人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)學(xué)案：培優(yōu)課 排列、組合問題的破解之術(shù)

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE1培優(yōu)課排列、組合問題的破解之術(shù)排列、組合問題是高考的必考題，它聯(lián)系實(shí)際、生動(dòng)有趣，但題型多樣、思路靈活，不易掌握.實(shí)踐證明，掌握題型和解題方法、識(shí)別模式、熟練運(yùn)用，是解決排列、組合應(yīng)用題的有效途徑.下面就談一談排列、組合應(yīng)用題的解題策略.1.相鄰排列——捆綁法n個(gè)不同元素排列成一排，其中某k個(gè)元素排在相鄰位置上，有多少種不同排法？先將這k個(gè)元素“捆綁在一起”，看成一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素同其它元素一起排列，共有Aeq\o\al(n－k＋1,n－k＋1)種排法.然后再將“捆綁”在一起的元素進(jìn)行內(nèi)部排列，共有Aeq\o\al(k,k)種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得符合條件的排法共Aeq\o\al(n－k＋1,n－k＋1)·Aeq\o\al(k,k)種.2.相離排列——插空法元素相離(即不相鄰)問題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素之間的空位和兩端.將n個(gè)不同元素排成一排，其中k個(gè)元素互不相鄰(k≤n－k)，有多少種排法？先把(n－k)個(gè)元素排成一排，共有Aeq\o\al(n－k,n－k)種排法，然后把k個(gè)元素插入(n－k＋1)個(gè)空隙中，共有排法Aeq\o\al(k,n－k＋1)種，故符合條件的排法共有Aeq\o\al(n－k,n－k)·Aeq\o\al(k,n－k＋1)種.3.定序問題——倍縮法在排列問題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法，此法也被叫消序法.將n個(gè)不同元素排列成一排，其中某k個(gè)元素的順序保持一定，有多少種不同排法？n個(gè)不同元素排列成一排，共有Aeq\o\al(n,n)種排法；k個(gè)不同元素排列成一排共有Aeq\o\al(k,k)種不同排法.于是，k個(gè)不同元素順序一定的排法只占排列總數(shù)的Aeq\o\al(k,k)分之一.故符合條件的排法共eq\f(Aeq\o\al(n,n),Aeq\o\al(k,k))種.4.“隔板法”在計(jì)數(shù)問題中的妙用(1)排列組合中的相同小球放進(jìn)不同的盒子、名額分配或相同物品的分配等問題，是排列組合中的難點(diǎn)問題，這類問題的基本模型是：將n個(gè)相同元素分組到m個(gè)不同對(duì)象中(n≥m)，每個(gè)對(duì)象至少有一個(gè)元素.這類問題必須滿足三個(gè)條件：①元素必須相同；②對(duì)象必須不同；③每個(gè)對(duì)象至少有一個(gè)元素.當(dāng)滿足這三個(gè)條件時(shí)，我們可以采用隔板法.(2)通過對(duì)隔板法的應(yīng)用，可得下列結(jié)論.結(jié)論1：把n個(gè)相同的元素分成m組分配給m個(gè)人，每組不允許落空，則可將n個(gè)元素排成一排，從n－1個(gè)間隔中，選出m－1個(gè)插上隔板，每一種隔板的插法對(duì)應(yīng)一種分配方法，則分配方法數(shù)N＝Ceq\o\al(m－1,n－1).結(jié)論2：把n個(gè)相同的元素分成m組分配給m個(gè)人，某些組允許落空，則可將m－1個(gè)隔板和n個(gè)元素排成一排，每一種隔板的插法對(duì)應(yīng)一種分配方法，則分配方法數(shù)N＝Ceq\o\al(m－1,m＋n－1).類型一相鄰排列——捆綁法〖例1〗有3名女生4名男生站成一排，女生必須相鄰，男生必須相鄰，共有多少種不同的站法？解先把3名女生作為一個(gè)整體，看成一個(gè)元素，4名男生作為一個(gè)整體，看成一個(gè)元素，兩個(gè)元素排列成一排共有Aeq\o\al(2,2)種排法；女生內(nèi)部的排法有Aeq\o\al(3,3)種，男生內(nèi)部的排法有Aeq\o\al(4,4)種.故合題意的排法有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝288(種).類型二相離排列——插空法〖例2〗五位科學(xué)家和五名中學(xué)生站成一排照像，中學(xué)生不相鄰的站法有多少種？解先把科學(xué)家作排列，共有Aeq\o\al(5,5)種排法；然后把5名中學(xué)生插入6個(gè)空中，共有Aeq\o\al(5,6)種排法，故符合條件的站法共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(5,6)＝86400(種).類型三定序問題——倍縮法〖例3〗a，b，c，d，e五人并排站成一排，如果b必須站在a的右邊(a，b可以不相鄰)，那么不同的排法種數(shù)是()A.24種 B.60種C.90種 D.120種〖答案〗B〖解析〗b在a的右邊與b在a的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個(gè)元素全排列數(shù)的一半，即eq\f(1,2)Aeq\o\al(5,5)＝60(種)，選B.類型四“隔板法”在計(jì)數(shù)問題中的妙用〖例4〗將7個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子中.(1)不出現(xiàn)空盒時(shí)的放入方式共有多少種？(2)可出現(xiàn)空盒時(shí)的放入方式共有多少種？解(1)將7個(gè)相同的小球排成一排，在中間形成的6個(gè)空格中插入無(wú)區(qū)別的3個(gè)“隔板”將球分成4份，每一種插入隔板的方式對(duì)應(yīng)一種球的放入方式，則不同的放入方式共有Ceq\o\al(3,6)＝20(種).(2)每種放入方式對(duì)應(yīng)于將7個(gè)相同的小球與3個(gè)相同的“隔板”進(jìn)行一次排列，即從10個(gè)位置中選3個(gè)位置安排隔板，故共有Ceq\o\al(3,10)＝120(種)放入方式.嘗試訓(xùn)練1.七人并排站成一行，如果甲、乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是()A.1440種 B.3600種C.4820種 D.4800種〖答案〗B〖解析〗除甲、乙外，其余5個(gè)排列數(shù)為Aeq\o\al(5,5)種，再用甲、乙去插6個(gè)空位有Aeq\o\al(2,6)種，不同的排法種數(shù)是Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,6)＝3600種，選B.2.編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7的七盞路燈，晚上用時(shí)只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案有()A.10種 B.12種C.15種 D.18種〖答案〗A〖解析〗四盞熄滅的燈產(chǎn)生的5個(gè)空中放入3盞亮燈，即不同的開燈方案有Ceq\o\al(3,5)＝10(種).3.4個(gè)男同學(xué)和3個(gè)女同學(xué)(其中含甲、乙、丙)站成一排，若甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，則不同排法的種數(shù)是()A.320 B.640C.960 D.1280〖答案〗C〖解析〗先排甲、乙、丙3人以外的其他4人，有Aeq\o\al(4,4)種排法；由于甲、乙要相鄰，故先把甲、乙排好，有Aeq\o\al(2,2)種排法；最后把甲、乙排好的這個(gè)整體與丙分別插入原先排好的4人的中間及兩頭的5個(gè)空當(dāng)中，則有Aeq\o\al(2,5)種排法.所以共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,5)＝960(種)不同的排法.4.用1，2，3，4，5，6，7組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，若1，3，5，7的順序一定，則有__________個(gè)七位數(shù)符合條件.〖答案〗210〖解析〗若1，3，5，7的順序不定，有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)排法，故1，3，5，7的順序一定的排法數(shù)只占總排法數(shù)的eq\f(1,24)，故有eq\f(1,24)Aeq\o\al(7,7)＝210(個(gè))七位數(shù)符合條件.5.某校安排5個(gè)班到4個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)工廠，每個(gè)工廠至少安排一個(gè)班，不同的安排方法共有________種.(用數(shù)字作答)〖答案〗240〖解析〗首先把5個(gè)班分成4組，即2，1，1，1，有eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(3,3))種方法.然后把4組分配到4個(gè)工廠，每個(gè)工廠安排一組有Aeq\o\al(4,4)種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的安排方法有eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(3,3))·Aeq\o\al(4,4)＝24