2011費(fèi)馬點(diǎn)及拓展

費(fèi)馬點(diǎn)

王佳陽(yáng)七（三）作者介紹法國(guó)著名數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬曾提出關(guān)于三角形的一個(gè)有趣問(wèn)題：在三角形所在平面上，求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最?。藗兎Q這個(gè)點(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)”．這是一個(gè)歷史名題，近幾年仍有不少文獻(xiàn)對(duì)此介紹．

本文試以課本上的習(xí)題、例題為素材，根據(jù)初中學(xué)生的認(rèn)知水平，針對(duì)這個(gè)問(wèn)題擬定一則思維訓(xùn)練材料，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自己的思維和學(xué)習(xí)，初步了解這個(gè)問(wèn)題的產(chǎn)生、形成、推理和論證過(guò)程及應(yīng)用．

定義1.若三角形3個(gè)內(nèi)角均小于120°，那么3條距離連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角相等，均為120°。所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也稱為三角形的等角中心。（托里拆利的解法中對(duì)這個(gè)點(diǎn)的描述是：對(duì)于每一個(gè)角都小于120°的三角形ABC的每一條邊為底邊，向外作正三角形，然后作這三個(gè)正三角形的外接圓。托里拆利指出這三個(gè)外接圓會(huì)有一個(gè)共同的交點(diǎn)，而這個(gè)交點(diǎn)就是所要求的點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)和當(dāng)時(shí)已知的三角形特殊點(diǎn)都不一樣。這個(gè)點(diǎn)因此也叫做托里拆利點(diǎn)。）2.若三角形有一內(nèi)角大于等于120°，則此鈍角的頂點(diǎn)就是距離和最小的點(diǎn)。4費(fèi)馬點(diǎn)的證明三角形費(fèi)馬點(diǎn)如右圖，在△ABC中，P為其中任意一點(diǎn)。連接AP，BP，得到△ABP。以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△EBD∵旋轉(zhuǎn)60°，且BD=BP，∴△DBP為一個(gè)等邊三角形∴PB=PD因此，PA+PB+PC=DE+PD+PC由此可知當(dāng)E、D、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，為PA+PB+PC最小若E、D、P共線時(shí)，∵等邊△DBP∴∠EDB=120°同理，若D、P、C共線時(shí)，則∠CPB=120°∴P點(diǎn)為滿足∠APB=∠BPC=∠APC=120°的點(diǎn)四邊形費(fèi)馬點(diǎn)平面四邊形中費(fèi)馬點(diǎn)證明相對(duì)于三角形中較為簡(jiǎn)易，也較容易研究。（1）在凸四邊形ABCD中，費(fèi)馬點(diǎn)為兩對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)P。（2）在凹四邊形ABCD中，費(fèi)馬點(diǎn)為凹頂點(diǎn)D（P）。平面四邊形費(fèi)馬點(diǎn)證明圖形經(jīng)過(guò)上述的推導(dǎo)，我們即得出了三角形中費(fèi)馬點(diǎn)的找法：當(dāng)三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°的時(shí)候，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)；如果三個(gè)內(nèi)角都在120°以內(nèi)，那么，費(fèi)馬點(diǎn)就是使得費(fèi)馬點(diǎn)與三角形三頂點(diǎn)的連線兩兩夾角為120°的點(diǎn)。另一種更為簡(jiǎn)捷的證明：設(shè)O為三頂點(diǎn)連線最短點(diǎn)，以A為圓心AO為半徑做圓P。將圓P視作一面鏡子。顯然O點(diǎn)應(yīng)該為B出發(fā)的光線經(jīng)過(guò)鏡子到C的反射點(diǎn)（如果不是，反射點(diǎn)為O',就會(huì)有BO’+CO'<BO+CO，而AO’=AO，就會(huì)有AO’+BO’+CO'<AO+BO+CO）。不失一般性。O點(diǎn)對(duì)于B、C為圓心的鏡子也成立。因此根據(jù)對(duì)稱性AO、BO、CO之間夾角都是120°1四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成凸四邊形；2四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成凹四邊形；3四個(gè)點(diǎn)中三點(diǎn)共線三角形費(fèi)馬點(diǎn)三角形最大角1、小于12002、不小于1200費(fèi)馬點(diǎn)如何畫？距離之和的最小值如何求？有A,B,C三個(gè)村莊，各村莊的小學(xué)生人數(shù)分別為a,b,c，把學(xué)校建在什么地方，才能使所有學(xué)生所走的路程總和最短？

一般費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題特殊集散點(diǎn)-n個(gè)集散點(diǎn)構(gòu)成正多邊形一般的費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題已知平面上n個(gè)點(diǎn)Pi(xi,yi)（i=1,2,…,n），各點(diǎn)Pi的“權(quán)重”為Wi，試確定一點(diǎn)P(x,y)，使它到已知n個(gè)點(diǎn)的加權(quán)距離最??？數(shù)學(xué)模型

——運(yùn)輸優(yōu)化問(wèn)題

有一條筆直的河流，倉(cāng)庫(kù)A到河岸所在直線MN的距離是10千米，AC⊥MN于