廣東省陽江市江城區(qū)2024屆九年級(jí)下學(xué)期中考一模數(shù)學(xué)試卷(含答案)

2024年廣東省陽江市江城區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（3分）下列實(shí)數(shù)中，最大的是（）A． B． C．0 D．|﹣3|答案：D．2．（3分）剪紙文化是我國最古老的民間藝術(shù)之一．下列剪紙圖案中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．答案：A．3．（3分）機(jī)器人的研發(fā)是當(dāng)今時(shí)代研究的重點(diǎn)．中國科學(xué)院寧波材料技術(shù)與工程研究所研發(fā)的新型DNA工業(yè)納米機(jī)器人，其大小僅約100納米．已知1納米＝10?9米，則100納米用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．1×10?7米 B．1×10?8米 C．﹣1×107米 D．1×10?11米答案：A．4．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)3?a6＝a18 B．（﹣2a）3＝﹣8a3 C．a(chǎn)8÷a4＝a2 D．（a﹣1）2＝a2﹣1答案：B．5．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，將A（3，﹣1）先向左平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后得到點(diǎn)A，則A的坐標(biāo)是（）A．（6，1） B．（0，1） C．（0，﹣3） D．（6，﹣3）答案：B．6．（3分）下列圖形中不是正方體的表面展開圖的是（）A． B． C． D．答案：B．7．（3分）若扇形的半徑為3，圓心角為60°，則此扇形的弧長是（）A．π B．π C．π D．2π答案：B．8．（3分）小聰利用最近學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，給同伴出了這樣一道題：假如從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線走6米后向左轉(zhuǎn)θ，接著沿直線前進(jìn)6米后，再向左轉(zhuǎn)θ……如此下去，當(dāng)他第一次回到A點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己走了72米，θ的度數(shù)為（）A．30° B．36° C．60° D．72°答案：A．9．（3分）已知x2+2x﹣2＝0，計(jì)算的值是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．答案：A．10．（3分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在DC上，將矩形沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，若AB＝6，BC＝10，則tan∠EAF的值為（）A． B． C． D．答案：D．二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分。11．（3分）請(qǐng)寫出一個(gè)y隨x的增大而增大的一次函數(shù)的表達(dá)式：答案不唯一，如y＝x．12．（3分）如圖，在一束平行光線中插入一張對(duì)邊平行的紙板．如果圖中∠1是70°，那么∠2的度數(shù)是110°．13．（3分）已知a+b＝5，ab＝4，則多項(xiàng)式a2b+ab2的值為20．14．（3分）某地為了解決市民看病貴的問題，決定下調(diào)藥品的價(jià)格，某種藥品經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后，由每盒200元下調(diào)至162元．若這種藥品平均每次降價(jià)的百分率為x，則可列得方程為200（1﹣x）2＝162．【分析】設(shè)這種藥品平均每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)該藥品的原價(jià)及經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，連接MN，與AC，AB分別交于點(diǎn)D，E．連接BD．若∠A＝15°，BD＝2，則△ADB的面積為1．16．（3分）如圖，點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），以點(diǎn)M為圓心，MA為半徑作⊙M，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，點(diǎn)C是⊙M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BC，AC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，連接OD，則線段OD的最大值為．三、解答題（一）：本大題共3小題，第17題10分，第18、19題各7分，共24分．17．（10分）（1）計(jì)算：；（2）解不等式組．解：（1）原式＝1+4﹣2＝3；（2），解不等式①得：x＞1；解不等式②得：x＜2；∴不等式組的解集為1＜x＜2．18．（7分）某社區(qū)積極響應(yīng)正在開展的“創(chuàng)文活動(dòng)”，安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)對(duì)社區(qū)進(jìn)行綠化改造．已知甲工程隊(duì)每天能完成的綠化改造面積是乙工程隊(duì)每天能完成的綠化改造面積的2倍，并且甲工程隊(duì)完成400平方米的綠化改造比乙工程隊(duì)完成400平方米的綠化改造少用4天．分別求甲、乙兩工程隊(duì)每天能完成綠化改造的面積．解：設(shè)乙工程隊(duì)每天能完成的綠化改造面積是x平方米，則甲工程隊(duì)每天能完成的綠化改造面積是2x平方米，根據(jù)題意得：，解得：x＝50．經(jīng)檢驗(yàn)x＝50是所列方程的解，且符合題目要求，此時(shí)2x＝100，答：甲、乙兩工程隊(duì)每天能完成的綠化改造面積分別是100平方米和50平方米．19．（7分）已知某蓄電池的電壓為定值，使用該蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．（1）求出這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；（2）如果以此蓄電池為電的用電器限制電流不能超過10A，求出用電器可變電阻應(yīng)控制在什么范圍．解：（1）電流I是電阻R的反比例函數(shù)，設(shè)I＝，∵圖象經(jīng)過（8，6），∴1.8＝6＝，解得：k＝8×6＝48，∴這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為I＝；（2）∵I≤3，I＝，∴≤10，∴R≥4.8，即用電器可變電阻應(yīng)控制在4.8歐以上的范圍內(nèi)．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題8分，共24分．20．（8分）為提高學(xué)生的國家安全意識(shí)，某校九年級(jí)舉行了國家安全知識(shí)競賽活動(dòng)．現(xiàn)從參賽學(xué)生中分別隨機(jī)抽取15名男生和15名女生的競賽成績作為樣本，對(duì)樣本競賽成績（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析（競賽成績用x表示，共分成4個(gè)組，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖表．其中女生樣本成績在C組中的數(shù)據(jù)為85，88，87．男、女生樣本成績對(duì)比統(tǒng)計(jì)表統(tǒng)計(jì)量平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)男生888999女生88a98（1）填空：a＝87，b＝20；（2）若被抽取的15名女生中有且只有1人得最低分，學(xué)校準(zhǔn)備從樣本成績?yōu)?0分以下的女生中抽取2人談話，用列表法或畫樹狀圖的方法計(jì)算得分最低的女生被抽到的概率．解：（1）由題意得，b%＝3÷15×100%＝20%，∴b＝20．女生樣本成績在D組的人數(shù)為15×40%＝6（人），將15名女生樣本成績按照從大到小的順序排列，排在第8名的成績?yōu)?7，∴a＝87．故答案為：87；20．（2）女生樣本成績在A組的人數(shù)為15×（1﹣20%﹣20%﹣40%）＝3（人），將這3名女生按分?jǐn)?shù)從大到小分別記為A，B，C，列表如下：ABCA（A，B）（A，C）B（B，A）（B，C）C（C，A）（C，B）共有6種等可能的結(jié)果，其中得分最低的女生被抽到的結(jié)果有：（A，C），（B，C），（C，A），（C，B），共4種，∴得分最低的女生被抽到的概率為＝．21．（8分）如圖，在△ABC中，O是邊AD上的一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OD的長為半徑，⊙O恰好與邊AB相切于點(diǎn)B，與邊AD交于點(diǎn)C，連接BC．（1）求證：△ABC∽△ADB．（2）若AB＝5，AC＝3，求⊙O的半徑．（1）證明：連接OB，∵AB與圓相切于B，∴OB⊥AB，∴∠ABC+∠CBO＝90°，∵CD是圓的直徑，∴∠CBD＝90°，∴∠D+∠OCB＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠D＝∠ABC，∵∠CAB＝∠BAD，∴△ABC∽△ADB．（2）解：∵△ABC∽△ADB，∴AB：AD＝AC：AB，∵AB＝5，AC＝3，∴5：AD＝3：5，∴AD＝，∴CD＝AD﹣AC＝，∴⊙O的半徑是CD＝．22．（8分）圖1是安裝在傾斜屋頂上的熱水器，圖2是安裝熱水器的側(cè)面示意圖．已知屋面AE的傾斜角∠EAD為22°，長為3米的真空管AB與水平線AD的夾角為37°，安裝熱水器的鐵架豎直管CE的長度為0.5米．（1）真空管上端B到水平線AD的距離．（2）求安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4）解：（1）過B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，sin∠BAF＝，則BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈3×＝1.8（米）．答：真空管上端B到AD的距離約為1.8米；（2）在Rt△ABF中，cos∠BAF＝，則AF＝ABcos∠BAF＝3×cos37°≈2.4（米），∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD，∴四邊形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD﹣CE＝1.3米，在Rt△EAD中，tan∠EAD＝，則AD＝≈＝3.25（米），∴BC＝DF＝AD﹣AF＝3.25﹣2.4≈0.9（米），答：安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長度約為0.9米．五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分．23．（12分）如圖1，在邊長為5的正方形ABCD中，點(diǎn)E是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，以AE為邊在直線AE右側(cè)作正方形AEFG．（1）如圖1，若EF與CD交于點(diǎn)H，且∠EHD＝125°，求∠BAG的度數(shù)；（2）連接DG，求證：C、D、G三點(diǎn)共線；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是線段BC中點(diǎn)，連接CF，求線段CF的長．（1）解：∵四邊形AEFG是正方形，∴∠AEF＝∠EAG＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠DAE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEH﹣∠EHD＝360°﹣90°﹣90°﹣125°＝55°，∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，∴∠BAG＝∠EAG+∠BAE＝90°+35°＝125°；（2）證明：連接DG，∵四邊形ABCD，AEFG都是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∠B＝∠ADC＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴∠B＝∠ADG＝90°，∴∠ADC+∠ADG＝180°，∴C、D、G三點(diǎn)共線；（3）解：過點(diǎn)F作FK⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)K，連接CF，則∠EKF＝90°，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，∴AE＝EF，∠B＝∠AEF＝90°，∴∠B＝∠EKF，∵∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠FEK＝90°，∴∠BAE＝∠FEK，∴△AEB≌△EFK（AAS），∴BE＝FK，AB＝EK＝5，∵點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，∴BE＝EC＝×5＝，∴FK＝CK＝，∵∠CKF＝90°，∴△CFK是等腰直角三角形，∴CF＝FK＝．24．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，求出△PBC的最大面積及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以BC為邊，點(diǎn)B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）由題意得，拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），則﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；（2）由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，如圖，過點(diǎn)P作y軸的平行線交CB于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2+2x+3），則點(diǎn)H（x，﹣x+3），則△PBC的面積＝S△PHC+S△PHB＝PH×OB＝（﹣x2+2x+x﹣3）＝﹣（x﹣）2+≤，即△PBC的面積的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P（，）；（3）存在，理由：∵B（3，0），C（0，3），∴拋物線的解析