人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊學(xué)案：6 1　第二課時　兩個計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE1第二課時兩個計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.進(jìn)一步理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別.2.會正確應(yīng)用這兩個計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù).通過進(jìn)一步應(yīng)用兩個計(jì)數(shù)原理，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).新知探究青島是一座美麗的濱海城市，空氣良好，城市生活也很悠閑，海水清澈漂亮，能看到美麗的海岸線，青島的海鮮很便宜，海濱城市邊吃海鮮邊吹海風(fēng)很愜意，小新決定“五一”期間從棗莊乘火車到濟(jì)南辦事，再于次日從濟(jì)南乘汽車到青島旅游，一天中火車有3班，汽車有2班，他將如何安排行程？問題上述情境中，小新從棗莊到濟(jì)南共有多少種不同的走法？〖提示〗因?yàn)槌嘶疖囉?種走法，乘汽車有2種走法，所以從棗莊到青島需乘一次火車再接著乘1次汽車就可以了，因此共有3×2＝6(種)不同的走法．兩個計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系用兩個計(jì)數(shù)原理解決問題時，要明確是需要分類還是需要分步，有時，可能既要分類又要分步分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)用來計(jì)算完成一件事的方法種類不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事(每步中的一種方法不能獨(dú)立完成這件事)注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整拓展深化〖微判斷〗1．分類計(jì)數(shù)是指將完成這件事的所有方式進(jìn)行分類，每一類都能獨(dú)立完成該事件．(√)2.分步計(jì)數(shù)是指將完成這件事分解成若干步驟，當(dāng)完成所有的步驟時，這個事件才算完成．(√)3．當(dāng)一個事件既需要分步又需要分類時，分步和分類沒有先后之分．(×)〖提示〗當(dāng)一個事件既需要分步又需要分類時，通常要明確是先分類后分步還是先分步后分類，并且要明確分類的標(biāo)準(zhǔn)和分步的程序問題．〖微訓(xùn)練〗1．有A，B兩種類型的車床各一臺，現(xiàn)有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都會操作兩種車床，丙只會操作A種車床，要從這三名工人中選兩名分別去操作這兩種車床，則不同的選派方法有()A．6種 B．5種C．4種 D．3種〖解析〗不同的選派情況可分為3類：若選甲、乙，有2種方法；若選甲、丙，有1種方法；若選乙、丙，有1種方法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的選派方法有2＋1＋1＝4(種)．〖答案〗C2．某班有3名學(xué)生準(zhǔn)備參加校運(yùn)會的100米、200米、跳高、跳遠(yuǎn)四項(xiàng)比賽，如果每班每項(xiàng)限報(bào)1人，則這3名學(xué)生的參賽的不同方法有()A．24種 B．48種C．64種 D．81種〖解析〗由于每班每項(xiàng)限報(bào)1人，故當(dāng)前面的學(xué)生選了某項(xiàng)之后，后面的學(xué)生不能再報(bào)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4×3×2＝24(種)不同的參賽方法．〖答案〗A〖微思考〗用前6個大寫英文字母和1～9九個阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？〖提示〗編寫一個號碼要先確定一個英文字母，后確定一個阿拉伯?dāng)?shù)字，我們可以用樹形圖列出所有可能的號碼．如圖：由于前6個英文字母中的任意一個都能與9個數(shù)字中的任何一個組成一個號碼，而且它們各不相同，因此共有6×9＝54(個)不同的號碼.題型一兩個計(jì)數(shù)原理在排數(shù)中的應(yīng)用〖例1〗用0，1，2，3，4五個數(shù)字，(1)可以排成多少個三位數(shù)字的電話號碼？(2)可以排成多少個三位數(shù)？(3)可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解(1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(種)，即可以排成125個三位數(shù)字的電話號碼．(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(種)，即可以排成100個三位數(shù)．(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0，2，4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法．因而有12＋18＝30(種)排法，即可以排成30個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．〖遷移〗(變設(shè)問)由本例中的五個數(shù)字可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？解完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1，3中任取一個，有2種方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用過的一個剩下的3個中任取一個，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的3個數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有2×3×3×2＝36(個)．規(guī)律方法對于組數(shù)問題，應(yīng)掌握以下原則：(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵．一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解．(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位．〖訓(xùn)練1〗從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A．24 B．18C．12 D．6〖解析〗由于題目要求是奇數(shù)，那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況；奇偶奇，偶奇奇．如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析(3種情況)，之后十位(2種情況)，最后百位(2種情況)，共12種；如果是第二種情況偶奇奇：個位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種，因此總共有12＋6＝18(種)情況．故選B.〖答案〗B題型二分配問題〖例2〗高三年級的四個班到甲、乙、丙、丁、戊五個工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有()A．360種 B．420種C．369種 D．396種〖解析〗法一(直接法)以甲工廠分配班級情況進(jìn)行分類，共分為四類：第一類，四個班級都去甲工廠，此時分配方案只有1種情況；第二類，有三個班級去甲工廠，剩下的班級去另外四個工廠，其分配方案共有4×4＝16(種)；第三類，有兩個班級去甲工廠，另外兩個班級去其他四個工廠，其分配方案共有6×4×4＝96(種)；第四類，有一個班級去甲工廠，其他班級去另外四個工廠，其分配方案有4×4×4×4＝256(種)．綜上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(種)．法二(間接法)先計(jì)算四個班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即：5×5×5×5－4×4×4×4＝369(種)方案．〖答案〗C規(guī)律方法選(抽)取與分配問題的常見類型及其解法(1)當(dāng)涉及對象數(shù)目不大時，一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法．(2)當(dāng)涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理．一般地，若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行；若按對象特征抽取的，則按分類進(jìn)行．②間接法：去掉限制條件計(jì)算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可．〖訓(xùn)練2〗(1)有4位老師在同一年級的4個班級中各教一個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)考試時，要求每位老師均不在本班監(jiān)考，則安排監(jiān)考的方法種數(shù)是()A．11 B．10C．9 D．8(2)從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項(xiàng)不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有()A．280種 B．240種C．180種 D．96種〖解析〗(1)法一設(shè)四個班級分別是A，B，C，D，它們的老師分別是a，b，c，d，并設(shè)a監(jiān)考的是B，則剩下的三個老師分別監(jiān)考剩下的三個班級，共有3種不同的方法；同理當(dāng)a監(jiān)考C，D時，剩下的三個老師分別監(jiān)考剩下的三個班級也各有3種不同的方法．這樣，由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有3＋3＋3＝9(種)不同的安排方法．法二讓a先選，可從B，C，D中選一個，即有3種選法．若選的是B，則b從剩下的3個班級中任選一個，也有3種選法，剩下的兩個老師都只有一種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有3×3×1×1＝9(種)不同安排方法．(2)由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有4種選法．后面三項(xiàng)工作的選法有5×4×3種，因此共有4×5×4×3＝240(種)選派方案．〖答案〗(1)C(2)B題型三涂色問題〖例3〗如圖所示，要給“創(chuàng)”、“新”、“設(shè)”、“計(jì)”四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色，有多少種不同的涂色方法？解創(chuàng)、新、設(shè)、計(jì)四個區(qū)域依次涂色，分四步．第1步，涂“創(chuàng)”區(qū)域，有3種選擇．第2步，涂“新”區(qū)域，有2種選擇．第3步，涂“設(shè)”區(qū)域，由于它與“創(chuàng)”、“新”區(qū)域顏色不同，有1種選擇．第4步，涂“計(jì)”區(qū)域，由于它與“創(chuàng)”“設(shè)”區(qū)域顏色不同，有1種選擇．所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6(種)．規(guī)律方法求解涂色(種植)問題一般是直接利用兩個計(jì)數(shù)原理求解，常用方法有：(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析；(2)以顏色(種植作物)為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問題，用分類加法計(jì)數(shù)原理分析；(3)對于涂色(立方體)問題將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域涂色問題.〖訓(xùn)練3〗如圖所示，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有四種不同的花供選種，要求在每塊里種一種花，且相鄰的兩塊種不同的花，則不同的種法種數(shù)為()A．96 B．84C．60 D．48〖解析〗依次種A，B，C，D4塊，當(dāng)C與A種同一種花時，有4×3×1×3＝36(種)種法；當(dāng)C與A所種的花不同時，有4×3×2×2＝48(種)種法．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的種法種數(shù)為36＋48＝84.〖答案〗B一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是兩個最基本，也是最重要的原理，是解答排列、組合問題，尤其是較復(fù)雜的排列、組合問題的基礎(chǔ)．3．應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理要求分類的每一種方法都能把事件獨(dú)立完成；應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理要求各步均是完成事件必須經(jīng)過的若干彼此獨(dú)立的步驟．一般是先分類再分步，分類時要設(shè)計(jì)好標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)計(jì)好分類方案，防止重復(fù)和遺漏．若正面分類種類比較多，而問題的反面種類比較少時，則使用間接法會簡單一些．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c為二次函數(shù)，其中a，b，c∈{0，1，2，3，4}，則不同的二次函數(shù)的個數(shù)為()A．125 B．15C．100 D．10〖解析〗若y＝ax2＋bx＋c為二次函數(shù)，則a≠0，要完成該事件，需分步進(jìn)行：第一步，對于系數(shù)a有4種不同的選法；第二步，對于系數(shù)b有5種不同的選法；第三步，對于系數(shù)c有5種不同的選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有4×5×5＝100(個)．〖答案〗C2．6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A．144 B．120C．72 D．24〖解析〗剩余的3個座位共有4個空隙供3人(不妨記為甲、乙、丙)選擇就座，因此，可分三步：甲從4個空隙中任選一個空隙，有4種不同的選擇；乙從余下的3個空隙中任選一個空隙，有3種不同的選擇；丙從余下的2個空隙中任選一個空隙，有2種不同的選擇．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為4×3×2＝24.故選D.〖答案〗D3．兩人進(jìn)行乒乓球比賽，采取五局三勝制，即先贏三局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有()A．10種 B．15種C．20種 D．30種〖解析〗由題意知，比賽局?jǐn)?shù)最少為3局，至多為5局．當(dāng)比賽局?jǐn)?shù)為3局時，情形為甲或乙連贏3局，共2種；當(dāng)比賽局?jǐn)?shù)為4局時，若甲贏，則前3局中甲贏2局，最后一局甲贏，共有3種情形；同理，若乙贏，則也有3種情形，所以共有6種情形；當(dāng)比賽局?jǐn)?shù)為5局時，前4局，甲、乙雙方各贏2局，最后一局勝出的人贏，若甲前4局贏2局，共有贏取第1、2局，1、3局，1、4局，2、3局，2、4局，3、4局六種情形，所以比賽局?jǐn)?shù)為5局時共有2×6＝12(種)，綜上可知，共有2＋6＋12＝20(種)．故選C.〖答案〗C4．(a1＋a2)·(b1＋b2＋b3)·(c1＋c2＋c3＋c4)的展開式中有__________項(xiàng)．〖解析〗要得到項(xiàng)數(shù)分三步：第一步，從第一個因式中取一個因子，有2種取法；第二步，從第二個因式中取一個因子，有3種取法；第三步，從第三個因式中取一個因子，有4種取法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有2×3×4＝24(項(xiàng))．〖答案〗245．將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)