數(shù)學(xué)示范教案：向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o(\s\up7（），\s\do5（整體設(shè)計(jì)）)教學(xué)分析本小節(jié)涉及到解析幾何一些基礎(chǔ)知識(shí)：向量的共線(平行)、向量共線的條件、軸、向量在軸上的坐標(biāo)及加法運(yùn)算、數(shù)軸以及如何用位置向量確定軸上點(diǎn)的位置、基本公式等．這些知識(shí)看似簡(jiǎn)單，但極為重要．這一節(jié)的學(xué)習(xí)，可為不同層次的學(xué)生搭建學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)平臺(tái)．尤其是定理的前提條件：向量a是非零向量．共線向量定理的應(yīng)用主要用于證明點(diǎn)共線或平行等幾何性質(zhì)，且與后續(xù)的知識(shí)有著緊密的聯(lián)系．向量的平行是用向量的基線平行定義的，并規(guī)定零向量可以與任意一個(gè)向量平行．從這里可以看出引入向量基線的作用,引入基線，主要是邏輯上的考慮，我們把向量平行建立在直線平行的基礎(chǔ)上．這樣,向量與幾何緊密相連,又可避開直接用方向來定義向量的平行．平行向量基本定理是由向量平行的定義直接推知，沒有作形式化的證明，教學(xué)時(shí)沒有必要補(bǔ)充證明．軸上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算，完全可啟發(fā)學(xué)生自己導(dǎo)出．一定要讓學(xué)生區(qū)分軸與數(shù)軸這兩個(gè)不同的概念．理解軸上向量與其實(shí)數(shù)（坐標(biāo))的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．書中沒有提及軸上向量的減法運(yùn)算，它應(yīng)包含在加法運(yùn)算之中．軸上向量的基本公式，在數(shù)學(xué)2中已學(xué)習(xí)過,這里用向量再重新推導(dǎo)，目的是提高學(xué)生對(duì)這些基本公式的理解和記憶，提高學(xué)生對(duì)這些公式的理性認(rèn)識(shí)．三維目標(biāo)1．通過探究向量共線的條件，理解向量平行（共線）概念和平行向量基本定理，會(huì)證明幾何中簡(jiǎn)單的平行問題．2．理解軸和軸上向量的概念，理解軸上向量的坐標(biāo)．建立軸上向量與實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．3．通過軸上向量的探究，能用向量的觀點(diǎn)理解數(shù)軸，用軸上向量運(yùn)算證明解析幾何基本公式,并能用向量確定直線上點(diǎn)的位置．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):平面向量基本定理，軸上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算．教學(xué)難點(diǎn):對(duì)向量共線條件的理解運(yùn)用．課時(shí)安排1課時(shí)eq\o（\s\up7（）,\s\do5(教學(xué)過程)）導(dǎo)入新課思路1.(直接引入）在學(xué)習(xí)向量概念時(shí)，我們已給出向量共線的概念,即：如果向量的基線互相平行或重合，則稱這些向量共線或互相平行(圖1）．那么向量平行會(huì)有什么條件呢?由此展開新課．圖1思路2.（問題引入)前面我們一起探究了向量加減法運(yùn)算、向量的數(shù)乘運(yùn)算以及它們的運(yùn)算律，更重要的是探究了它們的幾何意義．那么向量2a與向量3a的位置關(guān)系怎樣?由此進(jìn)入向量平行的探究．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究）)向量共線的條件eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問題））eq\a\vs4\al(1向量平行具有哪些條件？怎樣理解平行向量基本定理？，2向量平行與直線平行有什么異同?如何理解零向量平行這個(gè)特殊問題？）活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生探究，由向量平行和數(shù)乘向量的定義可以直接推知，可得平行向量基本定理:如果a＝λb，則a∥b;反之，如果a∥b，且b≠0，則一定存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.如圖2，如果a＝2b,則a∥b;如果c＝－2b，則c∥b;圖2如果d∥b，d的長(zhǎng)度是b的長(zhǎng)度的一半，并且方向相反，則d＝－eq\f（1，2)b。給定一個(gè)非零向量a，與a同方向且長(zhǎng)度等于1的向量，叫做向量a的單位向量．如果a的單位向量記作a0（圖3)，由數(shù)乘向量的定義可知圖3a＝｜a｜a0或a0＝eq\f（a,|a|）。由于零向量的方向不定，在處理平行問題時(shí)，零向量與任何一個(gè)向量平行．正因?yàn)槿绱?關(guān)于向量共線的條件，教師要點(diǎn)撥學(xué)生做進(jìn)一步深層探究，讓學(xué)生思考，若去掉a≠0這一條件，上述條件成立嗎?其目的是通過0與任意向量的平行來加深對(duì)向量共線的等價(jià)條件的認(rèn)識(shí)．在判斷兩個(gè)非零向量是否共線時(shí)，只需看這兩個(gè)向量的方向是否相同或相反即可，與這兩個(gè)向量的長(zhǎng)度無關(guān)．在沒有指明非零向量的情況下，共線向量可能有以下幾種情況：(1）有一個(gè)為零向量；（2)兩個(gè)都為零向量；（3）同向且模相等；（4)同向且模不等；(5)反向且模相等;(6)反向且模不等．應(yīng)注意，這里說向量平行，包含向量基線重合的情形，與兩條直線平行的概念有點(diǎn)不同．事實(shí)上，在高等數(shù)學(xué)中，重合直線是平行直線的特殊情形．也就是說：直線的平行是指兩條直線在同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)；而向量的平行既包含沒有交點(diǎn)的情況，又包含兩個(gè)向量在同一條直線上的情形．討論結(jié)果：(1）略．（2）略．軸上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問題)）eq\a\vs4\al（1閱讀教材,怎樣理解軸上向量？與數(shù)軸有什么區(qū)別？,2根據(jù)軸上向量的概念,你能得到哪些基本公式?，3怎樣用向量確定直線上點(diǎn)的位置？）活動(dòng):教師與學(xué)生一起探究軸上向量這個(gè)概念，讓學(xué)生一定區(qū)分開它與數(shù)軸的概念的不同．這里說的軸是指規(guī)定了方向和長(zhǎng)度單位的直線．與數(shù)軸不同的是這里沒有規(guī)定原點(diǎn)，僅是方向和長(zhǎng)度單位．如圖4。圖4已知軸l.取單位向量e，使e的方向與l同方向．根據(jù)向量平行的條件，對(duì)軸上任意向量a，一定存在唯一實(shí)數(shù)x,使a＝xe。反過來，任意給定一個(gè)實(shí)數(shù)x，我們總能作一個(gè)向量a＝xe，使它的長(zhǎng)度等于這個(gè)實(shí)數(shù)x的絕對(duì)值，方向與實(shí)數(shù)的符號(hào)一致．給定單位向量e,能生成與它平行的所有向量的集合{xe｜x∈R｝．這里的單位向量e叫做軸l的基向量，x叫做a在l上的坐標(biāo)（或數(shù)量)．x的絕對(duì)值等于a的長(zhǎng)，當(dāng)a與e同方向時(shí)，x是正數(shù);當(dāng)a與e反方向時(shí),x是負(fù)數(shù)．例如，eq\o(AB，\s\up6(→））＝3e，eq\o（CD,\s\up6（→））＝－2e，則eq\o（AB，\s\up6（→)）在l上的坐標(biāo)是3,eq\o（CD，\s\up6(→))在l上的坐標(biāo)是－2.于是，在一條軸上，實(shí)數(shù)與這條軸上的向量建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．至此，我們就可用數(shù)值來表示向量．這一點(diǎn)特別重要,我們?cè)诮馕鰩缀纬醪街幸呀?jīng)指出，如果點(diǎn)的位置不能用數(shù)值來表示,要使用現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)技術(shù)研究圖形的性質(zhì)是不可能的．這里，我們奠定了向量的數(shù)量化基礎(chǔ)，以后我們還要把平面向量、空間向量都數(shù)量化、代數(shù)化．這樣，我們就可以用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)等現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)進(jìn)行向量運(yùn)算了．有了以上軸上向量的概念，教師引導(dǎo)學(xué)生自然地進(jìn)行一些公式的推導(dǎo)與運(yùn)算．設(shè)a＝x1e,b＝x2e，于是：如果a＝b,則x1＝x2;反之,如果x1＝x2，則a＝b；另外，a＋b＝（x1＋x2)e。這就是說，軸上兩個(gè)向量相等的條件是它們的坐標(biāo)相等；軸上兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量的坐標(biāo)的和．設(shè)e是軸l上的一個(gè)基向量(圖5).eq\o(AB，\s\up6（→））的坐標(biāo)又常用AB表示，這時(shí)eq\o(AB，\s\up6(→）)＝ABe。顯然eq\o(BA,\s\up6（→)）＝BAe，AB是BA絕對(duì)值相同，符號(hào)相反,即AB＋BA＝0.設(shè)e是l上的一單位向量(圖5)，在l上任取三點(diǎn)A，B，C，則圖5eq\o(AB,\s\up6(→）)＋eq\o(BC，\s\up6（→））＝eq\o(AC,\s\up6(→))，ABe＋BCe＝ACe,(AB＋BC）e＝ACe。因?yàn)閑≠0，所以AB＋BC＝AC.①公式①在解析幾何初步一章中已經(jīng)得到，盡管形式非常簡(jiǎn)單，但極為重要．我們已經(jīng)看到它是我們研究解析幾何、三角的基礎(chǔ)．這里我們應(yīng)用向量計(jì)算精確方便地得到了這個(gè)公式．有了軸上向量的概念，我們可以用向量的觀點(diǎn)，重新認(rèn)識(shí)一下我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)過的數(shù)軸．在軸x上選一定點(diǎn)O作為原點(diǎn),就成為我們學(xué)過的數(shù)軸（圖6)．圖6設(shè)e是軸x的基向量，向量a平行于x軸,以原點(diǎn)O為始點(diǎn)作eq\o（OP，\s\up6(→)）＝a,則點(diǎn)P的位置被向量a所唯一確定，由平行向量基本定理知道,存在唯一的實(shí)數(shù)x,使eq\o(OP,\s\up6(→）)＝xe。數(shù)值x是點(diǎn)P的位置向量eq\o（OP，\s\up6(→）)在x軸上的坐標(biāo),也就是點(diǎn)P在數(shù)軸x上的坐標(biāo);反之亦然．如圖7，如果點(diǎn)P的坐標(biāo)為3，則點(diǎn)P的位置向量eq\o(OP，\s\up6（→))的坐標(biāo)也為3。圖7在數(shù)軸x上，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為x1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為x2（圖7），于是由公式①,得AB＝AO＋OB＝－OA＋OB＝x2－x1.即AB＝x2－x1。②這就是說,軸上向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)公式②，又可以得到數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離公式|AB|＝|x2－x1|③由于數(shù)軸是中學(xué)階段第一個(gè)數(shù)形結(jié)合的工具，也是中學(xué)階段最重要的數(shù)學(xué)概念之一,在這里引導(dǎo)學(xué)生重新對(duì)以上公式進(jìn)行推導(dǎo)，提高了學(xué)生對(duì)這些基本公式的理解和記憶,提高了學(xué)生對(duì)這些公式的理性認(rèn)識(shí)．討論結(jié)果：（1)(2）（3)略．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例））思路1例1如圖8,MN是△ABC的中位線，求證：MN＝eq\f（1,2)BC，且MN∥BC。圖8證明：因?yàn)镸,N分別是AB，AC邊上的中點(diǎn)，所以eq\o（AM，\s\up6（→)）＝eq\f（1,2）eq\o(AB，\s\up6(→)),eq\o（AN，\s\up6（→)）＝eq\f(1,2)eq\o(AC，\s\up6（→)），eq\o(MN，\s\up6(→）)＝eq\o（AN,\s\up6（→））－eq\o(AM，\s\up6(→）)＝eq\f(1,2）eq\o(AC,\s\up6(→）)－eq\f(1，2）eq\o(AB,\s\up6(→)）＝eq\f(1,2）(eq\o（AC,\s\up6(→)）－eq\o（AB，\s\up6（→）)）＝eq\f（1，2)eq\o(BC，\s\up6(→)）。所以MN∥BC，MN＝eq\f（1，2)BC.點(diǎn)評(píng)：解完本例后，讓學(xué)生總結(jié)領(lǐng)悟用向量證明平面幾何問題的思想方法.變式訓(xùn)練1．已知O、A、B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足2eq\o(AC,\s\up6(→）)＋eq\o(CB，\s\up6（→））＝0，則eq\o（OC，\s\up6(→））等于（）A．2eq\o（OA,\s\up6(→）)－eq\o（OB，\s\up6(→））B．－eq\o(OA，\s\up6(→））＋2eq\o(OB,\s\up6(→)）C.eq\f（2，3)eq\o(OA，\s\up6(→)）－eq\f(1，3）eq\o（OB,\s\up6（→））D．－eq\f（1,3)eq\o（OA,\s\up6(→））＋eq\f(2，3)eq\o（OB,\s\up6(→））答案：A2.如圖9，A，B，C是平面內(nèi)三個(gè)點(diǎn)，且A與B不重合，P是平面內(nèi)任意一點(diǎn),若點(diǎn)C在直線AB上，求證：存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o（PC,\s\up6(→)）＝λeq\o（PA，\s\up6(→）)＋(1－λ）eq\o(PB，\s\up6(→)）。圖9證明：如圖9，因?yàn)橄蛄縠q\o（BC,\s\up6（→)）與向量eq\o(BA,\s\up6(→）)共線,根據(jù)向量共線定理,可知eq\o（BC，\s\up6(→）)＝λeq\o(BA,\s\up6(→）)。即eq\o（PC，\s\up6(→))－eq\o(PB，\s\up6(→）)＝λ(eq\o（PA，\s\up6(→))－eq\o(PB，\s\up6(→））)，eq\o（PC，\s\up6(→）)＝λeq\o（PA,\s\up6（→))＋eq\o（PB,\s\up6(→））－λeq\o（PB,\s\up6（→)）,eq\o(PC,\s\up6(→））＝λeq\o(PA,\s\up6（→))＋（1－λ）eq\o(PB，\s\up6(→))。點(diǎn)評(píng)：本例給出了判斷三點(diǎn)共線的一個(gè)方法.例2已知a＝3e,b＝－2e。試問向量a與b是否平行?并求|a｜∶｜b｜.解：由b＝－2e，得e＝－eq\f(1，2）b，代入a＝3e，得a＝－eq\f(3，2）b。因此，a與b平行，且|a｜∶｜b|＝eq\f（3，2).3已知數(shù)軸上三點(diǎn)A，B,C的坐標(biāo)分別是4，－2,－6,求eq\o（AB，\s\up6(→）)，eq\o(BC,\s\up6(→）），eq\o(CA,\s\up6（→））的坐標(biāo)和長(zhǎng)度（圖10)．圖10解:AB＝(－2）－4＝－6，|eq\o（AB,\s\up6(→））｜＝|－6｜＝6；BC＝－6－（－2）＝－4，|eq\o(BC,\s\up6(→)）｜＝｜－4|＝4;CA＝4－(－6）＝10，|eq\o(CA,\s\up6（→））｜＝｜10|＝10。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))1．先讓學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法：向量平行的條件、軸上向量、確定軸上點(diǎn)的位置、基本公式等．體會(huì)本節(jié)學(xué)習(xí)中用到的思想方法．特別是用新學(xué)向量知識(shí)重新認(rèn)識(shí)過去所學(xué)內(nèi)容，是真正的溫故知新，是對(duì)原知識(shí)的再提高，而不是把新知識(shí)與過去知識(shí)割裂開來，對(duì)學(xué)生理性思維的提高具有重大意義．2．向量及其運(yùn)算與數(shù)及其運(yùn)算可以類比，這種類比是我們提高思想性的有效手段，在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)予以充分的重視，類比是我們學(xué)習(xí)中偉大的引路人．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)）)課本本節(jié)練習(xí)A組2,3，4。eq\o(\s\up7（）,\s\do5(設(shè)計(jì)感想））1．本教案的設(shè)計(jì)流程符合新課程理念，充分抓住本節(jié)教學(xué)中的學(xué)生探究、猜想、推證等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生畫出草圖幫助理解題意和解決問題．由學(xué)生探究向量平行的特例，得到向量平行的條件．向量共線定理用來判斷兩個(gè)向量是否共線．然后對(duì)所探究的結(jié)果進(jìn)行運(yùn)用拓展．認(rèn)識(shí)了軸上向量與數(shù)軸的不同,重新推導(dǎo)了幾個(gè)公式．2．向量具有的幾何形式和代數(shù)形式的雙重身份在本節(jié)中得以充分體現(xiàn),因而成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)交匯點(diǎn)，由此可看出在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的地位的重要，也成為近幾年各地高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)平面向量中有關(guān)知識(shí)要點(diǎn)進(jìn)行歸納整理．3．本節(jié)內(nèi)容和方法具有豐富的內(nèi)涵，不同層次的學(xué)生在這里都能有不同的提高．同時(shí)，本內(nèi)容又是加強(qiáng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)的最佳平臺(tái)，應(yīng)充分利用好本節(jié)的教育功能．綻放出更為深層的智慧火花．eq\o(\s\up7(），\s\do5（備課資料)）一、新課標(biāo)下教師的角色定位1．教師應(yīng)努力成為數(shù)學(xué)探究課題的創(chuàng)造者，有比較開闊的數(shù)學(xué)視野，了解與中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有關(guān)的擴(kuò)展知識(shí)和內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想，認(rèn)真思考其中的一些問題，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，提高數(shù)學(xué)能力,為指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究做好充分的準(zhǔn)備,并積累指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的資源．2．教師要成為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的組織者、指導(dǎo)者、合作者．教師應(yīng)該為學(xué)生提供較為豐富的數(shù)學(xué)探究課題的案例和背景材料，引導(dǎo)和幫助而不是代替學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出探究課題,特別應(yīng)該鼓勵(lì)和幫助學(xué)生獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)和提出問題,指導(dǎo)學(xué)生和幫助學(xué)生養(yǎng)成查閱相關(guān)的參考書籍和資料、在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)上查找和引證資料的習(xí)慣．在學(xué)生需要的時(shí)候,教師應(yīng)該成為學(xué)生平等的合作者,教師要有勇氣和學(xué)生一起進(jìn)行探究．3．教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的差異，進(jìn)行有針對(duì)性的指導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新的同時(shí)，允許一部分學(xué)生可以在模仿的基礎(chǔ)上發(fā)揮自己的想象力和創(chuàng)造力，正面鼓勵(lì)學(xué)生的探索精神，肯定學(xué)生的創(chuàng)造性勞動(dòng),同時(shí)也指出存在的問題和不足．二、備用習(xí)題1．設(shè)兩非零向量e1、e2不共線，且ke1＋e2與e1＋ke2共線，則k的值為()A．1B．－1C．±1D．02．對(duì)判斷向量a＝－2e與b＝2e是否共線？有如下解法：解：∵a＝－2e,b＝2e,∴b＝－a?！郺與b共線．請(qǐng)根據(jù)本節(jié)所學(xué)的共線知識(shí)給以評(píng)析．如果解法有誤,請(qǐng)給出正確解法．3．如圖11，已知任意兩個(gè)非零向量a、b,試作eq\o（OA，\s\up6(→）)＝a＋b，eq\o(OB，\s\up6（→））＝a＋2b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋3b.你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？圖114．根據(jù)下列各個(gè)小題中的條件，分別判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明：（1)eq\o（AD，\s\up6（→)）＝eq\o（BC,\s\up6（→))；（2）eq\o（AD，\s\up6（→)）＝eq\f（1，3)eq\o(BC,\s\up6（→));(3）eq\o(AB,\s\up6（→))＝eq\o（DC，\s\up6（→）),且｜eq\o（AB，\s\up6(→）)｜＝|eq\o(AD，\s\up6(→）)|.參考答案：1．C2．分析：乍看上述解答，真是簡(jiǎn)單明快．然而，仔細(xì)研究題目已知，卻發(fā)現(xiàn)其解答存在問題，這是因?yàn)?原題已知中，對(duì)向量e并無任何限制，那么就應(yīng)允許e＝0，而當(dāng)e＝0時(shí)，顯然，a＝0,b＝0,此時(shí),a不符合定理中的條件，且使b＝λa成立的λ值也不唯一(如λ＝－1，λ＝1，λ＝2等均可使b＝λa成立），故不能應(yīng)用定理來判斷它們是否共線．可見,對(duì)e＝0的情況應(yīng)另法判斷才妥．綜上分析,此題應(yīng)解答如下：解：（1）當(dāng)e＝