2024-2025學(xué)年莆田市仙游一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試卷附答案解析

-2025學(xué)年莆田市仙游一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試卷一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.直線的傾斜角的大小是（）A. B. C. D.2.空間向量在上的投影向量為（）A. B. C. D.3.若直線y＝－ax－與直線y＝3x－2垂直，則a的值為()A.－3 B.3 C.－ D.4.已知，，三點(diǎn)不共線，是平面外任意一點(diǎn)，若由確定的一點(diǎn)與，，三點(diǎn)共面，則的值為（）A. B. C. D.5.如圖，是的重心，，則（）A. B.C. D.6.如圖，二面角等于，是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長等于（）A. B. C.4 D.27.如圖，在直四棱柱中，底面ABCD是邊長為2正方形，，M，N分別是，AB的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P是線段DN上的動點(diǎn)，則MP的最小值為（）A. B. C. D.8.已知，，則最小值等于（）A. B.6 C. D.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分.）9.已知、、，則（）A.直線的方程為B.點(diǎn)到直線的距離為C.等腰直角三角形D.的面積為10.已知集合直線，其中是正常數(shù)，，下列結(jié)論中正確的是（）A.當(dāng)時，中直線斜率為B.中所有直線均經(jīng)過同一個定點(diǎn)C.當(dāng)時，中的兩條平行線間的距離的最小值為D.中的所有直線可覆蓋整個直角坐標(biāo)平面11.材料：在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且法向量的平面的方程為，經(jīng)過點(diǎn)且方向向量的直線方程為．閱讀上面材料，并解決下列問題：平面的方程為，平面的方程為，直線的方程為，直線的方程為，則（）A.平面與垂直B.平面與所成角的余弦值為C.直線與平面平行D.直線與是異面直線三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知向量，，，若，則實(shí)數(shù)______.13.已知直線ax+by-2=0，且3a-4b=1，則該直線必過定點(diǎn)_____.14.如圖，正方形和正方形的邊長都是1，且它們所在的平面所成的二面角的大小是，，分別是，上的動點(diǎn)，且，則的最小值是________．四?解答題（本大題共5小題，共77分）15.已知直線：，直線：.（1）若，求實(shí)數(shù)a的值；（2）直線與坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形面積為，求直線的斜率.16.已知直線過點(diǎn)且在軸上的截距相等（1）求直線的一般方程；（2）若直線在軸上的截距不為0，點(diǎn)在直線上，求的最小值．17如圖1，平面圖形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，與相交于點(diǎn)，現(xiàn)沿著將其折成四棱錐（如圖2）．（1）當(dāng)側(cè)面底面時，求點(diǎn)到平面的距離；（2）在（1）的條件下，線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．18.《九章算術(shù)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．如圖，在塹堵中，，，，，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的正切值；（3）求與平面所成角的正弦值．19.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知平面直角系中的點(diǎn)，則滿足的動點(diǎn)的軌跡記為圓.（1）求圓的方程；（2）若直線為，證明：無論為何值，直線與圓恒有兩個交點(diǎn)；（3）若點(diǎn)，當(dāng)在上運(yùn)動時，求的最大值和最小值一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.直線的傾斜角的大小是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用直線斜率與傾斜角關(guān)系計算即可.【詳解】由題意可知該直線的斜率為，所以其傾斜角為.故選：B2.空間向量在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)投影向量公式計算即可.【詳解】，，由投影向量的定義和公式可知在的投影向量為，故選：C.3.若直線y＝－ax－與直線y＝3x－2垂直，則a值為()A.－3 B.3 C.－ D.【答案】D【解析】【詳解】由題意得直線垂直的充要條件為：，得－a×3＝－1，∴a＝23.故答案選D．4.已知，，三點(diǎn)不共線，是平面外任意一點(diǎn)，若由確定的一點(diǎn)與，，三點(diǎn)共面，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)與，，三點(diǎn)共面，可得，從而可得答案.【詳解】因?yàn)?，，三點(diǎn)不共線，點(diǎn)與，，三點(diǎn)共面，又，所以，解得.故選：A.5.如圖，是的重心，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算的定義及重心的性質(zhì)可得，利用表示可得結(jié)論.【詳解】是的重心，，，，，，，，．故選：D．6.如圖，二面角等于，是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長等于（）A. B. C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，可得，再由空間向量的模長計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由二面角的平面角的定義知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故選：C.7.如圖，在直四棱柱中，底面ABCD是邊長為2的正方形，，M，N分別是，AB的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P是線段DN上的動點(diǎn)，則MP的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式表示，利用二次函數(shù)求值域，即可得到本題答案.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為2的正方形，，所以，∵點(diǎn)在平面上，∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵在上運(yùn)動，∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∵，∴當(dāng)時，取得最小值.故選：D8.已知，，則的最小值等于（）A. B.6 C. D.【答案】D【解析】【分析】令，，得到點(diǎn)，分別在直線，上，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，且點(diǎn)在直線上，將所求問題，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的倍，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，即可求出結(jié)果.【詳解】令，，由已知可得點(diǎn)，分別在直線，上，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，到原點(diǎn)的距離，依題意點(diǎn)在直線上，所以點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離即為原點(diǎn)到直線的距離，為，因此的最小值為，因此的最小值等于.故選：D.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分.）9.已知、、，則（）A.直線的方程為B.點(diǎn)到直線的距離為C.為等腰直角三角形D.的面積為【答案】ABC【解析】【分析】利用截距式方程可判斷A選項(xiàng)；利用點(diǎn)到直線的距離公式可判斷B選項(xiàng)；利用斜率關(guān)系以及兩點(diǎn)間的距離公式可判斷C選項(xiàng)；利用三角形的面積公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，直線的方程為，整理得，A對；對于B選項(xiàng)，直線的斜率為，所以直線的方程為，即，則點(diǎn)到直線距離為，B對；對于C選項(xiàng)，，，則，所以，又，，所以，所以為等腰直角三角形，C對；對于D選項(xiàng)，的面積為，D錯誤.故選：ABC.10.已知集合直線，其中是正常數(shù)，，下列結(jié)論中正確的是（）A.當(dāng)時，中直線的斜率為B.中所有直線均經(jīng)過同一個定點(diǎn)C.當(dāng)時，中的兩條平行線間的距離的最小值為D.中的所有直線可覆蓋整個直角坐標(biāo)平面【答案】AC【解析】【分析】代入特殊值求出直線判斷A，利用平行線間距離公式結(jié)合放縮法求解最值判斷C，舉反例判斷B，D即可.【詳解】對于A，當(dāng)時，，中直線的方程為，即，故其斜率為，故A正確；對于B，當(dāng)時，直線方程為，該直線必過，當(dāng)時，直線方程為，化簡得，不一定過，故B錯誤，對于C，當(dāng)時，中的兩條平行直線間的距離為，而，則，故，即最小值為，故C正確；對于D，點(diǎn)不滿足方程，所以中的所有直線不可覆蓋整個平面，故D錯誤，故選：AC.11.材料：在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且法向量的平面的方程為，經(jīng)過點(diǎn)且方向向量的直線方程為．閱讀上面材料，并解決下列問題：平面的方程為，平面的方程為，直線的方程為，直線的方程為，則（）A.平面與垂直B.平面與所成角的余弦值為C.直線與平面平行D.直線與是異面直線【答案】AD【解析】【分析】首先確定平面的法向量和直線的方向向量；由可知A正確；利用線面角的向量求法可知B錯誤；由及直線所過點(diǎn)在平面內(nèi)，可知，得C錯誤；由與不平行及直線方程構(gòu)成的方程組無解可知兩直線異面，則D正確.【詳解】由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直線的方向向量，直線的方向向量；對于A，，，則平面與垂直，A正確；對于B，，平面與所成角的余弦值為，B錯誤；對于C，，，直線平面或直線平面，直線過點(diǎn)，又滿足，直線平面，C錯誤；對于D，與不平行，直線與直線相交或異面，由得：，此時無解，直線與直線無交點(diǎn)，直線與直線是異面直線，D正確.故選：AD.三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知向量，，，若，則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求出的坐標(biāo)，然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式直接求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又，所以，解?故答案為：13.已知直線ax+by-2=0，且3a-4b=1，則該直線必過定點(diǎn)_____.【答案】(6，-8)【解析】【分析】由已知得b=，代入到直線方程中得a(4x+3y)=y+8，根據(jù)運(yùn)算法則：零乘以任何數(shù)都得零，聯(lián)立方程組解之可得該直線過定點(diǎn).詳解】由3a-4b=1，得b=，代入ax+by-2=0，得a(4x+3y)=y+8，令解得，所以該直線過定點(diǎn)(6，-8).故答案為：(6，-8).【點(diǎn)睛】本題考查直線的恒過定點(diǎn)，屬于中檔題.14.如圖，正方形和正方形的邊長都是1，且它們所在的平面所成的二面角的大小是，，分別是，上的動點(diǎn)，且，則的最小值是________．【答案】##【解析】【分析】利用二面角的定義證得就是二面角的平面角，即為，再利用空間向量將的長轉(zhuǎn)化為的模求解，利用空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積、一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)運(yùn)算即可得解.【詳解】解：連接，如下圖，由題意，，，正方形中，正方形中，平面，平面，平面平面，∴就是二面角的平面角，則，∴向量與向量夾角為，且，，設(shè)，，，則，且由題意，∴，∴，令，，圖象開口向上，且對稱軸為，∴當(dāng)時，取得最小值，即最小值為，∴的最小值是.故答案為：.四?解答題（本大題共5小題，共77分）15.已知直線：，直線：.（1）若，求實(shí)數(shù)a的值；（2）直線與坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形面積為，求直線的斜率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)直線垂直的判定列方程求參數(shù)；（2）由題意，分別求x、y軸上的截距，結(jié)合三角形面積求得，代入直線即可得斜率.【小問1詳解】由知：，可得.【小問2詳解】由直線與坐標(biāo)軸正半軸圍成三角形，故，令，可得；令，可得，所以，可得，故，故直線的斜率為.16.已知直線過點(diǎn)且在軸上的截距相等（1）求直線一般方程；（2）若直線在軸上的截距不為0，點(diǎn)在直線上，求的最小值．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）通過討論直線截距為0和截距不為0時的情況，即得；

（2）由題可知，根據(jù)基本不等式即得．【小問1詳解】因?yàn)橹本€過點(diǎn)且在軸上的截距相等，當(dāng)截距為0時，則；當(dāng)截距不為0時，可設(shè)，則，即，∴；綜上，的一般方程：或；【小問2詳解】由題意得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，的最小值為.17.如圖1，平面圖形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，與相交于點(diǎn)，現(xiàn)沿著將其折成四棱錐（如圖2）．（1）當(dāng)側(cè)面底面時，求點(diǎn)到平面的距離；（2）在（1）的條件下，線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在；【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得點(diǎn)到平面的距離.（2）設(shè)，求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用二面角的余弦值列方程，求得，進(jìn)而求得.【小問1詳解】∵，，∴．如下圖所示，連接，則,所以，所以，結(jié)合折疊前后圖形的關(guān)系可知，故四邊形為正方形，∴，即為的中點(diǎn)，∴，∴．∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，∴平面，易知，，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示，則，，，，，∴，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，得，，則為平面的一個法向量，則點(diǎn)到平面的距離．【小問2詳解】假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，且（）．∵，∴，∴，∴．設(shè)平面的法向量為，又∵，，∴，取，則，，取為平面的一個法向量．易知平面的一個法向量為，∵二面角的余弦值為，∴，化簡，得，解得或（舍去）．∴線段上存在滿足題意的點(diǎn)，且．18.《九章算術(shù)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．如圖，在塹堵中，，，，，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的正切值；（3）求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）二面角的正切值為；（3）與平面所成角的正弦值為.【解析】【分析】（1）先證明，根據(jù)線面平行判定定理證明平面，再證明平面，根據(jù)面面平行判定定理證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面和平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式求二面角的余弦值，根據(jù)同角關(guān)系求結(jié)論；（3）求直線的方向向量和平面的法向量，由線面夾角公式求結(jié)論.【小問1詳解】由已知，，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，連接，因?yàn)椋?，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，又，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.【小問2詳解】由已知平面，平面，所以，又，所以直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸的