人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊學(xué)案：§8 3　列聯(lián)表與獨立性檢驗

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE1§8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過實例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義.2.通過實例，了解2×2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應(yīng)用．知識點一分類變量為了表述方便，我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機(jī)變量稱為分類變量．分類變量的取值可以用實數(shù)表示．知識點二2×2列聯(lián)表1．2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù)．2．定義一對分類變量X和Y，我們整理數(shù)據(jù)如下表所示：XY合計Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d像這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為2×2列聯(lián)表．知識點三獨立性檢驗1．定義：利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”．簡稱獨立性檢驗．2．χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.3．獨立性檢驗解決實際問題的主要環(huán)節(jié)(1)提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨立，并給出在問題中的解釋．(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計算χ2的值，并與臨界值xα比較．(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論．(4)在X和Y不獨立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．思考獨立性檢驗與反證法的思想類似，那么獨立性檢驗是反證法嗎？〖答案〗不是．因為反證法不會出錯，而獨立性檢驗依據(jù)的是小概率事件幾乎不發(fā)生．1．分類變量中的變量與函數(shù)的變量是同一概念．(×)2．等高堆積條形圖可初步分析兩分類變量是否有關(guān)系，而獨立性檢驗中χ2取值則可通過統(tǒng)計表從數(shù)據(jù)上說明兩分類變量的相關(guān)性的大?。?√)3．事件A與B的獨立性檢驗無關(guān)，即兩個事件互不影響．(×)4．χ2的大小是判斷事件A與B是否相關(guān)的統(tǒng)計量．(√)一、等高堆積條形圖的應(yīng)用例1為了解鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系，分別對病人組和對照組的尿液作尿棕色素定性檢查，結(jié)果如下：組別尿棕色素合計陽性數(shù)陰性數(shù)鉛中毒病人29736對照組92837合計383573試畫出列聯(lián)表的等高堆積條形圖，分析鉛中毒病人和對照組的尿棕色素陽性數(shù)有無差別，鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系？解等高堆積條形圖如圖所示：其中兩個淺色條的高分別代表鉛中毒病人和對照組樣本中尿棕色素為陽性的頻率．由圖可以直觀地看出鉛中毒病人與對照組相比，尿棕色素為陽性的頻率差異明顯，因此鉛中毒病人與尿棕色素為陽性有關(guān)系．反思感悟等高堆積條形圖的優(yōu)劣點(1)優(yōu)點：較直觀地展示了eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)的差異性．(2)劣點：不能給出推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤的概率．跟蹤訓(xùn)練1網(wǎng)絡(luò)對現(xiàn)代人的生活影響較大，尤其是對青少年，為了解網(wǎng)絡(luò)對中學(xué)生學(xué)習(xí)成績的影響，某地區(qū)教育主管部門從轄區(qū)初中生中隨機(jī)抽取了1000人調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中經(jīng)常上網(wǎng)的有200人，這200人中有80人期末考試不及格，而另外800人中有120人不及格．利用等高堆積條形圖判斷學(xué)生學(xué)習(xí)成績與經(jīng)常上網(wǎng)有關(guān)嗎？解根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表：學(xué)習(xí)成績上網(wǎng)合計經(jīng)常不經(jīng)常不及格80120200及格120680800合計2008001000得出等高堆積條形圖如圖所示：比較圖中陰影部分高可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)常上網(wǎng)不及格的頻率明顯高于經(jīng)常上網(wǎng)及格的頻率，因此可以認(rèn)為學(xué)習(xí)成績與經(jīng)常上網(wǎng)有關(guān)．二、由χ2進(jìn)行獨立性檢驗命題角度1有關(guān)“相關(guān)的檢驗”例2某校對學(xué)生課外活動進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果整理成下表：試根據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，分析喜歡體育還是文娛與性別是否有關(guān)系．性別喜歡合計體育文娛男生212344女生62935合計275279解零假設(shè)為H0：喜歡體育還是喜歡文娛與性別沒有關(guān)系．∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79，∴χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(79×21×29－23×62,44×35×27×52)≈8.106>7.879＝x0.005.根據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為喜歡體育還是喜歡文娛與性別有關(guān)．反思感悟用χ2進(jìn)行“相關(guān)的檢驗”步驟(1)零假設(shè)：即先假設(shè)兩變量間沒關(guān)系．(2)計算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．(3)查臨界值：結(jié)合所給小概率值α查得相應(yīng)的臨界值xα.(4)下結(jié)論：比較χ2與xα的大小，并作出結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練2甲、乙兩機(jī)床加工同一種零件，抽檢得到它們加工后的零件尺寸x(單位：cm)及個數(shù)y，如下表：零件尺寸x1.011.021.031.041.05零件個數(shù)y甲37893乙7444a由表中數(shù)據(jù)得y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－91＋100x(1.01≤x≤1.05)，其中合格零件尺寸為1.03±0.01(cm)．完成下面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，分析加工零件的質(zhì)量與甲、乙是否有關(guān)．機(jī)床加工零件的質(zhì)量合計合格零件數(shù)不合格零件數(shù)甲乙合計解eq\x\to(x)＝1.03，eq\x\to(y)＝eq\f(a＋49,5)，由eq\o(y,\s\up6(^))＝－91＋100x，知eq\f(a＋49,5)＝－91＋100×1.03，所以a＝11.由于合格零件尺寸為1.03±0.01cm，故甲、乙加工的合格與不合格零件的數(shù)據(jù)表為：機(jī)床加工零件的質(zhì)量合計合格零件數(shù)不合格零件數(shù)甲24630乙121830合計362460零假設(shè)為H0：加工零件的質(zhì)量與甲、乙無關(guān)．則χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(60×24×18－6×122,30×30×36×24)＝10，因為χ2＝10＞6.635＝x0.01，根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立．即認(rèn)為加工零件的質(zhì)量與甲、乙有關(guān)．命題角度2有關(guān)“無關(guān)的檢驗”例3下表是某屆某校本科志愿報名時，對其中304名學(xué)生進(jìn)入高校時是否知道想學(xué)專業(yè)的調(diào)查表：知道想學(xué)專業(yè)不知道想學(xué)專業(yè)合計男生63117180女生4282124合計105199304根據(jù)表中數(shù)據(jù)，則下列說法正確的是________．(填序號)①性別與知道想學(xué)專業(yè)有關(guān)；②性別與知道想學(xué)專業(yè)無關(guān)；③女生比男生更易知道所學(xué)專業(yè)．〖答案〗②〖解析〗χ2＝eq\f(304×63×82－42×1172,180×124×105×199)≈0.041≤2.706＝x0.1，所以性別與知道想學(xué)專業(yè)無關(guān)．反思感悟獨立性檢驗解決實際問題的主要環(huán)節(jié)(1)提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨立，并給出在問題中的解釋．(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計算χ2的值，并與臨界值xα比較．(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論．(4)在X和Y不獨立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．跟蹤訓(xùn)練3某省進(jìn)行高中新課程改革，為了解教師對新課程教學(xué)模式的使用情況，某一教育機(jī)構(gòu)對某學(xué)校的教師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用情況進(jìn)行了問卷調(diào)查，共調(diào)查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人．老教師對新課程教學(xué)模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對新課程教學(xué)模式贊同的有24人，不贊同的有6人．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表；(2)試根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，分析對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡是否有關(guān)系．解(1)2×2列聯(lián)表如下表所示：教師年齡對新課程教學(xué)模式合計贊同不贊同老教師101020青年教師24630合計341650(2)零假設(shè)為H0：對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無關(guān)．由公式得χ2＝eq\f(50×10×6－24×102,34×16×20×30)≈4.963<6.635＝x0.01，根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，即認(rèn)為對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無關(guān)．1.下面是一個2×2列聯(lián)表：XY合計Y＝0Y＝1X＝0a2173X＝182533合計b46則表中a，b處的值分別為()A．94,96 B．52,50C．52,60 D．54,52〖答案〗C〖解析〗∵a＋21＝73，∴a＝52，b＝a＋8＝52＋8＝60.2．某班主任對全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：性別作業(yè)量合計大不大男生18927女生81523合計262450則推斷“學(xué)生的性別與認(rèn)為作業(yè)量大有關(guān)”這種推斷犯錯誤的概率不超過()A．0.01 B．0.005C．0.05 D．0.001〖答案〗C〖解析〗由公式得χ2＝eq\f(50×18×15－8×92,26×24×27×23)≈5.059>3.841＝x0.05.∴犯錯誤的概率不超過0.05.3．(多選)若在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中，通過收集、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論，并且有99%以上的把握認(rèn)為這個結(jié)論是成立的，則下列說法中正確的是()A．在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為吸煙和患肺癌有關(guān)系B．1個人吸煙，那么這個人有99%的概率患有肺癌C．在100個吸煙者中一定有患肺癌的人D．在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有〖答案〗AD〖解析〗獨立性檢驗的結(jié)論是一個統(tǒng)計量，統(tǒng)計的結(jié)果只是說明事件發(fā)生的可能性的大小，具體到一個個體，則不一定發(fā)生．4．根據(jù)如圖所示的等高堆積條形圖可知喝酒與患胃病________關(guān)系．(填“有”或“沒有”)〖答案〗有〖解析〗從等高率．5．某銷售部門為了研究具有相關(guān)大學(xué)學(xué)歷和能按時完成銷售任務(wù)的關(guān)系，對本部門200名銷售人員進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示：能按時完成銷售任務(wù)不能按時完成銷售任務(wù)合計具有相關(guān)大學(xué)學(xué)歷574299不具有相關(guān)大學(xué)學(xué)歷3665101合計93107200根據(jù)上述數(shù)據(jù)能得出結(jié)論：有________以上的把握認(rèn)為“銷售人員具有相關(guān)大學(xué)學(xué)歷與能按時完成銷售任務(wù)是有關(guān)系的”．〖答案〗99%〖解析〗由公式χ2＝eq\f(nad－bc