專題12.21 全等三角形（全章知識梳理與考點(diǎn)分類講解）（人教版）（學(xué)生版） 2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題12.21全等三角形（全章知識梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識點(diǎn)歸納】一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）邊邊邊（SSS）兩直角邊對應(yīng)相等一邊一銳角對應(yīng)相等斜邊、直角邊定理（HL）性質(zhì)對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等（其他對應(yīng)元素也相等，如對應(yīng)邊上的高相等）備注判定三角形全等必須有一組對應(yīng)邊相等【知識點(diǎn)一】全等三角形的判定與性質(zhì)

【知識點(diǎn)二】全等三角形的證明思路【知識點(diǎn)三】角平分線的性質(zhì)1.角的平分線的性質(zhì)定理

角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等.

2.角的平分線的判定定理

角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

3.三角形的角平分線三角形角平分線交于一點(diǎn)，且到三邊的距離相等.4.與角平分線有關(guān)的輔助線在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.【知識點(diǎn)四】全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切巍⑺倪呅?、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問題的一個出發(fā)點(diǎn).運(yùn)用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何問題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1．證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個三角形全等.(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.(3)等式性質(zhì).2．證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.(2)證明兩個角所在的兩個三角形全等.(3)利用角平分線的判定進(jìn)行證明.(4)同角（等角）的余角（補(bǔ)角）相等.(5)對頂角相等.3．證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法；可通過證明兩個三角形全等，得到對應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.4．輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長中線法；(3)作以角平分線為對稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(或補(bǔ)短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5.證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個角所在的兩個三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個角所在的三角形全等的條件不充分時，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個三角形全等以補(bǔ)足條件.（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個三角形之間不存在全等關(guān)系，此時應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過構(gòu)造出全等三角形來研究平面圖形的性質(zhì).第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】利用全等三角形的性質(zhì)與判定求值或證明【例1】（23-24七年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，在中，為中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，連接，并延長至點(diǎn)，使得，連接．(1)求證：；(2)若，，，求的度數(shù)．【變式1】（23-24八年級下·江西吉安·期末）如圖，是的角平分線，，垂足為F，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級下·湖南長沙·期末）如圖，在中，H是高和的交點(diǎn)，且，已知，，則的長為．【題型2】添加輔助線證明三角形全等并求值【例2】（23-24八年級上·山東臨沂·期中）【基本模型】（1）如圖1，是正方形，，當(dāng)在邊上，在邊上時，請你探究、與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【模型運(yùn)用】（2）如圖2，是正方形，，當(dāng)在的延長線上，在的延長線上時，請你探究、與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【變式1】（20-21八年級上·陜西咸陽·期中）如圖是高空秋千的示意圖，小明從起始位置點(diǎn)A處繞著點(diǎn)O經(jīng)過最低點(diǎn)B，最終蕩到最高點(diǎn)C處，若，點(diǎn)A與點(diǎn)B的高度差A(yù)D＝1米，水平距離BD＝4米，則點(diǎn)C與點(diǎn)B的高度差CE為（）A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米【變式2】如圖，線段AB=8cm，射線AN⊥AB，垂足為點(diǎn)A，點(diǎn)C是射線上一動點(diǎn)，分別以AC，BC為直角邊作等腰直角三角形，得△ACD與△BCE，連接DE交射線AN于點(diǎn)M，則CM的長為．

【題型3】全等三角形的動態(tài)問題【例3】（23-24七年級下·上海閔行·期末）如圖，已知在中，射線點(diǎn)P為射線上的動點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合)，連接，將線段繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)角度α后，得到線段，連接、．(1)試說明的理由；(2)延長交射線于點(diǎn)D，在點(diǎn)P的移動過程中，的大小是否發(fā)生變化?若改變請說明理由，若不改變，請求出的大小(用含α的代數(shù)式表示)；(3)當(dāng)時，過點(diǎn)Q作垂直射線，垂足為E，那么(用m、n的代數(shù)式表示)．【變式1】（23-24八年級上·內(nèi)蒙古興安盟·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，連接，，垂足為，并且，，，，點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）如圖，，垂足為，，，射線，垂足為，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度沿射線運(yùn)動，點(diǎn)為射線上一動點(diǎn)，滿足，隨著點(diǎn)運(yùn)動而運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時間為秒時，與點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形全等（）．【題型4】全等三角形的綜合問題【例4】（23-24七年級下·陜西西安·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組在探討全等三角形相關(guān)問題的解決方法時發(fā)現(xiàn)：當(dāng)條件中出現(xiàn)“中線”或“中點(diǎn)”時，可考慮倍長中線或作一條邊的平行線來解決問題．

(1)【問題初探】如圖1：在中，，，為邊上的中線，則的取值范圍為__________．(2)【類比分析】如圖2：在中，，，是的中線，于點(diǎn)C，且．求的長度．(3)【拓展延伸】如圖3：在中，于點(diǎn)F，在右側(cè)作于點(diǎn)A，且，在左側(cè)作于點(diǎn)A，且，連接DE，延長交于點(diǎn)O．求證：點(diǎn)O為中點(diǎn)．【變式1】（23-24八年級上·重慶渝中·期末）兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形是一個箏形，，，下列說法：①；②；③；④．其中正確的是（

）

A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④【變式2】（23-24七年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，在中，延長到E，使得，連接，過點(diǎn)A作，且．連接與的延長線交于D點(diǎn)，則的長為．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交x軸正半軸于點(diǎn)M，交y軸正半軸于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在第一象限交于點(diǎn)H，畫射線，若，則．【例2】（2020·湖北鄂州·中考真題）如圖，在和中，，，，．連接、交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分其中正確的結(jié)論個數(shù)有（

）個．A．4 B．3 C．2 D．12、拓展延伸【例1】（23-24七年級下·江蘇南通·期末）已知中，，，動點(diǎn)