人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊學(xué)案：6 1　第二課時　兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE1第二課時兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.進(jìn)一步理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別.2.會正確應(yīng)用這兩個計數(shù)原理計數(shù).通過進(jìn)一步應(yīng)用兩個計數(shù)原理，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主梳理兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點(diǎn)用來計算完成一件事的方法種類不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事(每步中的一種方法不能獨(dú)立完成這件事)注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整用兩個計數(shù)原理解決問題時，需明確是需要分類還是需要分步，有時，可能既要分類又要分步.自主檢驗1.思考辨析，判斷正誤(1)分類計數(shù)是指將完成這件事的所有方式進(jìn)行分類，每一類都能獨(dú)立完成該事件.(√)(2)分步計數(shù)是指將完成這件事分解成若干步驟，當(dāng)完成所有的步驟時，這個事件才算完成.(√)(3)當(dāng)一個事件既需要分步又需要分類時，分步和分類沒有先后之分.(×)〖提示〗當(dāng)一個事件既需要分步又需要分類時，通常要明確是先分類后分步還是先分步后分類，并且要明確分類的標(biāo)準(zhǔn)和分步的程序問題.(4)計數(shù)時，若正面分類，種類比較多，而問題的反面種類比較少時，使用間接法會簡單一些.(√)2.有A，B兩種類型的車床各一臺，現(xiàn)有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都會操作兩種車床，丙只會操作A種車床，要從這三名工人中選兩名分別去操作這兩種車床，則不同的選派方法有()A.6種 B.5種C.4種 D.3種〖答案〗C〖解析〗不同的選派情況可分為3類：若選甲、乙，有2種方法；若選甲、丙，有1種方法；若選乙、丙，有1種方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，不同的選派方法有2＋1＋1＝4(種).3.某班有3名學(xué)生準(zhǔn)備參加校運(yùn)會的100米、200米、跳高、跳遠(yuǎn)四項比賽，如果每班每項限報1人，則這3名學(xué)生的參賽的不同方法有()A.24種 B.48種C.64種 D.81種〖答案〗A〖解析〗由于每班每項限報1人，故當(dāng)前面的學(xué)生報了某項之后，后面的學(xué)生不能再報，由分步乘法計數(shù)原理，共有4×3×2＝24(種)不同的參賽方法.4.(a1＋a2)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)的展開式中有________項.〖答案〗24〖解析〗要得到項數(shù)分三步：第一步，從第一個因式中取一個因子，有2種取法；第二步，從第二個因式中取一個因子，有3種取法；第三步，從第三個因式中取一個因子，有4種取法.由分步乘法計數(shù)原理知，共有2×3×4＝24(項).題型一兩個計數(shù)原理在排數(shù)中的應(yīng)用〖例1〗用0，1，2，3，4五個數(shù)字，(1)可以排成多少個三位數(shù)字的電話號碼？(2)可以排成多少個三位數(shù)？(3)可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解(1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(種)，即可以排成125個三位數(shù)字的電話號碼.(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(種)，即可以排成100個三位數(shù).(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0，2，4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法.因而有12＋18＝30(種)排法，即可以排成30個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).〖遷移〗(變設(shè)問)由本例中的五個數(shù)字可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？解完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1，3中任取一個，有2種方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用過的一個剩下的3個中任取一個，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的3個數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法.由分步乘法計數(shù)原理知共有2×3×3×2＝36(個).思維升華對于組數(shù)問題，應(yīng)掌握以下原則：(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解.(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位.〖訓(xùn)練1〗從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A.24 B.18C.12 D.6〖答案〗B〖解析〗由于題目要求是奇數(shù)，那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況；奇偶奇，偶奇奇.如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析(3種情況)，之后十位(2種情況)，最后百位(2種情況)，共12種；如果是第二種情況偶奇奇：個位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，1種情況)，共6種，因此總共有12＋6＝18(種)情況.故選B.題型二分配問題〖例2〗高三年級的四個班到甲、乙、丙、丁、戊五個工廠進(jìn)行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有()A.360種 B.420種C.369種 D.396種〖答案〗C〖解析〗法一(直接法)以甲工廠分配班級情況進(jìn)行分類，共分為四類：第一類，四個班級都去甲工廠，此時分配方案只有1種情況；第二類，有三個班級去甲工廠，剩下的一個班級去另外四個工廠，其分配方案共有4×4＝16(種)；第三類，有兩個班級去甲工廠，另外兩個班級去其他四個工廠，其分配方案共有6×4×4＝96(種)；第四類，有一個班級去甲工廠，其他三個班級去另外四個工廠，其分配方案有4×4×4×4＝256(種).綜上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(種).法二(間接法)先計算四個班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即：5×5×5×5－4×4×4×4＝369(種)方案.思維升華選(抽)取與分配問題的常見類型及其解法(1)當(dāng)涉及對象數(shù)目不大時，一般選用枚舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法.(2)當(dāng)涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理.一般地，若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行；若按對象特征抽取的，則按分類進(jìn)行.②間接法：去掉限制條件計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.〖訓(xùn)練2〗(1)有4位老師在同一年級的4個班級中各教一個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)考試時，要求每位老師均不在本班監(jiān)考，則安排監(jiān)考的方法種數(shù)是()A.11 B.10C.9 D.8(2)從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有()A.280種 B.240種C.180種 D.96種〖答案〗(1)C(2)B〖解析〗(1)法一設(shè)四個班級分別是A，B，C，D，它們的老師分別是a，b，c，d，并設(shè)a監(jiān)考的是B，則剩下的三個老師分別監(jiān)考剩下的三個班級，共有3種不同的方法；同理當(dāng)a監(jiān)考C，D時，剩下的三個老師分別監(jiān)考剩下的三個班級也各有3種不同的方法.這樣，由分類加法計數(shù)原理知共有3＋3＋3＝9(種)不同的安排方法.法二讓a先選，可從B，C，D中選一個，即有3種選法.若選的是B，則b從剩下的3個班級中任選一個，也有3種選法，剩下的兩個老師都只有一種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有3×3×1×1＝9(種)不同安排方法.(2)由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有4種選法.后面三項工作的選法有5×4×3種，因此共有4×5×4×3＝240(種)選派方案.題型三涂色問題〖例3〗如圖所示，要給“創(chuàng)”、“新”、“設(shè)”、“計”四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色，有多少種不同的涂色方法？解“創(chuàng)”、“新”、“設(shè)”、“計”四個區(qū)域依次涂色，分四步.第1步，涂“創(chuàng)”區(qū)域，有3種選擇；第2步，涂“新”區(qū)域，有2種選擇；第3步，涂“設(shè)”區(qū)域，由于它與“創(chuàng)”、“新”區(qū)域顏色不同，有1種選擇；第4步，涂“計”區(qū)域，由于它與“創(chuàng)”“設(shè)”區(qū)域顏色不同，有1種選擇.所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6(種).思維升華求解涂色(種植)問題一般是直接利用兩個計數(shù)原理求解，常用方法有：(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析；(2)以顏色(種植作物)為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問題，用分類加法計數(shù)原理分析；(3)對于涂色(立方體)問題將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域涂色問題.〖訓(xùn)練3〗如圖所示，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有四種不同的花供選種，要求在每塊里種一種花，且相鄰的兩塊種不同的花，則不同的種法種數(shù)為()A.96 B.84C.60