2024-2025學(xué)年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

-2025學(xué)年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：共8個(gè)小題，每小題3分，共24分．1．（3分）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A． B． C． D．2．（3分）用配方法解方程，變形后結(jié)果正確的是A． B． C． D．3．（3分）圖中的五角星圖案，繞著它的中心旋轉(zhuǎn)后，能與自身重合，則的值至少是A． B． C． D．4．（3分）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值為A．4 B． C． D．25．（3分）將拋物線的圖象向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到的拋物線是A． B． C． D．6．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．若將以某點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中、、分別和、、對(duì)應(yīng)，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是A． B． C． D．7．（3分），，，三點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系為A． B． C． D．8．（3分）四位同學(xué)在研究二次函數(shù)時(shí)，甲同學(xué)發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線；乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，；丙同學(xué)發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值為；丁同學(xué)發(fā)現(xiàn)是一元二次方程的一個(gè)根，已知這四位同學(xué)中只有一位同學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是錯(cuò)誤的，則該同學(xué)是A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空題：共8個(gè)小題，每小題3分，共24分．9．（3分）方程的根是．10．（3分）請(qǐng)寫出一個(gè)開口向上，并且與軸交于點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式是．11．（3分）如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若，則的度數(shù)．12．（3分）如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，則的解是．13．（3分）杭州亞運(yùn)會(huì)的吉祥物“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”組合名為“江南憶”，出自唐朝詩人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”，它融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因．吉祥物一開售，就深受大家的喜愛．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某商店吉祥物“江南憶”6月份的銷售量為1200件，8月份的銷售量為1452件，設(shè)吉祥物“江南憶”6月份到8月份銷售量的月平均增長率為，則可列方程為．14．（3分）若一元二次方程有一個(gè)解為，則．15．（3分）汽車剎車后行駛的距離（單位：關(guān)于行駛的時(shí)間（單位：的函數(shù)解析式是，汽車剎車后到停下來前進(jìn)了米．16．（3分）車間里有五臺(tái)車床同時(shí)出現(xiàn)故障．已知第一臺(tái)至第五臺(tái)修復(fù)的時(shí)間如表：車床代號(hào)修復(fù)時(shí)間（分鐘）15829710若每臺(tái)車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟(jì)損失10元，修復(fù)后即可投入生產(chǎn)．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一臺(tái)車床，則下列三個(gè)修復(fù)車床的順序：①；②；③中，經(jīng)濟(jì)損失最少的是（填序號(hào)）；（2）若由兩名修理工同時(shí)修理車床，且每臺(tái)車床只由一名修理工修理，則最少經(jīng)濟(jì)損失為元．三.解答題：共52分，第17-24題，每題5分，第25-26題，每題6分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．（5分）解方程：．

18．（5分）若是關(guān)于的一元二次方程的根，求代數(shù)式的值．

19．（5分）如圖，是直角三角形，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）試作出旋轉(zhuǎn)后的，其中與是對(duì)應(yīng)點(diǎn)；（2）在作出的圖形中，已知，，求的長．20．（5分）已知拋物線圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)值如下表：0123500（1）并畫出圖象；（2）求此拋物線的解析式；（3）結(jié)合圖象，直接寫出當(dāng)時(shí)的取值范圍．

21．（5分）已知關(guān)于的一元二次方程是．（1）求證：無論取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根是另一個(gè)實(shí)數(shù)根的兩倍，求的值．

22．（5分）景區(qū)內(nèi)有一塊米的矩形郁金香園地（數(shù)據(jù)如圖所示，單位：米），現(xiàn)在其中修建一條花道（陰影所示），供游人賞花．若改造后觀花道的面積為12平方米，求的值．23．（5分）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出一個(gè)探究問題：制作一個(gè)體積為，底面為正方形的長方體包裝盒（如圖，當(dāng)?shù)酌孢呴L為多少時(shí)，需要的材料最省（底面邊長不超過，且不考慮接縫）．某小組經(jīng)討論得出：材料最省，就是盡可能使得長方體的表面積最?。旅媸撬麄兊奶骄窟^程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）設(shè)長方體包裝盒的底面邊長為，表面積為．可以用含的代數(shù)式表示長方體的高為，根據(jù)長方體的表面積公式：長方體表面積底面積側(cè)面積．得到與的關(guān)系式：；（2）列出與的幾組對(duì)應(yīng)值：（說明：表格中相關(guān)數(shù)值精確到十分位）0.511.522.5380.542.031.228.531.3（3）在圖2的平面直角坐標(biāo)系中，描出以補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象；（4）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：長方體包裝盒的底面邊長約為時(shí)，需要的材料最?。?/p>

24．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)，，，在拋物線上．（1）當(dāng)時(shí)，直接寫出與的大小關(guān)系；（2）若對(duì)于，都有，求的取值范圍．

25．（6分）在中，，，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，則（用含有的式子表示）；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，作的角平分線交的延長線于點(diǎn)．交于點(diǎn)，連接．①依題意在圖2中補(bǔ)全圖形，并求的度數(shù)；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．26．（6分）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的點(diǎn)P和圖形M，給出如下定義：如果點(diǎn)P繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P′，點(diǎn)P′落在圖形M上或圖形M圍成的區(qū)域內(nèi)，那么稱點(diǎn)P是圖形M關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”．已知點(diǎn)A（1，1），B（3，1），C（3，2）．（1）在點(diǎn)P1（﹣2，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，點(diǎn)是線段AB關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”；（2）如果點(diǎn)D（m，2）是△ABC關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”，直接寫出m的取值范圍；（3）已知拋物線y＝﹣（x﹣1）2+n上存在△ABC關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”，求n的最大值和最小值．

參考答案一、選擇題：共8個(gè)小題，每小題3分，共24分．1．（3分）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A． B． C． D．解：的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：．2．（3分）用配方法解方程，變形后結(jié)果正確的是A． B． C． D．解：．故選：．3．（3分）圖中的五角星圖案，繞著它的中心旋轉(zhuǎn)后，能與自身重合，則的值至少是A． B． C． D．解：該圖形被平分成五部分，旋轉(zhuǎn)72度的整數(shù)倍，就可以與自身重合，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少為，故選：．4．（3分）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值為A．4 B． C． D．2解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，△，解得．故選：．5．（3分）將拋物線的圖象向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到的拋物線是A． B． C． D．解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，得到的拋物線是．故選：．6．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．若將以某點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中、、分別和、、對(duì)應(yīng)，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是A． B． C． D．解：如圖，點(diǎn)即為所求，．故選：．7．（3分），，，三點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系為A． B． C． D．解：二次函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為，點(diǎn)，，在對(duì)稱軸的左側(cè)，由隨的增大而增大，有，由，，離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近可得，，，因此有，故選：．8．（3分）四位同學(xué)在研究二次函數(shù)時(shí)，甲同學(xué)發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線；乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，；丙同學(xué)發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值為；丁同學(xué)發(fā)現(xiàn)是一元二次方程的一個(gè)根，已知這四位同學(xué)中只有一位同學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是錯(cuò)誤的，則該同學(xué)是A．甲 B．乙 C．丙 D．丁解：當(dāng)甲同學(xué)的結(jié)論正確，即當(dāng)函數(shù)的對(duì)稱軸是直線時(shí)，，即；當(dāng)乙同學(xué)的結(jié)論正確，即當(dāng)時(shí)，時(shí)，，可得；當(dāng)丙同學(xué)的結(jié)論正確，即當(dāng)函數(shù)的最小值為時(shí)，，可得；當(dāng)丁同學(xué)的結(jié)論正確，即當(dāng)時(shí)，一元二次方程的一個(gè)根時(shí)，，可得；根據(jù)和不能同時(shí)成立，可知乙同學(xué)和丁同學(xué)中有一位的結(jié)論是錯(cuò)誤的，假設(shè)丁同學(xué)的結(jié)論錯(cuò)誤，聯(lián)立和，得，，不滿足，故假設(shè)不成立；假設(shè)乙同學(xué)的結(jié)論錯(cuò)誤，聯(lián)立和，得，，此時(shí)滿足，故假設(shè)成立；故選：．二、填空題：本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分．9．（3分）方程的根是0或6．解：即，得或．10．（3分）請(qǐng)寫出一個(gè)開口向上，并且與軸交于點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式是（答案不唯一）．解：拋物線的解析式為．故答案為：（答案不唯一）．11．（3分）如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若，則的度數(shù)．解：，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，，，，，故答案為：．12．（3分）如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，則的解是或8．解：二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，方程的解是或8，故答案為：或8．13．（3分）杭州亞運(yùn)會(huì)的吉祥物“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”組合名為“江南憶”，出自唐朝詩人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”，它融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因．吉祥物一開售，就深受大家的喜愛．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某商店吉祥物“江南憶”6月份的銷售量為1200件，8月份的銷售量為1452件，設(shè)吉祥物“江南憶”6月份到8月份銷售量的月平均增長率為，則可列方程為．解：根據(jù)題意得：．故答案為：．14．（3分）若一元二次方程有一個(gè)解為，則．解：一元二次方程的一個(gè)解為0，且，解得．故答案為：．15．（3分）汽車剎車后行駛的距離（單位：關(guān)于行駛的時(shí)間（單位：的函數(shù)解析式是，汽車剎車后到停下來前進(jìn)了米．解：，汽車剎車后到停下來前進(jìn)了米．故答案為：．16．（3分）車間里有五臺(tái)車床同時(shí)出現(xiàn)故障．已知第一臺(tái)至第五臺(tái)修復(fù)的時(shí)間如表：車床代號(hào)修復(fù)時(shí)間（分鐘）15829710若每臺(tái)車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟(jì)損失10元，修復(fù)后即可投入生產(chǎn)．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一臺(tái)車床，則下列三個(gè)修復(fù)車床的順序：①；②；③中，經(jīng)濟(jì)損失最少的是①（填序號(hào)）；（2）若由兩名修理工同時(shí)修理車床，且每臺(tái)車床只由一名修理工修理，則最少經(jīng)濟(jì)損失為元．解：（1）要經(jīng)濟(jì)損失最少，就要使總停產(chǎn)的時(shí)間盡量短，然先修復(fù)時(shí)間短的，即按7、8、10、15、29分鐘順序修復(fù)，故選：①；（2）一名修理工修8分鐘和15分鐘，共需23分鐘，一名修理工修7分鐘和10分鐘和29分鐘共需46鐘，五臺(tái)機(jī)器停產(chǎn)的總時(shí)間為：（分鐘），（元故答案為：1010．三.解答題：共52分，第17-24題，每題5分，第25-26題，每題6分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．（5分）解方程：．解：原方程可變形為或，．18．（5分）若是關(guān)于的一元二次方程的根，求代數(shù)式的值．解：將代入得，，．19．（5分）如圖，是直角三角形，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）試作出旋轉(zhuǎn)后的，其中與是對(duì)應(yīng)點(diǎn)；（2）在作出的圖形中，已知，，求的長．解：（1）如圖所示；（2），，，．由旋轉(zhuǎn)而成，，．20．（5分）已知拋物線圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)值如下表：0123500（1）并畫出圖象；（2）求此拋物線的解析式；（3）結(jié)合圖象，直接寫出當(dāng)時(shí)的取值范圍．解：（1）根據(jù)列表畫出拋物線圖象如下，（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，由題意得：當(dāng)時(shí)，，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，解得，拋物線的解析式為；（3），當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由圖象可得，當(dāng)時(shí)，．21．（5分）已知關(guān)于的一元二次方程是．（1）求證：無論取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根是另一個(gè)實(shí)數(shù)根的兩倍，求的值．【解答】（1）證明：△，無論取何值，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：設(shè)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，且，，，或．22．（5分）景區(qū)內(nèi)有一塊米的矩形郁金香園地（數(shù)據(jù)如圖所示，單位：米），現(xiàn)在其中修建一條花道（陰影所示），供游人賞花．若改造后觀花道的面積為12平方米，求的值．解：根據(jù)題意，得，整理，得，解得：，，園地的寬為5米，而，不合題意，舍去．答：的值為1．23．（5分）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出一個(gè)探究問題：制作一個(gè)體積為，底面為正方形的長方體包裝盒（如圖，當(dāng)?shù)酌孢呴L為多少時(shí)，需要的材料最?。ǖ酌孢呴L不超過，且不考慮接縫）．某小組經(jīng)討論得出：材料最省，就是盡可能使得長方體的表面積最?。旅媸撬麄兊奶骄窟^程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）設(shè)長方體包裝盒的底面邊長為，表面積為．可以用含的代數(shù)式表示長方體的高為，根據(jù)長方體的表面積公式：長方體表面積底面積側(cè)面積．得到與的關(guān)系式：；（2）列出與的幾組對(duì)應(yīng)值：（說明：表格中相關(guān)數(shù)值精確到十分位）0.511.522.5380.542.031.228.531.3（3）在圖2的平面直角坐標(biāo)系中，描出以補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象；（4）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：長方體包裝盒的底面邊長約為時(shí)，需要的材料最?。猓海?）由題意，；故答案為：；（2）當(dāng)時(shí)，；故答案為：28.0；（3）函數(shù)圖象如圖所示：（4）觀察圖象可知，當(dāng)約為時(shí)，需要的材料最省．故答案為：2.2．24．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)，，，在拋物線上．（1）當(dāng)時(shí)，直接寫出與的大小關(guān)系；（2）若對(duì)于，都有，求的取值范圍．解：（1）由題意，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為直線．又拋物線，拋物線開口向上．拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越?。执藭r(shí)，，．點(diǎn)離對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)離對(duì)稱軸的距離．．（2）由題意，對(duì)于，都有，又拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越小，，到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，小于點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，．①當(dāng)時(shí)，．若，．又，且．．若，．．又，且．且．此時(shí)無解．②當(dāng)時(shí)，．若，．．又，．．若，．．又，且．且．此時(shí)無解．綜上，或．25．（6分）在中，，，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，則（用含有的式子表示）；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，作的角平分線交的延長線于點(diǎn)．交于點(diǎn)，連接．①依題意在圖2中補(bǔ)全圖形，并求的度數(shù)；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．解：（1）將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，，故答案為：；（2）①如圖所示：，，，，；②，理由如下：如圖2，過點(diǎn)作于，，平分，，，，，，，，，，，，，，又，，，，，．26．（6分）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的點(diǎn)P和圖形M，給出如下定義：如果點(diǎn)P繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P′，點(diǎn)P′落在圖形M上或圖形M圍成的區(qū)域內(nèi)，那么稱點(diǎn)P是圖形M關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”．已知點(diǎn)A（1，1），B（3，1），C（3，2）．（1）在點(diǎn)P1（﹣2，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，點(diǎn)P2和P3是線段AB關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”；（2）如果點(diǎn)D（m，2）是△ABC關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”，直接寫出m的取值范圍；（3）已知拋物線y＝﹣（x﹣1）2+n上存在△ABC關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”，求n的最大值和最小值．解：（1）∵A（1，1），B（3，1），∴AB∥x軸，如圖1，點(diǎn)P1（﹣2，0），P2（﹣