數(shù)學(xué)示范教案：向量的概念

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案教學(xué)分析1．本節(jié)是本章的入門課,概念較多，但難度不大．位移、速度、力等物理量學(xué)生都學(xué)過，這里僅是列出這些物理量讓學(xué)生感知矢量，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)向量的概念作鋪墊．由于向量來源于物理，并且兼具“數(shù)”和“形”的特點(diǎn),所以它在物理和幾何中具有廣泛的應(yīng)用．可通過幾個(gè)具體的例子說明它的應(yīng)用．位移、速度、力等是物理中的基本量，也是幾何研究的重要對(duì)象．幾何中常用點(diǎn)表示位置，研究如何由一點(diǎn)的位置確定另外一點(diǎn)的位置．位移簡(jiǎn)明地表示了點(diǎn)的位置之間的相對(duì)關(guān)系,它是向量的重要的物理模型．力是常見的物理量．重力、浮力、彈力等都是既有大小又有方向的量．物理中還有其他力,讓學(xué)生舉出物理學(xué)中力的其他一些實(shí)例，目的是要建立物理課中學(xué)過的位移、力及矢量等概念與向量之間的聯(lián)系,以此更加自然地引入向量概念，并建立學(xué)習(xí)向量的認(rèn)知基礎(chǔ)．2．引出向量的概念后，為了使學(xué)生更好地理解向量概念，可采用與數(shù)量概念比較的方法，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)年齡、身高、長(zhǎng)度、面積、體積、質(zhì)量等量是“只有大小，沒有方向的量”,同時(shí)給出“時(shí)間、路程、功是向量嗎?速度、加速度是向量嗎？"的思考題．通過這樣的比較，可以使學(xué)生在區(qū)分相似概念的過程中更深刻地把握向量概念．實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，數(shù)量常常用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示．教科書通過類比實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的表示,給出了向量的幾何表示—-用有向線段表示向量．用有向線段表示向量，賦予了向量一定的幾何意義．有向線段使向量的“方向”得到了表示，那么向量的大小又該如何表示呢？一個(gè)自然的想法是用有向線段的長(zhǎng)度來表示．從而引出向量的模、零向量及單位向量等概念,為學(xué)習(xí)向量作了很好的鋪墊．3．?dāng)?shù)學(xué)中，引進(jìn)一個(gè)新的量后,首先要考慮的是如何規(guī)定它的“相等”，這是討論這個(gè)量的基礎(chǔ)．如何規(guī)定“相等向量"呢？由于向量涉及大小和方向，因此把“長(zhǎng)度相等且方向相同的向量”規(guī)定為相等向量是非常自然的．由向量相等的定義可以知道,對(duì)于一個(gè)向量，只要不改變它的方向和大小，就可以任意平行移動(dòng)．因此，用有向線段表示向量時(shí)，可以任意選取有向線段的起點(diǎn)，這為用向量處理幾何問題帶來方便，并使平面上的向量與向量的坐標(biāo)得以一一對(duì)應(yīng)．教學(xué)時(shí)可結(jié)合例題、習(xí)題說明這種思想．4．共線向量和平行向量是研究向量的基礎(chǔ)，由此可以將一組平行向量平移（不改變大小和方向）到一條直線上,這給問題的研究帶來方便．教學(xué)中,要使學(xué)生體會(huì)兩個(gè)共線向量并不一定要在一條直線上，只要兩個(gè)向量平行就是共線向量,當(dāng)然，在同一直線上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共線與平面幾何中直線、線段的平行和共線相混淆,教學(xué)中可以通過對(duì)具體例子的辨析來正確掌握概念．三維目標(biāo)1．通過物理中的位移、速度、力等矢量,利用平面向量的實(shí)際背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及確定平面向量的兩個(gè)要素，搞清數(shù)量與向量的區(qū)別．2．理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量、零向量等概念,并能判斷向量之間的關(guān)系．并會(huì)辨認(rèn)圖形中的相等向量或作出與某一已知向量相等的向量．3．通過本節(jié)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度思考生活中實(shí)際問題的習(xí)慣．加強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí),切實(shí)做到學(xué)以致用．用聯(lián)系、發(fā)展的觀點(diǎn)觀察世界．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握向量、零向量、單位向量、向量的模、相等向量、共線向量的概念；會(huì)表示向量；知道如何用向量確定點(diǎn)的位置．教學(xué)難點(diǎn)：平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別與聯(lián)系．課時(shí)安排1課時(shí)eq\o（\s\up7()，\s\do5（教學(xué)過程）)導(dǎo)入新課思路1。先引導(dǎo)學(xué)生閱讀本章引言并觀察思考章頭圖，然后提出問題:在同一時(shí)刻，老鼠由A向西北方向的C處逃竄，貓?jiān)贐處向正東方向的D處追去，貓能否追到老鼠呢(如圖1)？學(xué)生馬上得出結(jié)論：追不上，貓的速度再快也沒用,因?yàn)榉较蝈e(cuò)了．教師適時(shí)設(shè)問：如何從數(shù)學(xué)的角度來揭示這個(gè)問題的本質(zhì)?由此展開新課的探究．圖1思路2。創(chuàng)設(shè)實(shí)物情境，回憶物理相關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生思考：兩列火車先后從同一站臺(tái)沿相反方向開出，各走了相同的路程，怎樣用數(shù)學(xué)式子表示這兩列火車的位移？中國(guó)象棋中規(guī)定馬走“日”，象走“田”，讓學(xué)生在圖上畫出馬、象走過的路線，從物理知識(shí)位移的視角觀察思考，并由此展開新課，這也是一個(gè)不錯(cuò)的導(dǎo)入選擇．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究）)位移的概念eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出問題））1回憶初中物理課中，我們學(xué)過的“位移"“速度"“力”等物理概念，讓學(xué)生舉出我們?nèi)粘Ｉ钪杏嘘P(guān)“位移”“速度”“力”的實(shí)例。2“位移"“速度”“力”這些量的共同特征是什么?3“位移”“速度”“力”等量與長(zhǎng)度、面積、質(zhì)量等量有哪些不同？即數(shù)量與矢量的本質(zhì)區(qū)別在哪里?活動(dòng)：教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀課本,思考討論課本中的實(shí)例所反映的物理量的特征．我們身邊這樣的實(shí)例很多，可以讓學(xué)生充分思考討論再舉出一些位移、速度、力的實(shí)例來,如果學(xué)生舉出的是一些有關(guān)長(zhǎng)度、面積、質(zhì)量的例子，效果會(huì)更好，這樣就有了比較，教師因勢(shì)利導(dǎo)，學(xué)生更能明了這些量的本質(zhì)．例如:物體在液體中受到的浮力是豎直向上的,物體浸在液體中的體積越大它受到的浮力越大；被拉長(zhǎng)的彈簧的彈力是沿著反拉方向的，被壓縮的彈簧的彈力是沿著反壓方向的,并且在彈性限度內(nèi)，彈簧拉長(zhǎng)或壓縮的長(zhǎng)度越大，彈力越大；物理中的速度與加速度，物理中的動(dòng)量與沖量等，這些量的共同特征是既有大小又有方向．如有學(xué)生舉出我們的身高、運(yùn)動(dòng)會(huì)上的百米賽跑的跑道長(zhǎng)度及場(chǎng)地面積、鉛球體積、鉛球質(zhì)量等實(shí)例，教師適時(shí)地讓學(xué)生討論：這些量顯然與以上那些量不同，因?yàn)殚L(zhǎng)度、面積等這些量只有大小而無方向。如圖2，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A′，這時(shí)點(diǎn)A′相對(duì)于點(diǎn)A的位置是“北偏東30°，3個(gè)單位”．從兩個(gè)不同點(diǎn)出發(fā)的位移，只要方向相同，距離相等，我們都把它們看成相同的位移或相等的位移．一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B′(圖2)，如果點(diǎn)B′相對(duì)于點(diǎn)B的位置也是“北偏東30°,3個(gè)單位"，這時(shí)我們說這個(gè)位移與點(diǎn)A到A′的位移相等．我們?cè)谏象w育課時(shí)，教師下達(dá)口令“向前三步走”，全班同學(xué)都進(jìn)行了同一個(gè)位移．圖2鋪墊已經(jīng)完成，至此時(shí)機(jī)成熟，教師恰時(shí)恰點(diǎn)地引導(dǎo)學(xué)生思考：在現(xiàn)實(shí)世界中，像位移、速度、力等既有大小，又有方向的量是很多的，我們能否在數(shù)學(xué)學(xué)科中對(duì)這些量加以抽象，形成一種新的量？由此引入本章重要概念—-向量．在數(shù)學(xué)中，我們把這種既有大小，又有方向的量統(tǒng)稱為向量．討論結(jié)果：(1）～(3)略．向量的概念，用向量表示點(diǎn)的位置eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出問題）)1在數(shù)學(xué)中，怎樣表示向量呢？2什么叫有向線段？有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？它們可以分別可以表示向量的什么？3怎樣定義零向量？怎樣定義單位向量?4滿足什么條件的兩個(gè)向量叫作相等向量？5有一組向量,它們的方向相同或相反，這組向量有什么關(guān)系?怎樣定義平行向量？6如果把一組平行向量的起點(diǎn)全部移到一點(diǎn)O，它們是不是平行向量?這時(shí)各向量的終點(diǎn)之間有什么關(guān)系?7什么是向量的模？，8怎樣用向量表示點(diǎn)的位置？活動(dòng)：在物理學(xué)中,表示位移最簡(jiǎn)單的方法，是用一條帶箭頭的線段，箭頭的方向表示位移的方向，線段的長(zhǎng)度表示位移的大小．速度和力也是用這種方法表示的，箭頭的方向分別表示速度和力的方向，線段長(zhǎng)度分別表示速度和力的大?。@種帶箭頭的線段，在數(shù)學(xué)中叫作“有向線段”．一般地，若規(guī)定線段AB的端點(diǎn)A為起點(diǎn)，端點(diǎn)B為終點(diǎn)，則線段AB就具有了從起點(diǎn)A到終點(diǎn)B的方向和長(zhǎng)度．這種具有方向和長(zhǎng)度的線段叫作有向線段(如圖3)，記作eq\o(AB，\s\up6（→))，線段AB的長(zhǎng)度也叫作有向線段eq\o（AB，\s\up6（→)）的長(zhǎng)度，記作｜eq\o（AB,\s\up6（→））|。有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．知道了有向線段的起點(diǎn)、方向和長(zhǎng)度，它的終點(diǎn)就唯一確定．圖3向量可以用有向線段來表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．向量也可以用黑體小寫字母如a，b，c表示．一定要學(xué)生規(guī)范：印刷用黑體a，手寫一定要在小寫字母上加箭頭．要注意不能說“向量就是有向線段，有向線段就是向量”,有向線段只是向量的一種幾何表示，二者有本質(zhì)的區(qū)別．向量只由方向和大小決定，而與向量的起點(diǎn)的位置無關(guān),但有向線段不僅與方向、長(zhǎng)度有關(guān)，也與起點(diǎn)的位置有關(guān)．如圖3，在線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)中，規(guī)定一個(gè)順序,假設(shè)A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，我們就說線段AB具有方向，具有方向的線段叫作有向線段，通常在有向線段的終點(diǎn)處畫上箭頭表示它的方向．以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作eq\o（AB,\s\up6（→)).起點(diǎn)要寫在終點(diǎn)的前面，即是說eq\o（AB，\s\up6(→）)的方向是由點(diǎn)A指向點(diǎn)B，點(diǎn)A是向量的起點(diǎn)．如圖4，關(guān)于向量的長(zhǎng)度，這是向量的一個(gè)重要概念；向量eq\o(AB,\s\up6(→）)（或a）的大小,就是向量eq\o(AB,\s\up6（→））（或a）的長(zhǎng)度（或稱模），記作｜eq\o(AB，\s\up6(→))｜(或|a|）．圖4教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)量與向量的模進(jìn)行比較,以明確向量的意義．?dāng)?shù)量有大小而沒有方向，其大小有正、負(fù)和0之分，可進(jìn)行運(yùn)算，并可比較大??；向量的模是正數(shù)或0，也可以比較大?。蛄烤哂蟹较颍捎诜较虿荒鼙容^大小,向量也就不能比較大小，像a〉b就沒有意義，而｜a｜〉|b|就有意義．理解了以上向量概念，那么關(guān)于向量相等和向量平行就很容易理解了,教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材即可．討論結(jié)果：(1)用字母a,b,c，…表示向量(印刷用粗黑體表示)，手寫用字母加箭頭來表示，或用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示,如eq\o(AB，\s\up6（→))，eq\o(CD,\s\up6（→)）。注意：手寫體上面的箭頭一定不能漏寫．（2)有向線段:具有方向的線段就叫作有向線段，三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.向量與有向線段的區(qū)別:向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量；有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段．（3）長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作0,規(guī)定零向量的方向是任意的．長(zhǎng)度為單位1的向量,叫單位向量.但要注意，零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.(4)同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量，或相等的向量．在圖5中,有向線段eq\o(AA′,\s\up6(→))，eq\o（BB′,\s\up6(→))，eq\o(CC′,\s\up6(→））…都表示同一向量a，這時(shí)可記作圖5eq\o(AA′，\s\up6（→）)＝eq\o(BB′,\s\up6（→)）＝eq\o（CC′，\s\up6（→））＝…＝a.一個(gè)平面向量的直觀形象是平面上“同向且等長(zhǎng)的有向線段的集合”．（5）關(guān)于平行向量的定義:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二，我們規(guī)定0與任一向量a平行，即0∥a.綜合第一、第二才是平行向量的完整定義．向量a，b，c平行，記作a∥b∥c.又如圖6，a，b，c是一組平行向量，任作一條與a所在直線平行的直線l,在l上任取一點(diǎn)O,則可在l上分別作出eq\o（OA，\s\up6(→)）＝a,eq\o(OB，\s\up6（→））＝b，eq\o(OC，\s\up6（→))＝c.這就是說，任一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，因此，平行向量也叫做共線向量．這里教師要提醒學(xué)生注意：平行向量可以在同一直線上,要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系．圖6(6)共線向量,也就是平行向量．但要注意,平行向量就是共線向量，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上(與有向線段的起點(diǎn)無關(guān))．平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行,要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系。（7)｜eq\o(AB，\s\up6(→))｜(或|a｜表示向量eq\o(AB,\s\up6(→））（或a）的大小，即長(zhǎng)度（為模））．教師進(jìn)一步提醒學(xué)生注意方向的問題．方向是大家非常熟知的概念，上面我們沒有給它更多的描述，在一個(gè)平面內(nèi)，方向“從西到東”，可以在該平面內(nèi)任畫一條“從左到右”的直線，再給出一個(gè)向東的指向來表示，從不同點(diǎn)畫出具有同一方向的直線互相平行．由此可見，“方向"和“平行”有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系．我們?cè)谟糜邢蚓€段表示向量時(shí)，用箭頭標(biāo)出的方向,也就是以有向線段的始點(diǎn)為始點(diǎn)指向終點(diǎn)的射線方向．（8)任給一定點(diǎn)O和向量a(圖7），過點(diǎn)O作有向線段eq\o(OA，\s\up6(→））＝a，則點(diǎn)A相對(duì)于點(diǎn)O的位置被向量a所唯一確定，這時(shí)向量eq\o(OA，\s\up6(→）），又常叫做點(diǎn)A相對(duì)于點(diǎn)O的位置向量．圖7例如,在談到天津相對(duì)于北京的位置時(shí)(圖8)，我們說，“天津位于北京東偏南50°，114km”．如圖8，點(diǎn)O表示北京的位置，點(diǎn)A表示天津的位置，那么向量圖8eq\o(OA，\s\up6（→)）＝“東偏南50°，114km"就表示了天津相對(duì)于北京的位置．有了向量概念，我們就可以利用向量確定一點(diǎn)相對(duì)于另一點(diǎn)的位置．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例））例1如圖9，D,E，F(xiàn)依次是等邊△ABC的邊AB,BC，AC的中點(diǎn)．在以A，B,C，D，E，F(xiàn)為起點(diǎn)或終點(diǎn)的向量中，圖9(1）找出與向量eq\o(DE，\s\up6（→)）相等的向量；（2)找出與向量eq\o(DF，\s\up6（→）)共線的向量．活動(dòng)：本例安排的目的是讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉向量的概念，屬于基礎(chǔ)練習(xí)，需要用到初中所學(xué)平面幾何的相關(guān)知識(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生回憶相關(guān)知識(shí)后，可讓學(xué)生充分討論合作解決．解：由初中所學(xué)三角形中位線定理不難得到：（1）在以A,B,C，D，E，F(xiàn)為起點(diǎn)或終點(diǎn)的向量中,與向量eq\o(DE,\s\up6（→)）相等的向量有：eq\o(AF,\s\up6（→）)和eq\o(FC，\s\up6(→））；(2）在以A,B，C，D，E，F(xiàn)為起點(diǎn)或終點(diǎn)的向量中,與向量eq\o（DF,\s\up6(→））共線的向量有：eq\o（BE,\s\up6（→)），eq\o（EB,\s\up6（→)),eq\o（EC，\s\up6（→）),eq\o(CE，\s\up6（→)),eq\o（BC，\s\up6(→)），eq\o(CB,\s\up6（→）），eq\o(FD,\s\up6（→))。變式訓(xùn)練判斷下列命題是否正確，若不正確，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由．(1)ABCD中，eq\o（AB,\s\up6（→））與eq\o(CD,\s\up6（→）)是共線向量;（2）單位向量都相等．解：（1）正確；(2）不正確．點(diǎn)評(píng)：本題考查基本概念，對(duì)于單位向量、共線向量的概念特征及相互關(guān)系必須把握好。教師引導(dǎo)學(xué)生畫出平行四邊形，如圖10。因?yàn)锳B∥CD，所以，eq\o(AB,\s\up6（→））∥eq\o（CD，\s\up6（→）).由于上面已經(jīng)明確，單位向量只限制了大小，方向不確定，所以單位向量不一定相等，即單位向量模均相等且為1，但方向不確定。圖10例2一個(gè)人從A點(diǎn)出發(fā)沿東北方向走了100m到達(dá)B點(diǎn),然后改變方向，沿南偏東15°方向又走了100m到達(dá)C點(diǎn),求此人從C點(diǎn)走回A點(diǎn)的位移.解:根據(jù)題意畫出示意圖,如圖11所示．圖11|eq\o（AB,\s\up6(→））｜＝100m，｜eq\o(BC,\s\up6（→））｜＝100m,∠ABC＝45°＋15°＝60°，∴△ABC為正三角形．∴|eq\o（CA,\s\up6(→))|＝100m，即此人從C點(diǎn)返回A點(diǎn)所走的路程為100m.∵∠BAC＝60°，∴∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝15°，即此人行走的方向?yàn)槲髌?5°.例3如圖12，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與eq\o(OA,\s\up6（→))、eq\o(OB，\s\up6（→)）、eq\o（OC,\s\up6（→））相等的量．圖12活動(dòng):本例是結(jié)合正六邊形的一些幾何性質(zhì)，讓學(xué)生鞏固相等向量和平行向量的概念，正六邊形是邊長(zhǎng)等于半徑并且對(duì)邊互相平行的正多邊形，它既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，具有豐富的幾何性質(zhì)．解:eq\o(OA,\s\up6(→)）＝eq\o（CB,\s\up6（→))＝eq\o(DO，\s\up6(→）)；eq\o（OB，\s\up6（→)）＝eq\o(DC，\s\up6(→）)＝eq\o（EO，\s\up6(→))；eq\o（OC,\s\up6（→））＝eq\o(AB，\s\up6（→)）＝eq\o(ED，\s\up6（→））＝eq\o(FO,\s\up6（→))。點(diǎn)評(píng):向量相等是一個(gè)重要的概念，今后經(jīng)常用到．讓學(xué)生在訓(xùn)練中明確，向量相等不僅大小相等,還要方向相同．變式訓(xùn)練（演示課件）1．本例變式一：與向量eq\o(OA，\s\up6（→))長(zhǎng)度相等的向量有多少個(gè)？（11個(gè)）本例變式二:是否存在與向量eq\o(OA,\s\up6（→)）長(zhǎng)度相等、方向相反的向量？（存在）本例變式三：與向量eq\o（OA，\s\up6(→)）共線的向量還有哪些？（eq\o（BC,\s\up6(→)）,eq\o（OD，\s\up6(→))，eq\o（EF,\s\up6（→))，eq\o(FE,\s\up6(→））)2．對(duì)命題“a∥b，b∥c推出a∥c”，關(guān)于真假問題,甲、乙兩個(gè)學(xué)生的判斷如下：甲生判斷是真命題．理由是：由a∥b可知a與b的方向相同或相反，由b∥c可知c與b的方向相同或相反，從而有a與c的方向相同或相反，故a∥c，即原命題為真命題;乙生判斷是假命題．理由是：當(dāng)兩個(gè)非零向量a，c不平行,而b＝0時(shí)，顯然a∥b且b∥c,但不能推出a∥c,故此時(shí)結(jié)論不成立，即原命題為假命題．究竟甲、乙兩生誰(shuí)的判斷正確呢？請(qǐng)給以分析．解：乙的判斷正確．由于存在“零向量與任一向量都平行”這一特殊結(jié)論，所以在平行向量中應(yīng)弄清是否有零向量存在．甲生沒有考慮到向量b可能為零向量的情況，故甲生的判斷是錯(cuò)誤的；乙生的判斷完全正確．這說明向量平行的傳遞性若要成立，則“過渡”向量b需不為零向量，即在b≠0時(shí)有：(1)當(dāng)a≠0，b≠0時(shí)，由a∥b,b∥c可推出a∥c；（2）若a與c中有一個(gè)為0，則另一個(gè)向量無論是否為0,均可推出a∥c.例4(1)下列命題正確的是(）A．a(chǎn)與b共線，b與c共線，則a與c也共線B．任意兩個(gè)相等的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)C．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行活動(dòng)：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確．由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn),所以B不正確．向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無關(guān)，所以D不正確．對(duì)于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮,假若a與b不都是非零向量，即a與b至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有a與b共線，所以有a與b都是非零向量，所以只有C正確．答案:C點(diǎn)評(píng)：對(duì)于有關(guān)向量基本概念的考查，可以從概念特征入手，也可以從反面進(jìn)行考慮．要判斷一個(gè)結(jié)論不正確，只需舉一個(gè)反例即可．要啟發(fā)學(xué)生注意正反這兩方面的結(jié)合．變式訓(xùn)練1.判斷：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定)(2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3)與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）(4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量)（5)若兩個(gè)向量在同一直線上,則這兩個(gè)向量一定是什么向量？（平行向量）(6）兩個(gè)非零向量相等當(dāng)且僅當(dāng)什么？(長(zhǎng)度相等且方向相同)(7）共線向量一定在同一直線上嗎？(不一定)2．把一切單位向量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)，那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是（）A．一條線段B．一段圓弧C．兩個(gè)點(diǎn)D．一個(gè)圓3．將平行于一直線的所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一始點(diǎn),則這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是(）A．一個(gè)點(diǎn)B．兩個(gè)點(diǎn)C．一個(gè)圓D．一條線段答案：1.略2.D3.Beq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)））1．先由學(xué)生回顧本節(jié)都學(xué)了哪些概念：向量，向量的兩種表示,特別是對(duì)向量的手寫要標(biāo)上箭頭，圖示上要標(biāo)上箭頭和始點(diǎn)、終點(diǎn),零向量、單位向量、平行向量、相等向量等概念,明了平行向量不是平面幾何中的平行線段的簡(jiǎn)單類比．2．再由教師簡(jiǎn)要總結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了向量、向量的兩種表示方法及向量的有關(guān)概念：如向量的模、平行向量、共線向量、相等向量等重要概念，這些概念是我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)后續(xù)課程的基礎(chǔ)，必須要在理解的基礎(chǔ)上把握好．3．點(diǎn)撥學(xué)生要領(lǐng)悟我們是如何從大量的實(shí)際背景中獲得這些數(shù)學(xué)概念的方法，本節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)或許將來會(huì)忘掉或全部忘掉，但是我們探究這些知識(shí)的方法卻會(huì)伴隨我們一生，永遠(yuǎn)不會(huì)忘掉，使我們終生受益．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè))）如圖13，在梯形ABCD中，AB∥CD，AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，O是AC與BD的交點(diǎn),求證:eq\o(EO,\s\up6（→))＝eq\o（OF,\s\up6(→)）.證明:如圖13，∵AB∥CD,圖13∴AO∶OC＝BO∶OD＝AB∶CD.又AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，∴AE∶ED＝AO∶OC.∴EO∥DC.同理，OF∥DC，∴E，O，F(xiàn)在同一直線上．∴eq\f（EO，DC)＝eq\f(AE，AD）＝eq\f(BF，BC）＝eq\f(OF,DC）?！郋O＝OF，即｜eq\o（EO,\s\up6(→))|＝｜eq\o(OF，\s\up6（→））|。又eq\o(EO,\s\up6（→)）與eq\o（OF，\s\up6(→））方向相同,∴eq\o(EO，\s\up6(→))＝eq\o（OF,\s\up6（→)）.eq\o(\s\up7(),\s\do5（設(shè)計(jì)感想))1．本節(jié)是平面向量的第一節(jié)，對(duì)向量概念的理解無疑是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)．本節(jié)教案的設(shè)計(jì)總思路是：把學(xué)生劃分小組合作討論學(xué)習(xí),經(jīng)過小組成員們的合作探究,對(duì)平面向量的基本概念，和基本解題方法有個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，學(xué)生有很多的成功之處或收獲．對(duì)失敗或教訓(xùn)之處可能是對(duì)一些概念性問題沒有深入研究，導(dǎo)致解題存在困難，不過這些會(huì)通過學(xué)習(xí)的深入彌補(bǔ)上來的．2．本教案設(shè)計(jì)充分利用向量的物理背景．作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)重要標(biāo)志之一的向量引入中學(xué)數(shù)學(xué)以后，給中學(xué)數(shù)學(xué)帶來無限生機(jī)．通過本節(jié)大量物理背景實(shí)例的鋪墊及數(shù)學(xué)問題的解決,讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)在生活中的重要作用，并在實(shí)際課堂教學(xué)中規(guī)范學(xué)生的習(xí)慣，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎剂?xí)慣和行為習(xí)慣，為后面學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)．3．本教案設(shè)計(jì)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)新課標(biāo)理念，設(shè)計(jì)的教學(xué)方法主要是讓學(xué)生自主探究,呈現(xiàn)“現(xiàn)實(shí)情境—數(shù)學(xué)模型—應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)問題”的特點(diǎn),讓學(xué)生通過觀察、分析、歸納、驗(yàn)證，培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)探究的積極精神，讓學(xué)生初步感受到向量確實(shí)生動(dòng)有趣,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的很好題材．eq\o（\s\up7(）,\s\do5(備課資料））一、向量中有關(guān)概念的辨析1．?dāng)?shù)量、向量、有向線段對(duì)這幾個(gè)概念的理解容易出現(xiàn)概念不清的問題．?dāng)?shù)量只有大小,沒有方向，其大小可以用實(shí)數(shù)來表示，它是一個(gè)代數(shù)量,數(shù)量之間可以比較大小;向量既有大小又有方向，向量之間不可以比較大小;有向線段是向量的直觀性表示，不能說向量就是有向線段．2．平行向量、共線向量、相等向量平行向量也叫共線向量,故平行向量與共線向量沒有區(qū)別,而相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量，即平行向量是相等向量的必要條件而非充分條件．二、備用習(xí)題1．若正多邊形有n條邊,它們對(duì)應(yīng)的向量依次為a1，a2，…an，則這n個(gè)向量()A．都相等B．都共線C．都不共線D．模都相等2．如圖14所示,在△ABC中,DE∥BC，則其中共線向量有…()圖14A．一組B．二組C．三組