廣東省珠海市2025屆高三第一次摸底考試數(shù)學試題（含答案解析）

珠海市2025屆高三第一次摸底考試數(shù)學本卷共4頁，分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.考試時間120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的學校、班級、姓名、考場號、座位號和準考證號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4．考生必須保證答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.已知全集，集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由條件，結合補集的運算法則求解即可.【詳解】因為，，所以，故選：B.2.復數(shù)（i為虛數(shù)單位），z的共軛復數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將該復數(shù)化簡為復數(shù)標準形式，再寫出共軛復數(shù)即可.【詳解】，所以z的共軛復數(shù)為.故選:B3.在△ABC中，D是BC上一點，滿足，M是AD的中點，若，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量線性運算相關計算方式計算即可.【詳解】由題可知，，,所以有，所以，得.故選：C4.已知點，，點是圓上任意一點，則面積的最小值為（）A.6 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直線的方程，利用點到直線的距離，結合圓的性質求出點到直線距離的最小值即可求得最小值.【詳解】兩點，B0,3，則，直線方程為，圓的圓心，半徑，點到直線的距離，因此點到直線距離的最小值為，所以面積的最小值是.故選：D5.一個內角為30°的直角三角形，分別以該三角形的斜邊、兩條直角邊所在直線為軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成3個幾何體．這3個幾何體的體積從小到大之比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設該直角三角形的三條邊長分別為，求出三角形斜邊上的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可求解.【詳解】設該直角三角形的三條邊長分別為，設三角形斜邊上高為，則，，由題意設該3個幾何體的體積為，則，，，，所以這3個幾何體的體積從小到大之比為.故選：.6.已知函數(shù)在R上沒有零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將問題轉化為與函數(shù)圖象沒有交點，利用數(shù)形結合法求解.【詳解】設，的圖象如圖所示，問題轉化為與函數(shù)的圖象沒有交點，所以或,解得或,故選：A.7.函數(shù)，其中，其最小正周期為，則下列說法錯誤的是（）A.B.函數(shù)圖象關于點對稱C.函數(shù)圖象向右移個單位后，圖象關于軸對稱，則的最小值為D.若，則函數(shù)的最大值為【答案】D【解析】【分析】化簡函數(shù)解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式可求判斷A，驗證是否為函數(shù)的對稱中心判斷B，結合函數(shù)圖象平移變換結論判斷C，結合不等式性質及正弦函數(shù)性質判斷D.【詳解】由已知，所以，又，所以函數(shù)的最小正周期為π，由已知，所以，A正確；所以，因為，所以函數(shù)圖象關于點對稱，B正確，將函數(shù)圖象向右移個單位后可得函數(shù)的圖象，因為的圖象關于軸對稱，所以，又，所以的最小值為，C正確，若，則，所以，故，所以當時，函數(shù)取最大值，最大值為，D錯誤.故選：D.8.若不等式對一切恒成立，其中，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將原不等式轉化為對一切恒成立，設，則后者可轉化為恒成立即為函數(shù)的極大值，故可求參數(shù)的范圍或取值，故可得正確的選項，或者將原不等式轉化為，根據(jù)左右兩側對應的函數(shù)的圖象位置關系可求參數(shù)的范圍.【詳解】法一：不等式對一切恒成立即為不等式對一切恒成立，今，則有；故不等式對一切恒成立等價于恒成立，所以為的最大值點.顯然，，否則時，，與題設矛盾.又，此時若，存在區(qū)間，是否且，總有f′x>0，這與為的最大值點矛盾，故不成立，同理也不成立，故，則，當時，當時，f′x>0，當x∈0,+∞故在上遞增，0,+∞上遞減，符合題意；當時，當時，f′x<0當時，f′x故在上遞減，上遞增，0,+∞上遞減，而當時，，故即，故恒成立，故符合題意.綜上，，因此.法二：不等式可化為，令，當時，，此時，直線恒過點0,1，故只需直線為在點0,1處的切線即可，，此時.當時，亦恒過點0,1，為使對一切x∈R恒成立，需開口向下，且在點0,1處與有公切線即可，故，此時.綜上，的取值范圍是.故選：A.【點睛】思路點睛：多變量不等式恒成立問題，可將原不等式作適當變形，從而將恒成立問題轉化為圖象的位置關系，或者根據(jù)不等式的特征將不等式恒成立問題轉化為函數(shù)的極值問題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設A，B為隨機事件，且，是A，B發(fā)生的概率．，則下列說法正確的是（）A.若A，B互斥，則B.若，則A，B相互獨立C.若A，B互斥，則A，B相互獨立D與相等【答案】ABD【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判斷A選項；由相互獨立事件的概念可判斷B選項；由互斥事件和相互獨立事件的概念可判斷C選項；由條件概率公式化簡，可判斷D選項.【詳解】對于A：若A，B互斥，根據(jù)互斥事件的概率公式，則，故A正確；對于B：由相互獨立事件的概念知，若，則事件A，B是相互獨立事件，故B正確；對于C：若A，B互斥，則A，B不一定相互獨立，例：拋擲一枚硬幣的試驗中，事件“正面朝上”，事件“反面朝上”，事件與事件互斥，但，，所以不滿足相互獨立事件的定義，故C錯誤；對于D：，，所以與相等，故D正確.故選：ABD.10.設，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象與圓有且只有兩個公共點B.存在無數(shù)個等腰三角形ABD，其三個頂點都在函數(shù)的圖象上C.存在無數(shù)個菱形ABCD，其四個頂點都在函數(shù)的圖象上D.存在唯一的正方形ABCD，其四個頂點都在函數(shù)的圖象上【答案】ABC【解析】【分析】對于A，結合函數(shù)的性質與圖象判斷即可；對于B、C，利用函數(shù)y=fx關于原點對稱，結合等腰三角形三線合一，以及菱形的對角線互相垂直判斷即可；對于D，由曲線的對稱性，可知要使得正方形存在，則為等腰直角三角形，利用極限思想可得至少存在兩個正方形.【詳解】對于選項A，令，當時，f′x>0當x∈?1,1時，f′x<0，則函數(shù)在、1,+∞又，，函數(shù)y=fx的圖象與圓得圖象如圖所示：故函數(shù)y=fx的圖象與圓有且只有兩個公共點，故A正確；對于選項B、C，由于函數(shù)y=fx的圖象關于坐標原點成中心對稱，過點作直線交的圖象于、兩點，過點作的垂線交的圖象于、兩點，則為等腰三角形，四邊形為菱形，當線段繞點轉動時，仍為等腰三角形，四邊形仍為菱形，故選項B、C均正確；對于選項D：由于，故要使得正方形存在，則為等腰直角三角形，顯然，當時，，點在函數(shù)圖象外側，則，此時，利用極限思想，當時，，此時；當時，，此時；如圖所示，故至少存在兩個正方形，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】關鍵點睛：本題解題的關鍵是，熟練掌握函數(shù)的對稱性，注意使用極限思想，從而得到至少兩個正方形.11.中國結是一種手工編織工藝品，其外觀對稱精致，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習俗和審美觀念，中國結有著復雜曼妙的曲線，其中的八字結對應著數(shù)學曲線中的雙紐線.已知在平面直角坐標系中，到兩定點，距離之積為常數(shù)的點的軌跡C是雙紐線.若是曲線C上一點，則下列結論正確的是（）A.曲線C的圖象關于原點對稱B.曲線C經過5個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）C.曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過3D.曲線C上有且僅有3個點P滿足【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意求出軌跡的方程，把代入的方程可判斷；令，，得的范圍可判斷；由曲線的方程可得，根據(jù)可判斷；由題意得，設，結合題意計算可判斷.【詳解】對于選項A：化簡得到：，將代入可得，所以曲線.把代入得，所以，曲線的圖象關于原點對稱，故A正確；對于選項B：令解得，即：曲線經過，結合圖象，得.今，得，令，得，因此，結合圖象曲線只能經過3個整點.故B錯誤；對于選項C：可得，所以曲線上任意一點到坐標原點的距離，即：都不超過3，故C正確；對于選項D：點滿足，則在垂直平分線上，則，設，則，，故只有原點滿足，故D錯誤.故選：.【點睛】方法點睛：相關點代入法求軌跡方程的方法：一般情況下，所求點的運動，依賴于另外一個或多個點的運動，可以通過對這些點設坐標來尋找代換關系.（1）求誰設誰，設所求點的坐標為；（2）所依賴的點稱之為“參數(shù)點”，設為等；（3）“參數(shù)點”滿足某個（些）方程，可供代入；（4）尋找所求點與“參數(shù)點”之間的坐標關系，反解參數(shù)值；（5）代入方程，消去參數(shù)值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線與曲線相切，則______．【答案】【解析】【分析】設切點坐標為，由導數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】設切點坐標為，由于，所以切線的斜率為：，所以曲線在處的切線方程為：，即，所以，，故答案為：.13.已知點P在雙曲線上，，分別是雙曲線C的左、右焦點，若的面積為45，則______．【答案】25【解析】【分析】設P在雙曲線右支上，由雙曲線定義得到，由余弦定理和面積公式，得到，進而得到，從而求出，求出答案.【詳解】設P在雙曲線右支上，則，由余弦定理得，所以，又所以，解得，結合，則，，又，故，故.故答案為：2514.甲、乙兩班參加了同一學科的考試，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成績?yōu)?2分，方差為90分；乙班的平均成績?yōu)?0分，方差為60分．那么甲、乙兩班全部90名學生的平均成績是______分，方差是______分．【答案】①.80②.【解析】【分析】利用平均數(shù)的定義求出90名學生的平均成績，根據(jù)局部方差和整體方差的公式進行求解.【詳解】甲、乙兩班全部90名學生的平均成績?yōu)榉?，方差為故答案為?0，四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角，，的對邊分別為，b，其中，，且．（1）求的值；（2）若的外接圓半徑為5，求面積的最大值．【答案】（1）（2）32【解析】【分析】（1）由已知結合正弦定理可得，根據(jù)可變形為，由，即可求解；（2）由正弦定理可得，根據(jù)余弦定理結合基本不等式可得，根據(jù)面積公式即可求解面積的最大值.【小問1詳解】由題意得，，由正弦定理可知，，在中，因為，，所以，即，因，所以，所以，又，所以；【小問2詳解】由正弦定理，因為，，所以，，由，得，由基本不等式可知，，所以，當且僅當時等號成立，所以，所以面積的最大值為.16.如圖，三棱柱中，側面底面，，，點是棱的中點．（1）證明：；（2）求面與面夾角的正切值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由側面底面得底面，進而可證；（2）向量法求面與面的夾角.【小問1詳解】因為三棱柱中，故四邊形為菱形，又因，點是棱的中點，故，又側面底面，側面底面，側面，所以底面，又底面，故.【小問2詳解】因，，故為直角三角形，故，如圖分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，則A0,0,0，，，由（1）可知，，，故，，則，由題意平面的一個法向量為設平面的一個法向量為n=x,y,z則即，令，則，，則，設面與面夾角，則，故，面與面夾角的正切值為.17.已知橢圓的左、右焦點分別為，，且，點在橢圓C上，直線．（1）若直線l與橢圓C有兩個公共點，求實數(shù)t的取值范圍；（2）當時，記直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點，P，Q為橢圓C上兩動點，求四邊形PAQB面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)焦距可得，再根據(jù)點在橢圓上可得，解出后可得橢圓的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程后結合判別式可求的范圍；（2）由題設可得當過且與直線平行的直線與橢圓相切時面積之和最大，故求出切點坐標后可求面積和的最大值.【小問1詳解】設橢圓的半焦距為，則，故，而在橢圓上，故，故，故橢圓方程為：，由可得，故即即.【小問2詳解】當時，直線，故，由題設可得為位于直線的兩側，不妨設在直線上方，在直線的下方，當過的直線與直線平行且與橢圓相切時，到直線的距離最大及的面積最大，當過的直線與直線平行且與橢圓相切時，到直線的距離最大及的面積最大，由（1）可得相切時即，當時，切點的橫坐標為，切點坐標為，在直線上方，此時到的距離為，當時，切點的橫坐標為，切點坐標為，在直線下方；此時到的距離為，又故四邊形PAQB面積的最大值為8.18.設函數(shù)，．（1）試判斷的單調性；（2）證明：對任一，有，當且僅當時等號成立．【答案】（1）在上單調遞增（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）求出，設，再求出，可得，則得f′x在0,1上單調遞增；（2）令，可得，，由f′x在0,1上單調遞增，可得hx在處取最小值，則，即，命題得證.【小問1詳解】函數(shù)，x∈0,1，則，設，則，因為x∈0,1，所以，所以，所以，f′x在0,1【小問2詳解】令，則，，又因為f′x在所以當時，，hx單調遞減；當時，，hx單調遞增；當時，，所以hx在處取最小值，即，所以，即.則對任一，有，當且僅當時等號成立．【點睛】關鍵點點睛：小問（2），令，則，由f′x在0,1上單調遞增，得到hx在處取最小值，可得，則命題得證.19.對于數(shù)列an，若存在常數(shù)，，使得對任意的正整數(shù)，恒有成立，則稱數(shù)列an是從第項起的周期為的周期數(shù)列．當時，稱數(shù)列an為純周期數(shù)列；當時，稱數(shù)列an為混周期數(shù)列．記x為不超過的最大整數(shù)，設各項均為正整數(shù)的數(shù)列an滿足：.（1）若對任意正整數(shù)都有，請寫出三個滿足條件的的值；（2）若數(shù)列an是純周期數(shù)列，請寫出滿足條件的的表達式，并說明理由；（3）證明：不論為何值，總存在使得．【答案】（1）,,（2），理由見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）分別取，，，，，根據(jù)已知條件逐一驗證即可求解；（2）分別取，，，，，，，根據(jù)已知條件逐一驗證得出猜想，并驗證猜想；（3）根據(jù)（2）的分析，時，滿足題意；再證明，當時，也存在使得即可.【小問1詳解】因為對任意整數(shù)都有，所以取，則，不符合題意；取，，，此時，數(shù)列為常數(shù)列；取，，，不符合題意；取，，，，此時，數(shù)列的通項公式為；取，，，，