2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課后素養(yǎng)落實十五2.3.2圓的一般方程含解析新人教B版選擇性必修第一冊

PAGE課后素養(yǎng)落實(十五)圓的一般方程(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．圓的方程為(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，則圓心坐標為()A．(1，－1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))C．(－1，2) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1))D[將圓的方程化為標準方程，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y＋1)2＝eq\f(45,4)，所以圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1))．]2．方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示的圖形是()A．一個點B．一個圓C．一條直線D．不存在A[方程可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故方程表示點(1，－2)．]3．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圓過原點且圓心在直線y＝x上的條件是()A．D＝E＝0，F(xiàn)≠0 B．D＝F＝0，E≠0C．D＝E≠0，F(xiàn)≠0 D．D＝E≠0，F(xiàn)＝0D[∵圓過原點，∴F＝0，又圓心在y＝x上，∴D＝E≠0．]4．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋eq\f(1,2)m2＝0所確定的圓中，最大面積是()A．eq\f(\r(3),2)π B．eq\f(3,4)πC．3π D．不存在B[所給圓的半徑為r＝eq\f(\r(1＋m－12－2m2),2)＝eq\f(1,2)eq\r(－m＋12＋3)，所以當m＝－1時，半徑r取最大值eq\f(\r(3),2)，此時最大面積是eq\f(3,4)π．]5．若圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心位于第三象限，則直線x＋ay＋b＝0肯定不經(jīng)過()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限D(zhuǎn)[圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，－\f(3,2)b))在第三象限，則a＜0，b＞0．直線x＋ay＋b＝0的斜率k＝－eq\f(1,a)＞0，在x軸上的截距為－b＜0，故直線過一、二、三象限，故選D．]二、填空題6．若圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0關(guān)于直線Dx＋Ey＋2F＋8＝0對稱，則該圓的半徑為________．2[圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圓心坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，由題意有－eq\f(D2,2)－eq\f(E2,2)＋2F＋8＝0，則D2＋E2－4F＝16．∴圓的半徑為r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)＝eq\f(1,2)×4＝2．]7．已知圓C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a為實數(shù))上隨意一點關(guān)于直線l：x－y＋2＝0的對稱點都在圓C上，則a＝________．－2[由題意可得圓C的圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(a,2)))在直線x－y＋2＝0上，將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(a,2)))代入直線方程得－1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＋2＝0，解得a＝－2．]8．若直線l：ax＋by＋1＝0始終平分圓M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，則(a－2)2＋(b－2)2的最小值為________．5[由題意，得直線l恒過圓心M(－2，－1)，則－2a－b＋1＝0，則b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值為5．]三、解答題9．已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在其次象限，半徑為eq\r(2)，求圓的一般方程．[解]圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，因為圓心在直線x＋y－1＝0上，所以－eq\f(D,2)－eq\f(E,2)－1＝0，即D＋E＝－2，①又r＝eq\f(\r(D2＋E2－12),2)＝eq\r(2)，所以D2＋E2＝20，②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝2.))又圓心在其次象限，所以－eq\f(D,2)<0，即D>0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4，))所以圓的一般方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．10．已知關(guān)于x，y的方程為x2＋y2－2x－4y＋m＝0．(1)若此方程表示圓，求m的取值范圍；(2)若(1)中的圓與直線x＋2y－4＝0相交于M，N兩點，且OM⊥ON(O為坐標原點)，求m的值．[解](1)方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，整理得(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，由題意知5－m＞0，解得m＜5．(2)設(shè)直線x＋2y－4＝0與圓：x2＋y2－2x－4y＋m＝0的交點為M(x1，y1)，N(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4＝0，,x2＋y2－2x－4y＋m＝0，))整理得5y2－16y＋8＋m＝0，則y1＋y2＝eq\f(16,5)，y1y2＝eq\f(8＋m,5)，又OM⊥ON(O為坐標原點)，則x1x2＋y1y2＝0，x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，則(4－2y1)·(4－2y2)＋y1y2＝0，解得m＝eq\f(8,5)．故m的值為eq\f(8,5)．1．(多選題)已知圓M的一般方程為x2＋y2－8x＋6y＝0，則下列說法正確的是()A．圓M的圓心為(4，－3)B．圓M被x軸截得的弦長為8C．圓M的半徑為25D．圓M被y軸截得的弦長為6ABD[圓M的標準方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝25．圓的圓心坐標為(4，－3)，半徑為5，令x＝0，則y2＋6y＝0，∴|y1－y2|＝6；令y＝0，x2－8x＝0，|x1－x2|＝8．]2．已知點A(－1，1)和圓C：x2＋y2－10x－14y＋70＝0，一束光線從點A動身經(jīng)過x軸反射到圓周上的最短路程是()A．6B．8C．10D．12B[易知點A在圓C外，找出點A(－1，1)關(guān)于x軸的對稱點A′(－1，－1)，則最短路程為|CA′|－r．又圓的方程可化為(x－5)2＋(y－7)2＝4，則圓心C(5，7)，半徑r＝2，則|CA′|－r＝eq\r(5＋12＋7＋12)－2＝10－2＝8．故所求的最短路程為8．]3．若圓x2＋y2－4x＋2y＋m＝0與y軸交于A，B兩點，且∠ACB＝90°(其中C為已知圓的圓心)，則實數(shù)m＝________，圓的面積為________．－38π[設(shè)A(0，y1)，B(0，y2)，在圓方程中令x＝0得y2＋2y＋m＝0，y1，y2即為該方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系及判別式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－4m>0，,y1＋y2＝－2，,y1·y2＝m，))又由∠ACB＝90°，C(2，－1)，知kAC·kBC＝－1，即eq\f(y1＋1,－2)·eq\f(y2＋1,－2)＝－1，即y1y2＋(y1＋y2)＋1＝－4，代入上面的結(jié)果得m－2＋1＝－4，∴m＝－3，符合m<1的條件．r＝eq\f(1,2)eq\r(16＋4－4×－3)＝2eq\r(2)，∴圓的面積為πr2＝π×(2eq\r(2))2＝8π．]4．已知點A(－2，0)，B(0，2)，若點C是圓x2＋y2－2x＝0上的動點，則△ABC面積的最小值為________．3－eq\r(2)[如圖所示，△ABC的面積最小時，點C到直線AB的距離最短，該最短距離其實就是圓心到直線AB的距離減去圓的半徑．直線AB的方程為x－y＋2＝0，|AB|＝2eq\r(2)，x2＋y2－2x＝0可化為(x－1)2＋y2＝1，易知該圓的圓心為(1，0)，半徑為1，圓心(1，0)到直線AB的距離d＝eq\f(3,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，故△ABC面積的最小值為eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)－1))＝3－eq\r(2)．]在平面直角坐標系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的圖像與兩條坐標軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為C．(1)求實數(shù)b的取值范圍；(2)求圓C的方程；(3)圓C是否經(jīng)過某定點(其坐標與b無關(guān))？請證明你的結(jié)論．[解](1)明顯b≠0，否則二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b的圖像與兩坐標軸只有兩個交點(0，0)，(－2，0)，這與題設(shè)不符．由b≠0知，二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b的圖像與y軸有一個非原點的交點(0，b)，故它與x軸必有兩個交點，從而方程x2＋2x＋b＝0有兩個非零的不相等的實數(shù)根，因此方程的判別式4－4b＞0且b≠0，即b＜1且b≠0．所以b的取值范圍是(－∞，0)∪(0，1)．(2)由方程x2＋2x＋b＝0得x＝－1±eq\r(1－b)．于是二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b的圖像與坐標軸的交點是(－1－eq\r(1－b)，0)，(－1＋eq\r(1－b)，0)，(0，b)．設(shè)圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．因圓C過上述三點，將它們的坐標分別代入圓C的方程，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－\r(1－b)2＋D－1－\r(1－b)＋F＝0，,－1＋\r(1－b)2＋D－1＋\r(1－b)＋F＝0，,b2＋Eb＋F＝0.))解上述方程組，因b≠0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－b＋1，,F＝b.))所以圓C的方程為x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0．(3)圓C必過定點．證明如下：假設(shè)圓C過定點(x0，y0)(x0，y0不依靠于b)，將該點的坐標代入圓C的方程，并變形為xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al