若CD為底邊，則作CD的垂直平分線，其與弧AC的交點(diǎn)即為使得△CDP為等腰三角形（CD為底）的P點(diǎn)．則如圖所示共有三個(gè)P點(diǎn)，那么也共有3個(gè)Q點(diǎn)．作輔助線，利用直角三角形性質(zhì)求之即可．【詳解】解：（1）連接DB，若P點(diǎn)落在BD上，此時(shí)BP+DP最短，如圖：由題意，∵正方形ABCD的邊長為3，∴，∴BP＋DP的最小值是；由折疊的性質(zhì)，，則，∵∠PDQ=45°，∠QPD=90°，∴△QPD是等腰直角三角形，∴，∴，解得：；故答案為：；；（2）如圖所示：①證明：在正方形ABCD中，有AB=BC，∠A=∠BCD=90°．∵P點(diǎn)為A點(diǎn)關(guān)于BQ的對(duì)稱點(diǎn)，∴AB=PB，∠A=∠QPB=90°，∴PB=BC，∠BPM=∠BCM，∴∠BPC=∠BCP，∴∠MPC=∠MPB-∠CPB=∠MCB-∠PCB=∠MCP，∴MP=MC．在Rt△PDC中，∵∠PDM=90°-∠PCM，∠DPM=90°-∠MPC，∴∠PDM=∠DPM，∴MP=MD，∴CM=MP=MD，即M為CD的中點(diǎn)．②解：∵AQ=x，AD=3，∴QD=3-x，PQ=x，CD=3．在Rt△DPC中，∵M(jìn)為CD的中點(diǎn)，∴DM=QM=CM=，∴QM=PQ+PM=x+，∴(x+)2＝(3?x)2+()2，解得：x=1．（3）如圖，以點(diǎn)B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，以點(diǎn)C為圓心，以CD的長為半徑畫弧，兩弧分別交于P1，P3．此時(shí)△CDP1，△CDP3都為以CD為腰的等腰三角形．作CD的垂直平分線交弧AC于點(diǎn)P2，此時(shí)△CDP2以CD為底的等腰三角形．；①討論P(yáng)1，如圖作輔助線，連接BP1、CP1，作QP1⊥BP1交AD于Q，過點(diǎn)P1，作EF⊥AD于E，交BC于F．∵△BCP1為等邊三角形，正方形ABCD邊長為3，∴P1F＝，P1E＝．在四邊形ABP1Q中，∵∠ABP1=30°，∴∠AQP1=150°，∴△QEP1為含30°的直角三角形，∴QE=EP1＝．∵AE=，∴x=AQ=AE-QE=．②討論P(yáng)2，如圖作輔助線，連接BP2，AP2，過點(diǎn)P2作QG⊥BP2，交AD于Q，連接BQ，過點(diǎn)P2作EF⊥CD于E，交AB于F．∵EF垂直平分CD，∴EF垂直平分AB，∴AP2=BP2．∵AB=BP2，∴△ABP2為等邊三角形．在四邊形ABP2Q中，∵∠BAD=∠BP2Q=90°，∠ABP2=60°，∴∠AQG=120°∴∠EP2G=∠DQG=180°-120°=60°，∴