第13章 軸對(duì)稱(chēng)（單元測(cè)試培優(yōu)卷）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)突破講與練（人教版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第13章軸對(duì)稱(chēng)（單元測(cè)試·培優(yōu)卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下列圖形中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）A． B． C． D．2．如圖，點(diǎn)A在直線l上，△ABC與關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，連接，分別交AC，于點(diǎn)D，，連接，下列結(jié)論不一定正確的是（

）A． B．C． D．3．我們知道光的反射是一種常見(jiàn)的物理現(xiàn)象.如圖，某V型路口放置如圖所示的兩個(gè)平面鏡，，兩個(gè)平面鏡所成的夾角為，位于點(diǎn)D處的甲同學(xué)在平面鏡中看到位于點(diǎn)A處的乙同學(xué)的像，其中光的路徑為入射光線經(jīng)過(guò)平面鏡反射后，又沿射向平面鏡，在點(diǎn)C處再次反射，反射光線為，已知入射光線，反射光線，則等于（

）A． B． C． D．4．如圖，已知，直線l與直線a，b分別交于點(diǎn)A，B，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線分別交直線a，b于點(diǎn)D、C，連接，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．5．如圖，在等腰，，，為的角平分線，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線與點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．6．如圖，，，，若，則與間的數(shù)量關(guān)系為（）A． B．C． D．7．某平板電腦支架如圖所示，其中，，為了使用的舒適性，可調(diào)整的大?。粼龃?，則的變化情況是（

）A．增大 B．減小 C．增大 D．減小8．如圖，在中，，邊AB的垂直平分線交于點(diǎn)，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，．則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD是△ABC的角平分線，若P，Q分別是AD和AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（）A． B．2 C． D．10．如圖，在中，，AD是高，是中線，CF是角平分線，CF交AD于G，交于H，下面說(shuō)法：①；②；③；④．其中正確的是(

)A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①③④二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．如圖，在中，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線，交于點(diǎn)D，連接，若的周長(zhǎng)為24，，則的周長(zhǎng)為．12．如圖，直線，點(diǎn)A是直線m上一點(diǎn)，點(diǎn)B是直線n上一點(diǎn)，與直線m，n均不垂直，點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，直線l分別與m，n相交于點(diǎn)C，D，若，m，n之間的距離為2，則的值為．13．如圖，，F(xiàn)為的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為．14．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，滿足，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別是，點(diǎn)B在y軸上，在坐標(biāo)平面內(nèi)存在一點(diǎn)D（不與點(diǎn)C重合），使，且與是對(duì)應(yīng)邊，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)．15．如圖，，C是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)沿射線以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā)沿射線以的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，那么當(dāng)s時(shí)，是等腰三角形．16．如圖，銳角中，，，的面積是，，，分別是三邊上的動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，，…在x軸正半軸上，點(diǎn)，，，…在直線上，若，且，，，…均為等邊三角形，則線段的長(zhǎng)度為．18．如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿折疊（折線交于，交于），點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是、，交于，再將四邊形沿折疊，點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是、，交于，給出下列結(jié)論：

①②③若，則④上述正確的結(jié)論是．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）在中，，，，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：．20．（8分）如圖，點(diǎn)P是外的一點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)F與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱(chēng)，直線分別交于C、D兩點(diǎn)，連接．（1）若，求的度數(shù)；（2）若求，，，求的長(zhǎng)．21．（10分）如圖，在中，平分，點(diǎn)為中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．

（1）若，求的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作關(guān)于對(duì)稱(chēng)的，設(shè)，的面積分別為，若，試求的值．22．（10分）已知：平分，點(diǎn)A，B分別在邊，上，且．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：．（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，作于點(diǎn)C．求證：．23．（10分）已知，在中，，于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)在線段上，且（1）如圖1，求證：（2）如圖1，若，且，求的面積（3）如圖2，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的值．24．（12分）如圖，在中，，，是等邊三角形，點(diǎn)在邊上．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，求證（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，猜想和數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在外部時(shí)，于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．參考答案：1．B【分析】此題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念．軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，折疊后對(duì)稱(chēng)軸兩旁的圖形重合．根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的意義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸．據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A、該圖形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B、該圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)符合題意；C、該圖形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D、該圖形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意．故選：B．2．D【分析】利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，，，，，，，，即選項(xiàng)A、B正確；由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得：，，即，選項(xiàng)C正確；由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得：，但不一定等于，即選項(xiàng)D不一定正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．C【分析】本題考查了光的反射定律，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由光的反射定律以及平行線的性質(zhì)，推出，再結(jié)合三角形內(nèi)角和，推出的度數(shù)．【詳解】如圖所示，由光的反射定律，可以知道，，，故選：C．4．B【分析】本題考查尺規(guī)作圖?垂直平分線、三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)，由題意得，是直線l的垂直平分線，可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由題意得，是直線l的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，故選：B．5．B【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，得，再證，得，然后由等腰三角形的性質(zhì)得，即可得出結(jié)論．掌握等腰三角形三線合一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵平分，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的長(zhǎng)為．故選：B．6．A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，等邊對(duì)等角．易得，通過(guò)證明得出，則，最后根據(jù)在中，，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，在中，，整理得：，故選：A．7．D【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，設(shè)設(shè)原來(lái)，求出此時(shí)，然后類(lèi)似求出變化后，然后兩角作差即可得出結(jié)論.【詳解】解：設(shè)原來(lái)，則∵，∴，∴，增大后，，∴，∴，∴，∴的變化情況是減小，故選：D.8．D【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，再利用等腰三角形的性質(zhì)得到，，接著利用三角形內(nèi)角和定理得到，然后利用可計(jì)算出的度數(shù)．本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，角的和差關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵DE垂直平分AB，∴，∴，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴在中，，∵，∴，∴．故選：．9．C【分析】過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，由AD是∠BAC的平分線．得出PQ=PM，這時(shí)PC+PQ有最小值，即CM的長(zhǎng)度，運(yùn)用面積法即可求得答案．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，∵AD是∠BAC的平分線．∴PQ=PM，這時(shí)PC+PQ有最小值，即CM的長(zhǎng)度，∵AC=3，BC=4，∠ACB=90°，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短問(wèn)題以及角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)找出滿足PC+PQ有最小值時(shí)點(diǎn)P和Q的位置．10．C【分析】①無(wú)法證明是否同底等高的兩個(gè)三角形面積相等即可判斷；②根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可推出；③根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)角平分線定義即可判斷；④根據(jù)等腰三角形的判定方法即可判斷．【詳解】解：∵無(wú)法證明，故無(wú)法證明，故①錯(cuò)誤；是角平分線，，是高，，，，，，，，，故②正確；是高，，，，，，是角平分線，，，即，故③正確；根據(jù)已知條件不能推出，因此不能證明，故④錯(cuò)誤；綜上可知，②③結(jié)論正確，故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的角平分線、中線和高性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，難度一般，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用上述知識(shí)．11．15【分析】本題考查作圖—基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．由作圖過(guò)程可知，直線為線段的垂直平分線，則．由題意可得，，則的周長(zhǎng)為求解．【詳解】解：由作圖過(guò)程可知，直線為線段的垂直平分線，∴．∵的周長(zhǎng)為24，，∴．∴的周長(zhǎng)為．故答案為：15．12．【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，中垂線的判定和性質(zhì)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，證明，得到，進(jìn)而得到，證明，得到，再根據(jù)等積法，得到，等量代換，即可得出結(jié)果．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，∵，∴，，∴，，∵點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴；故答案為：．13．【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．先證明和是等腰三角形，再證明，設(shè)，則，根據(jù)，列方程可得結(jié)論．【詳解】解：，，，，設(shè)，則，在和中，，，，，，，，，，∴，．故答案為：．14．【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，根據(jù)已知可得是等腰直角三角形，得到，利用等量代換，進(jìn)而可證，由此得到，，再證明，即可得到，，，由此可求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】解：過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，的坐標(biāo)是.故答案為:.15．4或【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用．熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．由題意知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，由是等腰三角形，可知當(dāng)時(shí)，，即，計(jì)算求解即可；當(dāng)時(shí)，證明是等邊三角形，則，即，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，∵是等腰三角形，∴當(dāng)時(shí)，，即，解得，，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，∴是等邊三角形，∴，即，解得，，綜上所述，的值為4或，故答案為：4或．16．/【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，將周長(zhǎng)轉(zhuǎn)換為一條直線，如圖所示（見(jiàn)詳解），作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，，三角形是等邊三角形，周長(zhǎng)，即最小就是的值最小，的面積是，，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，，∴，即是的垂直平分線，是的垂直平分線，且，∵，∴，即，∴三角形是等邊三角形，∴，∴當(dāng)點(diǎn)在一條直線上時(shí)，周長(zhǎng)，即最小就是的值最小，根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短，可知當(dāng)時(shí)，最小，即周長(zhǎng)最小，∵的面積是，，即，∴，即周長(zhǎng)最小，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性找最短路徑，垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，理解和掌握垂直平分線的性質(zhì)，對(duì)稱(chēng)軸的性質(zhì)找最短路徑的方法是解題的關(guān)鍵．17．【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，能根據(jù)題意得出(n為正整數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)所給一次函數(shù)解析式得出直線與x軸正半軸的夾角為，再依次求出的長(zhǎng)度，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問(wèn)題．【詳解】解：一次函數(shù)的解析式為，此直線與x軸正半軸的夾角為是等邊三角形，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴同理可得，，，…，所以（n為正整數(shù)），當(dāng)時(shí)，故答案為：18．②③④【分析】由折疊性質(zhì)得到，根據(jù)平行線性質(zhì)得到，再由三角形外角性質(zhì)確定，設(shè)，則，只有當(dāng)時(shí)結(jié)論①才成立；由，得到，結(jié)合折疊性質(zhì)求證即可得到②正確；在①的求證過(guò)程中可知，設(shè)，則，從而由折疊性質(zhì)表示出角度關(guān)系列方程求解即可得到③正確；在①的證明過(guò)程中，結(jié)合外角性質(zhì)即可得到④正確；從而得到答案．【詳解】解：由折疊性質(zhì)得，，，，則，是的一個(gè)外角，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，題中并未明確的度數(shù)，故①錯(cuò)誤；，，由折疊性質(zhì)可知，則，故②正確；由折疊性質(zhì)得，由①的證明過(guò)程可知，，設(shè)，則，，，，解得，即，故③正確；由①知，是的一個(gè)外角，，故④正確；綜上所述，題中正確的結(jié)論是②③④，故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題考查折疊求角度關(guān)系，涉及折疊性質(zhì)、鄰補(bǔ)角定義、三角形外角性質(zhì)、平行線性質(zhì)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合，利用相關(guān)幾何性質(zhì)準(zhǔn)確表示出各個(gè)角度之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．19．證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，過(guò)作于點(diǎn)，則，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”定理得，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，過(guò)作于點(diǎn)，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴．20．(1)(2)【分析】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．（1）由點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)F與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，可得，，則，，根據(jù)，求解作答即可；（2）由點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)F與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，可得，，即，由，可求，進(jìn)而可得的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)F與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，∴，，∴，，∴，∴；（2）解：∵點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)F與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，∴，，∴，∴，解得，∴．21．(1)(2)3【分析】本題是三角形綜合題，考查了軸對(duì)稱(chēng)，三角形的中線，與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．（1）由三角形內(nèi)角和定理可求，由角平分線的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可求解；（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到，由面積的和差關(guān)系可得，從而得到．【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∴；（2）∵關(guān)于對(duì)稱(chēng)的，∴，∵，∴．22．(1)詳見(jiàn)解析(2)詳見(jiàn)解析【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意并掌握這些知識(shí)點(diǎn)．（1）根據(jù)平分得，根據(jù)得，利用等角對(duì)等邊即可得；（2）作于點(diǎn)D，利用可證明，得到，然后證明出，得到，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，作于點(diǎn)D，

∵于點(diǎn)C，平分，∴，，∵，，∴，在和中，∴，∴∵，，∴，∴，∵，，∴．23．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意可得，證明，即可得證；（