2025年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類專題歸納之投影與視圖

2025年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類專題歸納投影與視圖知識(shí)點(diǎn)一、平行投影

1.一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面（地面或墻壁等）上得到的影子，叫做物體的投影.只要有光線，有被光線照到的物體，就存在影子.太陽光線可看做平行的，象這樣的光線照射在物體上，所形成的投影叫做平行投影.由此我們可得出這樣兩個(gè)結(jié)論：

（1）等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長(zhǎng).

（2）等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示，它們?cè)谔柟庀碌挠白右粯娱L(zhǎng)，且影長(zhǎng)等于物體本身的長(zhǎng)度.

2.物高與影長(zhǎng)的關(guān)系（1）在不同時(shí)刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時(shí)刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影長(zhǎng)也是由長(zhǎng)變短再變長(zhǎng).

（2）在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長(zhǎng)成正比例.

即：.

利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.

注意：利用影長(zhǎng)計(jì)算物高時(shí)，要注意的是測(cè)量?jī)晌矬w在同一時(shí)刻的影長(zhǎng).

備注：

1．平行投影是物體投影的一種，是在平行光線的照射下產(chǎn)生的.利用平行投影知識(shí)解題要分清不同時(shí)刻和同一時(shí)刻.

2．物體與影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是平行的就說明是平行光線.

知識(shí)點(diǎn)二、中心投影

若一束光線是從一點(diǎn)發(fā)出的，像這樣的光線照射在物體上所形成的投影，叫做中心投影.這個(gè)“點(diǎn)”就是中心，相當(dāng)于物理上學(xué)習(xí)的“點(diǎn)光源”.生活中能形成中心投影的點(diǎn)光源主要有手電筒、路燈、臺(tái)燈、投影儀的燈光、放映機(jī)的燈光等.相應(yīng)地，我們會(huì)得到兩個(gè)結(jié)論：（1）等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng).

（2）等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示.一般情況下，離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還短.

在中心投影的情況下，還有這樣一個(gè)重要結(jié)論：點(diǎn)光源、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上，根據(jù)其中兩個(gè)點(diǎn)，就可以求出第三個(gè)點(diǎn)的位置.

備注：

光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側(cè).

知識(shí)點(diǎn)三、中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系

1.聯(lián)系：

（1）中心投影、平行投影都是研究物體投影的一種，只不過平行投影是在平行光線下所形成的投影，通常的平行光線有太陽光線、月光等，而中心投影是從一點(diǎn)發(fā)出的光線所形成的投影，通常狀況下，燈泡的光線、手電筒的光線等都可看成是從某一點(diǎn)發(fā)射出來的光線.

（2）在平行投影中，同一時(shí)刻改變物體的方向和位置，其投影也跟著發(fā)生變化；在中心投影中，同一燈光下，改變物體的位置和方向，其投影也跟著發(fā)生變化.在中心投影中，固定物體的位置和方向，改變燈光的位置，物體投影的方向和位置也要發(fā)生變化.

2.區(qū)別：

（1）太陽光線是平行的，故太陽光下的影子長(zhǎng)度都與物體高度成比例；燈光是發(fā)散的，燈光下的影子與物體高度不一定成比例.

（2）同一時(shí)刻，太陽光下影子的方向總是在同一方向，而燈光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.

備注：

在解決有關(guān)投影的問題時(shí)必須先判斷準(zhǔn)確是平行投影還是中心投影，然后再根據(jù)它們的具體特點(diǎn)進(jìn)一步解決問題.

知識(shí)點(diǎn)四、正投影正投影的定義：

如圖所示，圖（1）中的投影線集中于一點(diǎn)，形成中心投影；圖（2）（3）中，投影線互相平行，形成平行投影；圖（2）中，投影線斜著照射投影面；圖（3）中投影線垂直照射投影面（即投影線正對(duì)著投影面），我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖（3）這樣，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.

（1）線段的正投影分為三種情況.如圖所示.

①線段AB平行于投影面P時(shí)，它的正投影是線段A1B1，與線段AB的長(zhǎng)相等；

②線段AB傾斜于投影面P時(shí)，它的正投影是線段A2B2，長(zhǎng)小于線段AB的長(zhǎng)；

③線段AB垂直于投影面P時(shí)，它的正投影是一個(gè)點(diǎn).

（2）平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示.

①當(dāng)平面圖形平行于投影面Q時(shí)，它的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個(gè)平面圖形全等；

②當(dāng)平面圖形傾斜于投影面Q時(shí)，平面圖形的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化，即會(huì)縮小，是類似圖形但不一定相似.

③當(dāng)平面圖形垂直于投影面Q時(shí)，它的正投影是直線或直線的一部分.

（3）立體圖形的正投影.

物體的正投影的形狀、大小與物體相對(duì)于投影面的位置有關(guān)，立體圖形的正投影與平行于投影面且過立體圖形的最大截面全等.

備注：

（1）正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.

（2）由線段、平面圖形和立體圖形的正投影規(guī)律，可以識(shí)別或畫出物體的正投影.

（3）由于正投影的投影線垂直于投影面，一個(gè)物體的正投影與我們沿投影線方向觀察這個(gè)物體看到的圖象之間是有聯(lián)系的.

知識(shí)點(diǎn)五、三視圖1.三視圖的概念

（1）視圖

從某一角度觀察一個(gè)物體時(shí)，所看到的圖象叫做物體的一個(gè)視圖.

（2）正面、水平面和側(cè)面

用三個(gè)互相垂直的平面作為投影面，其中正對(duì)我們的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右邊的面叫做側(cè)面.

（3）三視圖

一個(gè)物體在三個(gè)投影面內(nèi)同時(shí)進(jìn)行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.

2.三視圖之間的關(guān)系（1）位置關(guān)系

三視圖的位置是有規(guī)定的，主視圖要在左邊，它的下方應(yīng)是俯視圖，左視圖在其右邊，如圖（1）所示.

（2）大小關(guān)系

三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的，遵循主視圖與俯視圖的長(zhǎng)對(duì)正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等的原則.如圖（2）所示.

備注：

物體的三視圖的位置是有嚴(yán)格規(guī)定的，不能隨意亂放.三視圖把物體的長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方面反映到各個(gè)視圖上，具體地說，主視圖反映物體的長(zhǎng)和高；俯視圖反映物體的長(zhǎng)和寬，左視圖反映物體的高和寬，抓住這些特征能為畫物體的三視圖打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

知識(shí)點(diǎn)六、畫幾何體的三視圖畫圖方法：

畫一個(gè)幾何體的三視圖時(shí)，要從三個(gè)方面觀察幾何體，具體畫法如下：

（1）確定主視圖的位置，畫出主視圖；

（2）在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長(zhǎng)對(duì)正”；

（3）在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.

幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線應(yīng)畫成虛線.

備注：

畫一個(gè)幾何體的三視圖，關(guān)鍵是把從正面、上方、左邊三個(gè)方向觀察時(shí)所得的視圖畫出來，所以，首先要注意觀察時(shí)視線與觀察面垂直，即觀察到的平面圖是該圖的正投影；其二，要注意正確地用虛線表示看不到的輪廓線；其三，要充分發(fā)揮想象，多實(shí)踐，多與同學(xué)交流探討，多總結(jié)；最后，按三視圖的位置和大小要求從整體上畫出幾何體的三視圖.

知識(shí)點(diǎn)七、由三視圖想象幾何體的形狀

由三視圖想象幾何體的形狀，首先應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側(cè)面，然后綜合起來考慮整體圖形.

備注：

由物體的三視圖想象幾何體的形狀有一定的難度，可以從如下途徑進(jìn)行分析：（1）根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀以及幾何體的長(zhǎng)、寬、高；（2）根據(jù)實(shí)線和虛線想象幾何體看得見和看不見的輪廓線；（3）熟記一些簡(jiǎn)單的幾何體的三視圖會(huì)對(duì)復(fù)雜幾何體的想象有幫助；（4）利用由三視圖畫幾何體與由幾何體畫三視圖為互逆過程，反復(fù)練習(xí)，不斷總結(jié)方法.

1．（2024鐵嶺）如圖是由6個(gè)大小相同的小立方體搭成的幾何體，這個(gè)幾何體的主視圖是（）A． B． C． D．2．（2024遼陽）如圖所示幾何體是由五個(gè)相同的小正方體搭成的，它的左視圖是（）A．B． C． D．3．（2024廣元）如圖是由幾個(gè)相同小正方體組成的立體圖形的俯視圖，圖上的數(shù)字表示該位置上方小正方體的個(gè)數(shù)，這個(gè)立體圖形的左視圖是（）A．B． C． D．4．（2024濟(jì)南）如圖所示的幾何體，它的俯視圖是（）A． B． C． D．5．（2024德陽）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算這個(gè)幾何體的表面積是（）A．16π B．12π C．10π D．4π6．（2024綏化）已知某物體的三視圖如圖所示，那么與它對(duì)應(yīng)的物體是（）A． B． C． D．7．（2024畢節(jié)市）如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱體挖去一個(gè)長(zhǎng)方體后得到的，它的主視圖是（）A．B． C． D．8．（2024赤峰）如圖是一個(gè)空心圓柱體，其俯視圖是（）A． B． C． D．9．（2024南通）一個(gè)圓錐的主視圖是邊長(zhǎng)為4cm的正三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積等于（）A．16πcm2 B．12πcm2 C．8πcm2 D．4πcm210．（2024阜新）如圖所示，是一個(gè)空心正方體，它的左視圖是（）A． B． C． D．11．（2024樂山）如圖是由長(zhǎng)方體和圓柱組成的幾何體，它的俯視圖是（）A． B． C． D．12．（2024葫蘆島）下列幾何體中，俯視圖為矩形的是（）A．B．C． D．13．（2024大連）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體是（）A．圓柱 B．圓錐 C．三棱柱 D．長(zhǎng)方體14．（2024賀州）如圖，這是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)計(jì)算這個(gè)幾何體的側(cè)面積為（）A．9π B．10π C．11π D．12π15．（2024萊蕪）已知圓錐的三視圖如圖所示，則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的面積為（）A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm216．（2024廣安）下列圖形中，主視圖為圖①的是（）A． B． C． D．17．（2024柳州）如圖，這是一個(gè)機(jī)械模具，則它的主視圖是（）A． B． C． D．18．（2024貴陽）如圖是一個(gè)幾何體的主視圖和俯視圖，則這個(gè)幾何體是（）A．三棱柱 B．正方體 C．三棱錐 D．長(zhǎng)方體19．（2024昆明）下列幾何體的左視圖為長(zhǎng)方形的是（）A．B． C． D．20．（2024臨安區(qū)）小明從正面觀察如圖所示的兩個(gè)物體，看到的是（）A． B． C． D．21．（2024呼和浩特）下面是幾個(gè)一樣的小正方體擺出的立體圖形的三視圖，由三視圖可知小正方體的個(gè)數(shù)為（）A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)22．（2024遂寧）如圖，5個(gè)完全相同的小正方體組成了一個(gè)幾何體，則這個(gè)幾何體的主視圖是（）A．B． C． D．23．（2024玉林）圓錐的主視圖與左視圖都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，則圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角是（）A．90° B．120° C．150° D．180°24．（2024長(zhǎng)春）下列立體圖形中，主視圖是圓的是（）A．B． C． D．25．（2024烏魯木齊）如圖是某個(gè)幾何體的三視圖，該幾何體是（）A．長(zhǎng)方體 B．正方體 C．三棱柱 D．圓柱26．（2024菏澤）如圖是兩個(gè)等直徑圓柱構(gòu)成的“T”形管道，其左視圖是（）A． B． C． D．27．（2024河北）圖中三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體是（）A．B．C． D．28．（2024永州）如圖幾何體的主視圖是（）A． B． C． D．29．（2024泰州）下列幾何體中，主視圖與俯視圖不相同的是（）A．B．C． D．30．（2024江西）如圖所示的幾何體的左視圖為（）A． B． C． D．31．（2024寧波）如圖是由6個(gè)大小相同的立方體組成的幾何體，在這個(gè)幾何體的三視圖中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A．主視圖B．左視圖C．俯視圖 D．主視圖和左視圖32．（2024湖州）如圖所示的幾何體的左視圖是（）A．B． C． D．33．（2024威海）如圖是某圓錐的主視圖和左視圖，該圓錐的側(cè)面積是（）A．25π B．24π C．20π D．15π34．（2024溫州）移動(dòng)臺(tái)階如圖所示，它的主視圖是（）A． B． C． D．35．（2024臨沂）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖（圖中尺寸單位：cm），根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)求得這個(gè)幾何體的側(cè)面積是（）A．12cm2 B．（12+π）cm2 C．6πcm2 D．8πcm236．（2024聊城）如圖所示的幾何體，它的左視圖是（）A． B． C． D．37．（2024安徽）一個(gè)由圓柱和圓錐組成的幾何體如圖水平放置，其主（正）視圖為（）A． B． C． D．38．（2024濟(jì)寧）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（）A．24+2π B．16+4π C．16+8π D．16+12π39