2024-2025學(xué)年福建省莆田八中高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年福建省莆田八中高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.給出下列說(shuō)法，其中不正確的是(

)A.若a,b是單位向量，且a,b共線，則a=b

B.若OA+OD=OB+OC，則A，B，C，D四點(diǎn)共面

C.若2PC2.設(shè)x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,?4,2)，且a⊥c，b//A.?1 B.1 C.2 D.33.在四面體ABCD中，點(diǎn)F在AD上，且AF=2FD，E為BC中點(diǎn)，則EF等于(

)A.EF=12AC+12AB?4.已知向量e1，e2，e3是兩兩垂直的單位向量，且a=3e1+2eA.15 B.3 C.?3 D.55.已知a=(2,?1,3)，b=(?1,4,?2)，c=(3,2,λ)，若a,b,A.2 B.3 C.4 D.56.若點(diǎn)P(a,b)與Q(b?1,a+1)關(guān)于直線l對(duì)稱，則l的傾斜角為(

)A.135° B.45° C.30° D.60°7.在棱長(zhǎng)為2的正四面體A?BCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，G是△BCD的重心，則下列結(jié)論不正確的是(

)A.AB?CD=0 B.AB?EF=2

C.EF在8.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是線段BD，B1C上的動(dòng)點(diǎn)(A.異面直線NC1與直線MC所成的角的大小

B.平面MD1B1與平面NA1D所成的角的大小

C.直線ND1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.以下命題正確的是(

)A.已知空間向量a=(1,0,1)，b=(2,?1,2)，則向量a在向量b上的投影向量的坐標(biāo)是(83,?43,83)

B.若A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，若OP=25OA+15OB+25OC，則P，A，B，C四點(diǎn)共面

C.已知a=(?1,1,2)10.已知直線l的一個(gè)方向向量為u=(?36,12)A.l的傾斜角等于150° B.l在x軸上的截距等于233

C.l與直線3x?3y+2=0垂直 11.如圖，P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E為棱A1B1A.OE⊥平面A1BC1

B.AB與平面A1BC1所成角的余弦值為33

C.若點(diǎn)P在各棱上，且到平面A1BC1的距離為36，則滿足條件的點(diǎn)P有9個(gè)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若直線l的一個(gè)方向向量d=(1,3)，則l與直線x?y+1=0的夾角為13.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1∠BAD=π2，∠BAA1=∠DA14.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，M，N，G分別是棱AA1，BC，A1D四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：

(1)斜率是3，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,3)；

(2)斜率為4，且在y軸上的截距為?2；

(3)經(jīng)過(guò)A(?1,5)，B(2,?1)兩點(diǎn)；

(4)在x軸、y軸上的截距分別為?3，?1；

(5)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4,2)，且平行于x軸．16.(本小題15分)

在四棱錐P?ABCD中.底面為矩形ABCD，且AD=3，CD=4.PD⊥平面ABCD，PD=1.M為AB中點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)P到直線AC的距離；

(2)求異面直線AC，PM所成角的余弦值．17.(本小題15分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，CC1=2，D，E分別是線段AC，CC1的中點(diǎn)，C1在平面ABC內(nèi)的射影為D．

(1)求證：A1C⊥平面BDE；

(2)若點(diǎn)F為棱B1C1的中點(diǎn)，求點(diǎn)F到平面BDE18.(本小題17分)

已知直線l過(guò)點(diǎn)A(4,1)．

(1)若直線l在x軸上的截距是在y軸上的截距的12倍，求直線l的方程；

(2)已知△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)為A，AB邊上的中線CM所在的直線方程為x?2y+2=0，AC邊上的高BH所在的直線方程為2x+3y?2=0.求BC所在直線的方程．19.(本小題17分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面為菱形，∠ABC=π3，AB=AP=2，PA上底面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段PB，PD的中點(diǎn)，G是線段PC上的一點(diǎn)．

(1)若CD/?/平面EFG，求證：G為PC的中點(diǎn)；

(2)若G是直線PC與平面AEF的交點(diǎn)，試確定PGCG的值；

(3)若直線AG與平面AEF所成角的正弦值為35，求三棱錐

參考答案1.A

2.A

3.B

4.B

5.C

6.B

7.D

8.A

9.BCD

10.CD

11.AC

12.15°

13.8514.123

15.解：(1)直線斜率是3，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,3)，

則直線的方程為y?3=3(x?5)，

故直線的一般式方程為3x?y?53+3=0．

(2)直線的斜率為4，且在y軸上的截距為?2，

則直線的方程為y=4x?2，

故直線的一般式方程為4x?y?2=0．

(3)直線經(jīng)過(guò)A(?1,5)，B(2,?1)兩點(diǎn)，

則kAB=5?(?1)?1?2=?2，

所求直線方程為y?5=?2(x+1)，即2x+y?3=0．

(4)直線在x軸、y軸上的截距分別為?3，?1，

則x?3+y?1=1，即x+3y+3=016.解：(1)因?yàn)锳BCD為矩形，所以AD⊥DC，

又因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AD，DC?平面ABCD，

所以PD⊥AD，PD⊥DC，

所以分別以DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)锳D=3，CD=4，PD=1，

所以A(3,0,0)，D(0,0,0)，P(0,0,1)，C(0,4,0)，M(3,2,0)，

所以AC=(?3,4,0),AP=(?3,0,1)，

則有cos<AC,AP>=AC?AP|AC|?|AP|=99+16+0×9+0+1=9510=91017.解：(1)證明：連接AC1，

因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，D為AC的中點(diǎn)，

所以BD⊥AC，

又C1D⊥面ABC，BD?面ABC，

所以C1D⊥BD，

因?yàn)锳C∩C1D=D，AC，C1D?面AA1C1C，

所以BD⊥面AA1C1C，

又A1C?面AA1C1C，

所以BD⊥A1C，

由題設(shè)四邊形AA1C1C為菱形，

所以A1C⊥AC1，

因?yàn)镈，E分別為AC，CC1的中點(diǎn)，

所以DE/?/AC1，

所以A1C⊥DE，

因?yàn)锽D∩DE=D，BD∩DE=D，BD?面BDE，DE?面BDE，

所以A1C⊥面BDE．

(2)因?yàn)镃1D⊥面ABC，BD，AC?面ABC，

所以C1D⊥BD，C1D⊥AC，

又△ABC為等邊三角形，D為AC的中點(diǎn)，

所以BD⊥AC，

則以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB，DA，DC1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系：

則D(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,?1,0)，C1(0,0,3)，E(0,?12,32)，B1(3,1,3)，A1(0,2,3)，F(xiàn)(32,12,3)，

平面BDE的一個(gè)法向量m=CA1=(0,3,3)，DF=(32,12,3)，

所以點(diǎn)F18.解：(1)當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx，k≠0，

將A(4,1)代入得，4k=1，解得k=14，故直線l的方程為y=14x；

當(dāng)截距不為0時(shí)，因?yàn)橹本€l在x軸上的截距是在y軸上的截距的12倍，

所以設(shè)直線l的方程為xa+y2a=1，

將A(4,1)代入得4a+12a=1，解得a=92，故直線l的方程為2x+y?9=0，

所以直線l的方程為y=14x或2x+y?9=0；

(2)因?yàn)锳C⊥BH，高BH所在的直線方程為2x+3y?2=0，

所以設(shè)直線AC的方程為3x?2y+t=0，

將A(4,1)代入3x?2y+t=0得，12?2+t=0，解得t=?10，

故直線AC的方程為3x?2y?10=0，

聯(lián)立x?2y+2=03x?2y?10=0，解得x=6y=4，故C(6,4)，

設(shè)B(m,n)，因?yàn)锳(4,1)，則AB的中點(diǎn)M(m+42,n+12)，

M(m+419.解：(1)證明：∵CD//平面EFG，又CD?平面PCD，

且平面PCD∩平面EFG=FG，

∴CD/?/FG，又F為PD的中點(diǎn)，

∴G為PC的中點(diǎn)；

(2)取BC的中點(diǎn)M，連接AM，可得AM⊥AD，

分別以AM，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，

則A(0,0,0)，B(3,?1,0)，C(3,1,0)，

E(32,?12,1)，P(0,0,2)，F(xiàn)(0,1,1)，

設(shè)PG=λPC，PC=(3,1,?2)，

∴PG=(3λ,λ,?2λ)，

∴AG=