2024-2025學年高中數(shù)學第2章統(tǒng)計2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征課時作業(yè)含解析新人教A版必修3

PAGE課時分層作業(yè)(十三)用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(建議用時：60分鐘)一、選擇題1．下列說法中正確的個數(shù)為()①數(shù)據(jù)的極差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定；②數(shù)據(jù)的平均數(shù)越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定；③數(shù)據(jù)的標準差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定；④數(shù)據(jù)的方差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定．A．1 B．2C．3 D．4C[由數(shù)據(jù)的極差、標準差、方差的定義可知，它們都可以影響樣本數(shù)據(jù)的分布和穩(wěn)定性，而數(shù)據(jù)的平均數(shù)則與之無關，故②不正確，①③④正確．]2．16位參與百米半決賽同學的成果各不相同，按成果取前8位進入決賽．假如小劉知道了自己的成果后，要推斷能否進入決賽，則其他15位同學成果的下列數(shù)據(jù)中，能使他得出結論的是()A．平均數(shù)B．眾數(shù)C．中位數(shù)D．方差C[推斷是不是能進入決賽，只要推斷是不是前8位，所以只要知道其他15位同學的成果中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同學的成果排列后看第8位的成果即可，小劉的成果高于這個成果就能進入決賽，低于這個成果就不能進入決賽，第8位的成果就是這15位同學成果的中位數(shù)．]3．在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：42,43,46,52,42,50，若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都減8后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對應相同的是()A．平均數(shù) B．標準差C．眾數(shù) D．中位數(shù)B[A樣本數(shù)據(jù)為42,43,46,52,42,50，其平均數(shù)為eq\f(42＋43＋46＋52＋42＋50,6)＝eq\f(275,6)，眾數(shù)為42，中位數(shù)為eq\f(43＋46,2)＝eq\f(89,2)，由題可得，B樣本數(shù)據(jù)為34,35,38,44,34,42，其平均數(shù)為eq\f(34＋35＋38＋44＋34＋42,6)＝eq\f(227,6)，眾數(shù)為34，中位數(shù)為eq\f(35＋38,2)＝eq\f(73,2)，所以A，B兩樣本的下列數(shù)字特征：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都不同．故選B.]4．對某小區(qū)100戶居民的月均用水量進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則估計此樣本的眾數(shù)、中位數(shù)分別為()A．2.25,2.5 B．2.25,2.02C．2,2.5 D．2.5,2.25B[眾數(shù)是指樣本中出現(xiàn)頻率最高的數(shù)，在頻率分布直方圖中通常取該組區(qū)間的中點，所以眾數(shù)為eq\f(2＋2.5,2)＝2.25.中位數(shù)是頻率為0.5的分界點，由頻率分布直方圖，可知前4組的頻率和為(0.08＋0.16＋0.30＋0.44)×0.5＝0.49，因此中位數(shù)出現(xiàn)在第5組，設中位數(shù)為x，則(x－2)×0.5＝0.01，解得x＝2.02，故選B.]5．某班有50名學生，男女人數(shù)不相等．隨機詢問了該班5名男生和5名女生的某次數(shù)學測試成果，用莖葉圖記錄如圖所示，則下列說法肯定正確的是()A．這5名男生成果的標準差大于這5名女生成果的標準差B．這5名男生成果的中位數(shù)大于這5名女生成果的中位數(shù)C．該班男生成果的平均數(shù)大于該班女生成果的平均數(shù)D．這種抽樣方法是一種分層抽樣A[5名男生成果的平均數(shù)為eq\f(90＋92＋94＋86＋88,5)＝90，5名女生成果的平均數(shù)為eq\f(93＋93＋93＋88＋88,5)＝91，這5名男生成果的方差為eq\f(1,5)×[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8，女生成果的方差為eq\f(1,5)×[(－3)2＋(－3)2＋22＋22＋22]＝6，男生方差大于女生方差，所以男生標準差大于女生標準差，所以A對；這5名男生成果的中位數(shù)是90,5名女生成果的中位數(shù)為93，所以B錯；該班男生和女生成果的平均數(shù)可通過樣本估計，但不能通過樣本計算得到平均數(shù)精確值，所以C錯；若抽樣方法是分層抽樣，因為男生女生不等，所以分別抽取的人數(shù)不等，所以D錯．故選A.]二、填空題6．如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場競賽得分的莖葉圖，則甲、乙兩人這幾場競賽得分的中位數(shù)之和是________．64[由莖葉圖知，甲的中位數(shù)為28，乙的中位數(shù)為36，所以甲、乙二人得分的中位數(shù)之和為64.]7．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是28，方差是4，若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上20，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是________，方差是________．484[設該組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn；則新數(shù)據(jù)為x1＋20，x2＋20，…，xn＋20.因為eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝28，所以eq\x\to(x)′＝eq\f(x1＋20＋x2＋20＋…＋xn＋20,n)＝20＋28＝48.因為s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，所以s′2＝eq\f(1,n){[x1＋20－(eq\x\to(x)＋20)]2＋[x2＋20－(eq\x\to(x)＋20)]2＋…＋[xn＋20－(eq\x\to(x)＋20)]2}＝s2＝4.]8．已知一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為－1,0,4，x,6,15，且這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5，那么數(shù)據(jù)的眾數(shù)是________，平均數(shù)是________．65[∵中位數(shù)為5，∴eq\f(4＋x,2)＝5，即x＝6.∴該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為6，平均數(shù)為eq\f(－1＋0＋4＋6＋6＋15,6)＝5.]三、解答題9．某工廠人員及月工資構成如下：人員經(jīng)理管理人員高級技工工人學徒合計月工資(元)22000250022002000100029700人數(shù)16510123合計22000150001100020000100069000(1)指出這個表格中月工資的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；(2)這個表格中，平均數(shù)能客觀地反映該工廠的月工資水平嗎？為什么？[解](1)由表格可知，眾數(shù)為2000元．把23個數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的依次排列，排在中間的數(shù)應是第12個數(shù)，其值為2200，故中位數(shù)為2200元．平均數(shù)為69000÷23＝3000(元)．(2)雖然平均數(shù)為3000元，但由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理的工資在平均數(shù)以上，其余人的工資都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實地反映該工廠的工資水平．10．對甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進行了6次測試，測得他們的最大速度(單位：m/s)的數(shù)據(jù)如下：甲273830373531乙332938342836(1)畫出莖葉圖，由莖葉圖你能獲得哪些信息？(2)分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度(m/s)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、極差、方差，并推斷選誰參與競賽比較合適？[解](1)畫莖葉圖如下：中間數(shù)為數(shù)據(jù)的十位數(shù)．從莖葉圖上看，甲、乙的得分狀況都是分布勻稱的，只是乙更好一些．乙發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體狀況比甲好．(2)eq\x\to(x)甲＝eq\f(27＋38＋30＋37＋35＋31,6)＝33.eq\x\to(x)乙＝eq\f(33＋29＋38＋34＋28＋36,6)＝33.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67.seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67.甲的極差為11，乙的極差為10.綜合比較以上數(shù)據(jù)可知，選乙參與競賽較合適．1．甲、乙兩人在相同的條件下投籃5輪，每輪甲、乙各投籃10次，投籃命中次數(shù)的狀況如圖所示(實線為甲的折線圖，虛線為乙的折線圖)，則以下說法錯誤的是()A．甲投籃命中次數(shù)的眾數(shù)比乙的小B．甲投籃命中次數(shù)的平均數(shù)比乙的小C．甲投籃命中次數(shù)的中位數(shù)比乙的大D．甲投籃命中的成果比乙的穩(wěn)定B[由折線圖可知，甲投籃5輪，命中的次數(shù)分別為5,8,6,8,8，乙投籃5輪，命中的次數(shù)分別為3,7,9,5,9，則甲投籃命中次數(shù)的眾數(shù)為8，乙投籃命中次數(shù)的眾數(shù)為9，所以A正確；甲投籃命中次數(shù)的平均數(shù)為7，乙投籃命中次數(shù)的平均數(shù)為6.6，所以B不正確；甲投籃命中次數(shù)的中位數(shù)為8，乙投籃命中次數(shù)的中位數(shù)為7，所以C正確；甲投籃命中次數(shù)的數(shù)據(jù)集中在平均數(shù)的左右，方差較小，乙投籃命中次數(shù)的數(shù)據(jù)比較分散，方差較大，所以甲的成果更穩(wěn)定一些，所以D正確．故選B.]2.在發(fā)生某公共衛(wèi)生事務期間，有專業(yè)機構認為該事務在一段時間內沒有引起大規(guī)模群體感染的標記為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”．依據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，肯定符合該標記的是()A．甲地：總體均值為3，中位數(shù)為4B．乙地：總體均值為1，總體方差大于0C．丙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3D．丁地：總體均值為2，總體方差為3D[依據(jù)信息可知，連續(xù)10天內，每天新增的疑似病例不能超過7人，選項A中，中位數(shù)為4，可能存在大于7的數(shù)；同理，在選項C中也有可能；選項B中的總體方差大于0，敘述不明確，假如方差太大，也有可能存在大于7的數(shù)；選項D中，依據(jù)方差公式，假如有大于7的數(shù)存在，那么方差不行能為3.故選D.]3．某市有15個旅游景點，經(jīng)計算，2024國慶黃金周期間各個景點的旅游人數(shù)平均為20萬，標準差為s，后來經(jīng)核實，發(fā)覺甲、乙兩處景點統(tǒng)計的人數(shù)有誤，甲景點實際為20萬，被誤統(tǒng)計為15萬，乙景點實際為18萬，被誤統(tǒng)計成23萬；更正后重新計算，得到標準差為s1，則s與s1的大小關系為()A．s＝s1 B．s＜s1C．s＞s1 D．不能確定C[由已知，兩次統(tǒng)計所得的旅游人數(shù)總數(shù)沒有變，即兩次統(tǒng)計的各景點旅游人數(shù)的平均數(shù)是相同的，設為eq\x\to(x)，則s＝eq\r(\f(1,15)[15－\x\to(x)2＋23－\x\to(x)2＋x3－\x\to(x)2＋…＋x15－\x\to(x)2])，s1＝eq\r(\f(1,15)[20－\x\to(x)2＋18－\x\to(x)2＋x3－\x\to(x)2＋…＋x15－\x\to(x)2]).若比較s與s1的大小，只需比較(15－eq\x\to(x))2＋(23－eq\x\to(x))2與(20－eq\x\to(x))2＋(18－eq\x\to(x))2的大小即可．而(15－eq\x\to(x))2＋(23－eq\x\to(x))2＝754－76eq\x\to(x)＋2eq\x\to(x)2，(20－eq\x\to(x))2＋(18－eq\x\to(x))2＝724－76eq\x\to(x)＋2eq\x\to(x)2，所以(15－eq\x\to(x))2＋(23－eq\x\to(x))2＞(20－eq\x\to(x))2＋(18－eq\x\to(x))2.從而s＞s1.]4．若40個數(shù)據(jù)的平方和是56，平均數(shù)是eq\f(\r(2),2)，則這組數(shù)據(jù)的方差是________，標準差是________．0.9eq\f(3\r(10),10)[設這40個數(shù)據(jù)為xi(i＝1,2，…，40)，平均數(shù)為eq\x\to(x).則s2＝eq\f(1,40)×[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(x40－eq\x\to(x))2]＝eq\f(1,40)[xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,40)＋40eq\x\to(x)2－2eq\x\to(x)(x1＋x2＋…＋x40)]＝eq\f(1,40)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(56＋40×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)－2×\f(\r(2),2)×40×\f(\r(2),2)))＝eq\f(1,40)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(56－40×\f(1,2)))＝0.9.∴s＝eq\r(0.9)＝eq\r(\f(9,10))＝eq\f(3\r(10),10).]5．某地區(qū)100位居民的人均月用水量(單位：t)的分組及各組的頻數(shù)如下：[0,0.5)，4；[0.5,1)，8；[1,1.5)，15；[1.5,2)，22；[2，2.5)，25；[2.5,3)，14；[3,3.5)，6；[3.5,4)，4；[4,4.5]，2.(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖，并依據(jù)直方圖估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(3)當?shù)卣贫巳司掠盟繛?t的標準，若超出標準加倍收費，當?shù)卣f，85%以上的居