專題11.15 三角形（全章?？己诵目键c分類專題）（培優(yōu)練）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（人教版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題11.15三角形（全章?？己诵目键c分類專題）（培優(yōu)練）【考點目錄】【考點1】利用三角形三邊關(guān)系判斷是否構(gòu)成三角形或第三邊取值范圍【考點2】利用三角形的等面積求三角形的高或線段的最小值【考點3】利用三角形中線定義求周長或面積【考點4】利用三角形角平分線與高線結(jié)合求角度【考點5】利用三角形內(nèi)角和定理求值或證明【考點6】利用三角形內(nèi)角和定理解決折疊問題【考點7】利用直角三角形兩銳角互余關(guān)系求角度【考點8】利用三角形外角性質(zhì)求求角度【考點9】多邊形內(nèi)角和與外角和求角度或邊數(shù)單選題【考點1】利用三角形三邊關(guān)系判斷是否構(gòu)成三角形或第三邊取值范圍1．（22-23八年級下·福建龍巖·期末）下列長度的四條線段能組成四邊形的是（

）A．1，1，1，3 B．1，1，2，5 C．1，2，3，6 D．2，2，3，42．（23-24八年級上·安徽安慶·期末）一個三角形的兩邊長分別為和，且第三邊長為整數(shù)，這樣的三角形的周長最小值是（）A． B． C． D．【考點2】利用三角形的等面積求三角形的高或線段的最小值3．（2024八年級·全國·競賽）已知的周長為，其三邊上的高分別為，則的面積為（

）．A． B． C． D．4．（2024七年級·全國·競賽）如圖，點、點分別在上，相交于點O，、、的面積分別是4、12、6，那么四邊形的面積是（

）．【考點3】利用三角形中線定義求周長或面積

A．6 B．6.8 C．7.2 D．85．（23-24七年級下·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，在中，分別是邊上的中線和高，若，，則線段的長為（

）A．5 B．6 C．8 D．106．（2021·陜西咸陽·一模）如圖，是的中線，，若的周長比的周長大3，則的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【考點4】利用三角形角平分線與高線結(jié)合求角度7．（2024八年級·全國·競賽）在一個三角形中，可能相交于三角形的邊上的是三條（

）的交點．A．高線 B．中垂線 C．角平分線或中線 D．高線或中垂線8．（23-24八年級上·廣東湛江·期中）如圖，在中，角平分線與中線交于點O，則下列結(jié)論錯誤的是（

）

A． B．是的角平分線C．是的中線 D．【考點5】利用三角形內(nèi)角和定理求值或證明9．（2024·甘肅武威·二模）如圖，在中，于D，平分交于點E，交于點F，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．10．（23-24七年級下·河北邢臺·階段練習(xí)）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是”時，綜合實踐小組的同學(xué)作了如下四種輔助線，其中能證明“三角形的內(nèi)角和是”的有（

）①如圖1，過點C作；②如圖2，過上一點D分別作，；③如圖3，延長到點F，過點C作；④如圖4，過點C作于點D．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【考點6】利用三角形內(nèi)角和定理解決折疊問題11．（23-24七年級下·山東泰安·期中）如圖，將長方形沿折疊，點D，C分別落在，的位置．若，則等于（

）A． B． C． D．12．（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，中，，沿將此三角形對折，交于D，又沿再一次對折，點C落在上的處，此時，則原三角形的的度數(shù)為（）A． B． C． D．【考點7】利用直角三角形兩銳角互余關(guān)系求角度13．（23-24七年級下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，，F(xiàn)為上一點，，且平分，過點F作于點G，且，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個14．（23-24七年級上·江蘇南京·期末）如圖，，，垂足分別為．下列說法正確的個數(shù)是（

）①點到線段的距離為線段的長度；②；③；④將三角形繞線段所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點8】利用三角形外角性質(zhì)求求角度15．（23-24七年級下·河北邢臺·階段練習(xí)）如圖1，2，3．，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．16．（2024·云南楚雄·二模）將一副三角板按如圖所示的方式擺放，點F在邊上，，作的平分線，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【考點9】多邊形內(nèi)角和與外角和求角度或邊數(shù)17．（23-24八年級上·山東煙臺·期末）一個多邊形的內(nèi)角和比四邊形的外角和多，并且這個多邊形的各內(nèi)角相等，則這個多邊形的一個外角是（

）A． B． C． D．18．（22-23八年級下·浙江杭州·期末）設(shè)五邊形的內(nèi)角和為，三角形的外角和為，則（）A． B． C． D．填空題【考點1】利用三角形三邊關(guān)系判斷是否構(gòu)成三角形或第三邊取值范圍19．（23-24七年級下·山東棗莊·期中）中，，，若第三邊c的長為偶數(shù)，則的周長為20．（23-24七年級下·陜西西安·期中）已知三邊分別是、、，化簡【考點2】利用三角形的等面積求三角形的高或線段的最小值21．（23-24七年級下·江蘇南通·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B，P的坐標(biāo)分別為，，點M，N分別是線段，線段上的動點，則的最小值為．22．（2024七年級下·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，，如果，，的面積為18，那么的面積為．【考點3】利用三角形中線定義求周長或面積23．（22-23八年級上·陜西渭南·階段練習(xí)）如圖，是的中線，是的中線，若，則．

24．（23-24七年級下·陜西西安·期中）如圖，D、E分別是邊上的點，，連接交于點F，連接，若的面積為4，則陰影部分的面積．【考點4】利用三角形角平分線與高線結(jié)合求角度25．（21-22八年級下·四川成都·階段練習(xí)）如圖所示，的兩條角平分線相交于點，過點作EFBC，交于點，交于點，若的周長為，則cm．26．（23-24八年級上·湖北十堰·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，，是高，是中線，是角平分線，交于點，交于點，下面結(jié)論：①的面積的面積；②；③；④.其中正確結(jié)論的序號是.【考點5】利用三角形內(nèi)角和定理求值或證明27．（23-24七年級下·浙江杭州·期中）如圖，直線，點A在直線與之間，點B在直線上，連接，的平分線交于點C，連結(jié)，過點A作交于點D，作交于點F，平分交于點E．若，，則的度數(shù)為．28．（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）已知中，．在圖（1）中的角平分線交于點，則可計算得；在圖（2）中，設(shè)∠的兩條三等分角線分別對應(yīng)交于、，則∠BO2C＝；請你猜想，當(dāng)同時n等分時，（n﹣1）條等分角線分別對應(yīng)交于，如圖（3），則（用含n和α的代數(shù)式表示）．【考點6】利用三角形內(nèi)角和定理解決折疊問題29．（2024七年級下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，已知線段與直線的夾角，點在上，點是直線上的一個動點，將沿折疊，使點落在點處，當(dāng)時，則度．

30．（21-22七年級下·遼寧沈陽·期末）有一張三角形紙片，已知，點D在邊上，請在邊上找一點E，把紙片沿直線折疊，點B落在點F處，若與三角形紙片的邊平行，則的度數(shù)為．【考點7】利用直角三角形兩銳角互余關(guān)系求角度31．（23-24七年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）兩塊三角板（中，，，中，，，）按如圖方式放置，將繞點A按逆時針方向，以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t秒，在繞點A旋轉(zhuǎn)的某過程中（），若與的一邊平行，則t的值為．32．（23-24七年級下·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖，在中，，，D是上一點，將沿翻折后得到，邊交于點若△DEF是直角三角形，則∠．【考點8】利用三角形外角性質(zhì)求求角度33．（2024·江蘇蘇州·二模）已知直線，將一塊含角的直角三角板按如圖方式放置．若，則的度數(shù)為．34．（23-24七年級下·江蘇揚(yáng)州·期中）在中，，點D是上一點，將沿翻折后得到，邊交射線于點F，，若中有兩個角相等，則．【考點9】多邊形內(nèi)角和與外角和求角度或邊數(shù)35．（2024七年級·全國·競賽）一個凸邊形恰有3個內(nèi)角為鈍角，則最大是．36．（19-20八年級上·四川綿陽·期末）如果一個多邊形所有內(nèi)角和與外角和共為2520°，那么從這個多邊形的一個頂點出發(fā)共有條對角線參考答案：1．D【分析】根據(jù)四邊形的四邊關(guān)系逐項分析判斷即可解答．【詳解】解：根據(jù)四邊形任意三邊的和大于第四邊，得A由，故不能組成四邊形；B由，故不能組成四邊形；C由，故不能夠組成四邊形；D由，故能組成三角形．故選：D．【點撥】本題考查了能夠組成四邊形的四條邊的條件，將三角形的三邊關(guān)系拓展到四邊形的四邊關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．2．A【分析】此題考查了三角形的三邊關(guān)系，由三角形的三邊關(guān)系定理可得到的取值范圍，而是整數(shù)，可求的最小值，周長最小值也可求，熟練掌握三角形三邊關(guān)系定理：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)第三邊長是，∵三角形的兩邊長分別為和，∴，即，∵是整數(shù)，∴，，，，，∴當(dāng)時，三角形的周長最小值是，故選：．3．B【分析】本題考查三角形的面積，掌握三角形面積公式是解題關(guān)鍵．根據(jù)三角形的面積公式求得，根據(jù)比例關(guān)系可求，從而求出三角形面積．【詳解】解：＝，即，∴∵的周長為，∴∴的面積為，故選：B．4．B【分析】本題考查了三角形的面積，解二元一次方程組，掌握高相等面積的比等于底的比是解答本題的關(guān)鍵．連接．設(shè)的面積分別是，由可得①，由可得②，由①②可求出x，y的值，進(jìn)而可求出四邊形的面積．【詳解】如圖，連接．設(shè)的面積分別是，

∵，∴，∴①，∵，∴，∴②，把②代入①式得，解得，∴，∴故選:B．5．B【分析】本題考查了三角形的面積，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的一條中線把三角形分成面積相等的兩個三角形可得，然后利用三角形的面積公式進(jìn)行計算，即可解答．【詳解】解：是邊上的中線，∴，，，，解得：，故選：B．6．C【分析】本題主要考查了三角形中線的知識，理解三角形中線的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)三角形中線的定義可得，結(jié)合題意可得，進(jìn)而獲得答案．【詳解】解：∵是的邊上的中線，∴，∵的周長比的周長大3，∴，∴，∵，∴．故選：C．7．D【分析】本題考查了高線、中垂線、角平分線、中線的定義，熟練掌握它們的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)高線、中垂線、角平分線、中線的定義及性質(zhì)即可解決問題．【詳解】從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線,頂點和垂足之間的距離叫做三角形的高；直角三角形三條高所在直線的交點為直角三角形的直角頂點，鈍角三角形三條高所在直線的交點在三角形的外部，銳角三角形的三條高所在直線的交點在三角形的內(nèi)部，故符合題意；經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線簡稱“中垂線”；三角形的三條中垂線中銳角三角形的中垂線交點在三角形內(nèi)部，直角三角形的中垂線交點在三角形一條邊上，鈍角三角形的中垂線交點在三角形的外部，故符合題意；三角形的中線是連接三角形頂點和它的對邊中點的線段。每個三角形都有三條中線，它們都在三角形的內(nèi)部；故不符合題意；三角形的一個角的平分線與這個內(nèi)角的對邊相交，連接這個角的頂點和交點的線段叫三角形的角平分線；交點都在三角形內(nèi)部；故不符合題意；三角形中，可能相交于三角形的邊上的是三條高線或中垂線的交點；故選：D．8．C【分析】本題考查了三角形的中線，角平分線．熟練掌握三角形的中線，角平分線的定義，是解題的關(guān)鍵．三角形的中線：連接三角形一個頂點和它所對的邊的中點的線段叫做三角形的中線；三角形角平分線：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的平分線．先根據(jù)是中線，是角平分線得出，；根據(jù)這兩個條件逐一判斷即得．【詳解】∵是的中線，∴，故A正確，不符合題意；∴，故D正確，不符合題意；∵是的角平分線，∴，∴是的角平分線，故B正確，不符合題意；∵是的中線，但不是的中線，故C錯誤，符合題意．故選：C．9．C【分析】本題主要考查了求三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，以及直角三角形的性質(zhì)．在中，由三角形的內(nèi)角和定理得到的度數(shù)，又根據(jù)平分，得到的度數(shù)，再根據(jù)余角的定義即可求解；【詳解】解：在中，，∴，∵平分，，∴，∵，∴為直角三角形，∴．故選：C．10．A【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和的定理的證明，平行線的性質(zhì)，熟練掌握轉(zhuǎn)化的思想以及平角的定義是解決本題的關(guān)鍵．運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想作出相應(yīng)的平行線，把三角形的內(nèi)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)平角的定義逐一判斷即可得答案．【詳解】①∵，∴，∵，∴，故①符合題意，②∵，，∴，，∴，∵，∴，故②符合題意，③∵，∴，∵，∴，故③符合題意，④，，不能證明“三角形的內(nèi)角和等于”故④不符合題意，故選：A．11．C【分析】本題主要考查折疊的性質(zhì)、平角的性質(zhì)等知識點，掌握折疊的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．由平角的性質(zhì)可得,再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,即，據(jù)此即可解答．【詳解】解：由平角的定義可得：，又由折疊的性質(zhì)可得：，∴．故選：C．12．C【分析】本題主要考查了圖形的折疊變換及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用等知識；先根據(jù)折疊的性質(zhì)得，則，即，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，在中，利用三角形內(nèi)角和定理得，則20°+2∠3+108°=180°，可計算出，即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，∵沿將此三角形對折，又沿再一次對折，點C落在上的處，∴，∴，∴，在中，，∴，在中，∵，∴，即，∴，∴，故選：C．13．B【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，能夠作出輔助線是解題的關(guān)鍵．延長FG，交CH于I，構(gòu)造出直角三角形，再結(jié)合平行線的性質(zhì)，即可推出①②正確，借助平行線的性質(zhì)推得，即可判斷③④不一定正確．【詳解】解：延長，交于I．∵，∴，，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，故①正確；∴，故②正確；∵平分，∴，∵，∴，∴，可見，的值未必為，未必為，只要和為即可，故③④不一定正確．故選：B．14．C【分析】本題主要考查了點、線、面、體，解題關(guān)鍵是熟練掌握點到直線的距離，余角的性質(zhì)．①根據(jù)點到直線的距離的定義，結(jié)合已知條件進(jìn)行判斷即可；②③均根據(jù)已知條件，直角三角形的性質(zhì)和余角的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；④根據(jù)已知條件，找出旋轉(zhuǎn)后的幾何體，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①點到直線的距離就是這個點到這條直線的垂線段的長度，，點到線段的距離為線段的長度，故①說法正確；②，，，，，，故②說法正確；③，，，，，，故③說法正確；④是由和組成，將三角形繞線段所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是同一個底面的兩個圓錐疊在一起的紡錘體，故④的說法錯誤；綜上可知，說法正確的是①②③，共3個，故選：C15．C【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)，圖1：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，繼而得出的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)；圖2：利用三角形的外角性質(zhì)并結(jié)合，，得出及，即可求出的度數(shù)；圖3：利用三角形外角的性質(zhì)并結(jié)合，，得出的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)，即可求出結(jié)論．利用三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)求出，，的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：圖1：∵在中，，∴，∵，，∴，，∴，∴；圖2：∵是的外角，，∴，∵，，∴，∵是的外角，∴，∴；圖3：∵是的外角，是的外角，，∴，，∴，又∵，，∴，，∴，∴，∴．故選：C．16．B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角，與角平分線有關(guān)的計算，平行線的性質(zhì)，求出的度數(shù)，外角的性質(zhì)，求出的度數(shù)，角平分線求出的度數(shù)，再利用角的和差關(guān)系，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，由題意，得：，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；故選B．17．B【分析】題主要考查多邊形的內(nèi)角和和外角和定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程從而解決問題．首先設(shè)這個多邊形邊數(shù)為n，由題意得出等量關(guān)系，即這個多邊形的內(nèi)角和比四邊形的內(nèi)角和多，由此列出方程解出邊數(shù)，進(jìn)一步根據(jù)這個多邊形的各內(nèi)角相等，得到它各外角都相等，用多邊開外角和定理即可解答．【詳解】解：設(shè)這個多邊形邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得，解得：，∵這個多邊形的每個內(nèi)角都相等，∴它各外角都相等，∴一個外角為：，故選：B18．B【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式、三角形的外角和性質(zhì)求得、，然后結(jié)合選項即可解答．【詳解】解：∵五邊形的內(nèi)角和為，三角形的外角和為，∴．故選B．【點撥】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和公式、三角形外角和等知識點，掌握多邊形內(nèi)角和公式為、然后多邊形的外角和為是解答本題的關(guān)鍵．19．10【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，解題時注意：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊，這是判斷第三邊范圍的主要依據(jù)．先根據(jù)已知兩邊求得第三邊的范圍，再根據(jù)第三邊為偶數(shù)求得第三邊的長，最后計算三角形的周長即可．【詳解】解：，，，即，第三邊c的長為偶數(shù)，，的周長為，故答案為：10．20．【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系，絕對值的性質(zhì)，整式的加減運(yùn)算．根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可得，，，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值符號，然后利用整式的加減運(yùn)算進(jìn)行計算即可得解．【詳解】解：∵、、分別為的三邊長，∴，，∴，，，∴故答案為：．21．//【分析】本題考查了垂線段最短，熟練運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)和三角形等面積法是解題的關(guān)鍵．過點P作于H，交x軸于點P，連接，則的最小值為的長，根據(jù)，，推出．【詳解】解：如圖，過點P作于H，交x軸于點P，連接，當(dāng)點三點共線時，即為點三點在線段上，的最小值為的長，，，故答案為：．22．27【分析】本題考查了三角形的面積，平行線間距離相等，求出的長是解題的關(guān)鍵．過點作，求出的長，再利用面積公式解答即可．【詳解】解：過點作，，的面積，，，，點到的距離等于的長度，的面積．故答案為：27．23．12【分析】根據(jù)是的中線，是的中線，得到，再根據(jù)，即可得到答案．【詳解】解：∵是的中線，是的中線，∴，∴．∵，∴故答案為：12．【點撥】本題考查中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握中線的相關(guān)知識．24．3【分析】本題主要考查了三角形中線的性質(zhì)，根據(jù)得到，，再由三角形中線平分三角形面積得到，，則，根據(jù)三角形面積之間的關(guān)系推出，則，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，，∵，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，∴，解得，故答案為：3．25．30【分析】利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到，證出，同理，則的周長即為，可得出答案．【詳解】解：，，平分，，同理：，即故答案為：．【點撥】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，證出，是解題的關(guān)鍵．26．①②③【分析】本題考查了三角形的中線、高、角平分線；根據(jù)三角形角平分線和高的性質(zhì)可確定角之間的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)三角形的中線和面積公式可確定和的面積關(guān)系以及求出的長度．【詳解】解：是的中線的面積等于的面積

故正確；，是的高，是的角平分線∴又故正確；

故正確；故錯誤；故答案為：①②③．27．/27度【分析】本題主要考查了平行線的判定及性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用，設(shè)，則，，先求得，即可得到，進(jìn)而得出，即可得到，再依據(jù)內(nèi)角和即可得到的度數(shù)．【詳解】解：設(shè)，則，，，，，，，，，平分，，又，，，，即，，，中，，故答案為：．28．【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義及三等分線，n等分線的定義．根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于得出，再由、的兩條三等分角線分別對應(yīng)交于得出的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論；根據(jù)n等分的定義求出的度數(shù)，在中，利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解．【詳解】解：在中，，，和分別是的三等分線，；；∵和分別是的n等分線，；．故答案為：；．29．110或70【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題），分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．分兩種情況：當(dāng)點N在射線上運(yùn)動時；當(dāng)點N在射線上運(yùn)動時；然后分別進(jìn)行計算，即可解答．【詳解】分兩種情況：當(dāng)點N在射線上運(yùn)動時，如圖：

延長到D，∵，∴，由折疊得：，∵，∴，∴，∴；當(dāng)點N在射線上運(yùn)動時，如圖：

延長到E，由折疊得：，∵，∴，∴，∴；綜上所述：當(dāng)時，則或，故答案為：或．30．或/或【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握翻折的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．分兩種情況：①當(dāng)點在的上方時，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，由折疊的性質(zhì)得出答案；②當(dāng)點在的下方時，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，再根據(jù)由折疊的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：①當(dāng)點在的上方時，如圖：∵，，∴，∴；②當(dāng)點在的下方時，如圖：∵，，∴，∴，∴，綜上所述，的度數(shù)為或．故答案為：或．31．9或15/15或9【分析】本題主要考查三角板中角度的計算，平行線的判定和性質(zhì)，分類討論思想，掌握角度的計算，分類討論思想是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，根據(jù)分類討論